2023--2024学年湘教版数学九年级上册：1.2反比例函数的图像与性质（第2课时） 课件 24张PPT

1.2 反比例函数的
图象与性质
第2课时 反比例函数y = ???????? (k < 0)
的图象与性质
?
1.了解反比例函数 的相关性质.
(重点、难点）
2.理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系．
　（重点、难点）
3.利用双曲线的性质解决简单的数学问题．
学习目标
探 究
如何画反比例函数 y=－6x 的图象? y=－6x 的图像与y= 6x 的图像有什么关系？
?
当x=3时，y=－6x 的函数值为－2，而 y = 6x
的函数值为2.
在平面直角坐标系内，点A(3，-2)与B(3，2)关
于x轴对称，如图所示．
?
类似地，当x取任一非零实数a时， y=－6x 的函数值为－6???? ，
而 y= 6x?的函数值为 6???? ，
从而都有点P(a，?6a)与点Q (a，6a) 关于x轴对称，
因此 y=－6x?的图象与 y= 6x 的图象关于x轴对称.
于是只要把 y= 6x 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，
就得到了 y=－6x?的图象，如图中的红色曲线所示．
?
O
5
6
x
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-2
-3
-4
-5
-6
从图看出： y=－6x 的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成.
它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
?
类似地，当 k < 0 时，反比例函数 y = ????x 的图象与 y=－????x 的图象关于 x 轴对称，
从而当 k < 0 时，反比例函数 y =－????x 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量 x 的增大而增大 .
?
例1：画反比例函数 的图象.
解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为：
列表
描点
连线
需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0．
解：列表如下
{E8B1032C-EA38-4F05-BA0D-38AFFFC7BED3}x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
y
…
23
0.8
1
43
2
4
-4
-2
?43
-1
-0.8
?23
…
典例精析
描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.
{BC89EF96-8CEA-46FF-86C4-4CE0E7609802}
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-6
-5
5
6
y
x
O
????=?4????
?
连线：把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数 y =－4x?的图形.
?
综上所述，我们得到：
反比例函数 y =－4x?（k为常数，k≠0)的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线.
?
y =－????x?(k < 0)图象的画法与y =－????x?(k > 0)图象的画法类似，但在解题的时候要注意图象所在的象限．
?
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 y = ???????? 的图象是双曲线，它具有以下性质：
?
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
总结归纳
问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？
x
y
x
y
双曲线
O
O
二、双曲线的概念及性质

是轴对称图形，也是
以原点为对称中心的中心对称图形．
1、如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐标为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是( )
A. (1，3) B. (3，1)
C. (1，-3) D. (-1，3)
x
y
C
O
练 一 练
2、点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则 y1 y2．（填“>”“<”或“=”）
<
解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且y随着自变量x的增大而增大，故y1练 习
1.画出下列反比例函数的图象：
(1)?????=?3???? ;
?
{E8B1032C-EA38-4F05-BA0D-38AFFFC7BED3}x
-3
-2
?32
-1
1
32
2
y
1
32
2
3
-3
-2
?32
（1）列表
作图：
{E8B1032C-EA38-4F05-BA0D-38AFFFC7BED3}x
-2
-1
?14
14
1
2
y
14
12
2
-2
?12
?14
（2）列表
作图：
（2）y = -12????
?
3. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
2. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.
m ＞ 2
4.已知反比例函数的图象的一支如图所示．
(1)判断k是正数还是负数；
(2)求这个反比例函数的表达式；
(3)补画这个反比例函数图象的另一支．
解：(1)因为反比例函数的图象在第二象限，所以k是负数．
(2)设反比例函数的表达式为 将(-4，2)代入其中，解得k=-8，所以反比例函数的表达式为:
(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略．
5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4).
(1) 求 k 的值；
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化?
解：（1）∵ 反比例函数 y = ???????? 的图象经过点 A(2，－4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 -4 = ????2 ，
解得 k = －8.
?
（2） y = ?8???? 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，y 随 x 的增大而增大.
?
(3) 画出该函数的图象；
O
x
y
解：如图所示：
(3) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
解：把 x =1代入反比例函数解析式 y =- 81=-8 ，
把 x = -3代入反比例函数解析式 y= - 8?3?= 83?≠ 5，
所以点B(1，-8)不在这个函数的图象上，
点C(-3，5)在这个函数的图象上.
?
能力提升：
7. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)
的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
反比例函数 (k≠0)
k
k > 0
k < 0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大
课堂小结
本课结束