2023-2024学年初中湘教版数学九年级上册第2章 一元二次方程：2.2.2公式法课件 21张PPT

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2.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2.会用公式法解一元二次方程；（重点）
3.会用根的判别式b2-4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用.（难点）
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程 2x2+4x+1= 0
复习导入
探 究
运用配方法解一元二次方程时，我们对于每一个具体的方程，都重复使用了一些相同的计算步骤，这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次方程
一、求根公式的推导
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
使用配方法，求出这个方程的根呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
为了便于配方，在方程①的两边同除以a，得

把方程的左边配方，得


因此

问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠ 0，4a2 > 0，当 b2 - 4ac ≥ 0时，方程可化为

根据平方根的意义，得

解得

∵a ≠ 0，4a2 > 0，当 b2 - 4ac < 0时，

而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
归纳总结
于是，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)在 b2 - 4ac ≥ 0的条件下，它的根为：
我们通常把这个式子叫作一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)的求根公式．
由求根公式可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c决定，这
也反映出了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，
这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
解：这里 a =1， b = -1， c = -2.
∵ b 2 - 4ac = (-1)2 - 4×1×(-2) = 9﹥0,
因此，原方程的根为x1=2， x2= -1.
典例精析
二、公式法解方程
例5 用公式法解下列方程：（1） x2-x-2=0.
（2）x2 - 2x = 1
解：移项，得 x2 - 2x -1= 0
∵ b 2 - 4ac =(-1)2 - 4×1×(-1) = 8﹥0,
因此，原方程的根为：x1= ，x2 =
先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值.
这里 a=1， b= -2， c= -1.
解：这里 a = 9，b = 12，c = 4
因而 b2 - 4ac =122- 4×9×4 = 0
例5 用公式法解方程：9x2 +12x + 4 = 0.
1. 用公式法解方程 5x2- 4x -12 = 0
解：∵ a = 5，b = -4，c = -12，
b2 - 4ac = (-4)2- 4×5×(-12) = 256 > 0.
练一练
2. 解方程：x2 + 3 = x
解：化简为一般式：
即 ：
这里的a、b、c的值是什么？
这里 a = 1，b = ，c = 3.
3.解方程：4x2 - 3x + 2 = 0
因为在实数范围内负数不能开平方，
所以方程无实数根.
解：这里 a = 4，b = -3，c = 2.
公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式；
2.确定系数:用a，b，c写出各项系数；
3.计算: b2 - 4ac 的值；
4.判断：若b2 - 4ac ≥ 0，则利用求根公式求出；
若 b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根.
要点归纳
1.用公式法解下列方程：
(1) x2 - 6x + 1 = 0；
练 习
解：这里 a = 1，b = -6，c = 1，
(2) 2t2 - t = 6；
这里 a = 2，b = -1，c = -6，
解：化简为一般式：
(3) 4x2 - 3x - 1 = x – 2；
这里 a = 4，b = -4，c = 1，
解：化简为一般式：
(4) 3x(x - 3) = 2(x - 1)(x + 1).
这里 a = 1，b = -9，c = 2，
解：化简为一般式：
2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6，
化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0，
这里 a = 3, b = -7，c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96
= - 47 < 0，
∴原方程没有实数根.
本课结束