2023-2024学年初中湘教版数学九年级上册：2.2.1配方法（第2课时）课件 27张PPT

(共27张PPT)
2.2.1 配方法
第2课时 用配方法解一元二次方程
学习目标
1.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．（重点）
2.通过配方法体会“等价转化”的数学思想．
3.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.（重点）
4.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
做 一 做
（1）(a±b)2 = ；
（2）把完全平方公式从右到左地使用，在下列各题中，填上适当的数，使等式成立：
①x2+6x+ = (x + )2；
②x2-6x+ = (x - )2；
③x2+6x+5=x2+6x+ - +5 = (x+ )2 - .
一、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
(a±b)2=a2±2ab+b2
9
9
3
3
9
9
3
4
探 究
解方程：x2 + 4x = 12. ①
我们已经知道，如果能把方程①写成(x+n)2 = d(d ≥ 0)的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解。

x2+4x+22-22 = 12，
因此，有
x2+4x+22 = 22+12.
即 (x+2)2 = 16.
根据平方根的意义，得
x+2 = 4 或 x +2 = -4.
解得 x1 = 2，x2 = -6.
可以将“ 22 ”换成其他数的平方吗？
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
想一想：
x2 + px + ( )2 = ( x + )2
配方的方法
归纳总结
这种解一元二次方程的方法叫作配方法.
一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方。配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.
配方法的定义
把方程化为 (x+n)2 = p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
★
配方法解方程的基本思路
★
例3：用配方法解下列方程：
(1)x2+10x+9=0 ； (2)x2-12x-13=0.
解：（1）配方，得
x2+10x+52－52+9 = 0
因此 (x+5)2 = 16
由此得 x+5 = 4 或 x+5 = －4
解得 x1 = －1，x2 = －9
典例精析
（2）配方，得
x2 -12x+62－62 -13 = 0
因此 (x - 6)2 = 49
由此得 x - 6 = 7 或 x - 6 = -7
解得 x1 = 13，x2 = -1
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项
配方
开方
求解
定解
把常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方
方程两边开平方
解一元一次方程
写出原方程的解
方法归纳
试一试：x2 + 12x -15=0 .

练 习
1.填空：
(1) x2+4x+1 = x2+4x+ - +1 = (x + )2 - ；
(2) x2-8x-9 = x2-8x+ - - 9 = (x - )2 - ；
(3) x2+3x-4 = x2+3x+ - - 4 = (x+ )2 - .
4
4
2
3
16
16
4
25




2.用配方法解下列方程：
(1) x2+4x+3 = 0； (2) x2+8x-9 = 0；
解：x2+4x = -3
x2+4x+4 = 1
(x+2)2 = 1
x+2 = ±1
x = -2±1
x1 = -3，x2 = -1
解：x2+8x = 9
x2+8x + 16 = 25
(x+4)2 = 25
x+4 =±5
x = -4±5
x1= -9，x2 =1


解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8.
移项，得 x2 + 2x = 3,
配方，得 x2 + 2x + 1 = 3 + 1 ,
即 (x + 10)2 = 4.
开平方， 得 x + 1 = ±2.
解得 x1 = 1 ， x2= －3.
3. 解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8
动 脑 筋
如何配方法解本章2.1节“动脑筋”中的方程②:25x2+50x-11 = 0呢？
系数不为1
由于方程25x2+50x-11=0的二次项系数不为1，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两边同除以25，将二次项系数化为1，得
2、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
x2+2x- = 0
配方，得 x2+2x+12-12- = 0
因此 (x+1)2 =
由此得 x+1 = ，x+1 = -
解得 x1 = 0.2，x2 = -2.2
对于实际问题的方程②而言，x2= -2.2不合题意，应当舍去．
而x1= 0.2符合题意，因此年平均增长率为20%.
例3：用配方法解方程：4x2 - 12x -1= 0 ；
典例精析
解: 将二次项系数化为1，得
x2-3x- = 0.
配方，得 x2-3x+()2- ()2 - = 0
因此 (x- )2 =
由此得 x- = 或 x- = -
解得 x = ，x = .
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x + n)2 = p.
①当 p > 0 时，则 x + n = ± ，方程的两个根为
x1= -n -，x2 = -n +
②当 p = 0 时，则(x+n)2 = 0，x+n = 0，开平方得方程的两个根为
x1= x2 = -n.
③当 p < 0 时，则方程 (x + n)2 = p 无实数根.
规律总结
议 一 议
解方程：-2x2 + 4x – 8 = 0.
将上述方程的二次项系数化为1，得
x2-2x+4 = 0.
将其配方，得 x2-2x+12-12+4 = 0，
即 (x-1)2 = -3.
因为在实数范围内，任何实数的平方都是非负数，
因此，(x-1)2 = -3不成立，即原方程无实数根．
1.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为(k－2)2 ≥ 0，所以(k－2)2＋1 ≥ 1.
所以 k2－4k＋5 的值必定大于零.
练一练
2.若a，b，c为△ABC的三边长，且 a2-6a+b2-8b+ + 25 = 0
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得 (a - 3)2+(b - 4)2+ = 0
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
(a - 3)2 = 0，(b - 4)2 = 0， = 0，
∴ a = 3 ，b = 4，c = 5，
∴ a2 + b2 = 32 + 42 = 52 = c2，
练 习
1.用配方法解下列方程：
(1) 2x2 = 3x-1； (2) 3x2+2x-3 = 0.
解：移项得：2x2-3x = -1，
配方得：
整理得：
开方得：
解得：
解：移项得：3x2+2x=3，
配方得：
整理得：
开方得：
解得：
(3) 4x2-x-9 = 0； (4) -x2+4x-12 = 0.
解：移项得：x2- 4x = -12，
配方得：x2- 4x+4 = -12+4，
整理得：(x-2)2 = -8，
∵ -8 < 0
∴ 此方程无解.
解：移项得：4x2- x= 9，
配方得：x2 - x + ()2 = + ()2 ，
整理得：(x - )2 = ，
开方得：x - = ±
解得：x1 = ，x2 =
2.若 x2 – 4x + y2 + 6y + + 13 = 0 ，求 (xy)z 的值.
解：对原式配方，得 (x - 2)2+(y + 3)2+ = 0
由代数式的性质可知
(x - 2)2 = 0，(y + 3)2 = 0，z - 2 = 0，
x = 2，y = 3， z = 2，
∴(xy)z = [2 × (- 3)]2 = (- 6) = 36.
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，且 a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
a = b = c
本课结束