2023-2024学年初中湘教版数学九年级上册2.2.3因式分解法 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
2.2.3 因式分解法
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
4.理解解一元二次方程的基本思路；
5.能根据题目特点选用最恰当的方法求解.（重点）
动 脑 筋
一、因式分解法解一元二次方程
解方程：x2 - 3x = 0. ①
配方法解方程 x2 - 3x = 0.
因式分解
如果a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为0，说明什么？
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
x2 - 3x = 0
x(x - 3) = 0
或
x = 0
x – 3 = 0
x1 = 0 ，x2 = 3
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移 ----- 方程的右边 = 0;
二分 ----- 方程的左边因式分解;
三化 ----- 方程化为两个一元一次方程;
四解 ----- 写出方程两个解;
要点归纳
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 2) = 0；
(1) x1 = 0，x2 = 2；
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3 ；
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1= -2，x2 = 2；
(4) x2 = x.
(4) x1 = 0，x2 = 1.
议 一 议
请用公式法解方程 x2 - 3x = 0,并与上面的因式分解法进行比较，你觉得用哪种方法更简单？
∵ b 2 - 4ac = (-3)2 - 4×1×0 = 9 - 4﹥0，
因此，原方程的根为 x1 = 0， x2 = 3.
把方程左边因式分解，得
于是得
x = 0 或 x – 8 ＝0,
x1 = 0，x2 = 8.
x(x - 8) = 0.
解：原方程可化为
典例精析
例7 用因式分解法解下列方程：
（1） x(x - 5) = 3x ，
x2 - 8x = 0.
利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 .
（2）2x(5x - 1) = 3(5x - 1).
解：移项，得
把方程左边因式分解，得
由此得 5x - 1= 0 或 2x - 3 = 0,
2x ( 5x - 1) - 3( 5x - 1) = 0.
( 5x - 1)( 2x - 3 ) = 0.
于是得 65 - 2x = 0 或 5 - 2x ＝ 0
解：原方程可化为
解得 x1 = 32.5，x2 = 2.5
（3）(35 - 2x)2 – 900 = 0
(65 - 2x ) (5 - 2x ) = 0
把方程左边因式分解，得
(35 - 2x +30 ) (35 - 2x - 30) = 0
例8 用因式分解法解下列方程：x2 - 10x + 24 = 0
解： 配方，得
x2 - 10x + 52 - 52 + 24 = 0，
因而 (x - 5)2 – 12 = 0.
把方程左边因式分解，得
(x – 5 + 1)(x – 5 - 1) = 0，
即 (x - 4)(x - 6) = 0，
由此得 x – 4 = 0 或 x – 6 = 0.
解得 x1 = 4，x2 = 6.
由例8可以看出，若我们能把方程 x2 + bx + c = 0的左边进行因式分解后，写成
x2 + bx + c = (x - d)(x - h) = 0，
则 d 和 h 就是方程 x2 + bx + c = 0的根．
反过来，如果 d 和 h 是方程 x2 + bx + c = 0的根，则方程的左边就可以分解成
x2 + bx + c = (x - d)(x - h).
归纳总结
练 习
1.用因式分解法解下列方程：
(1) x2 - 7x = 0； (2) x(x - 3) = 5x；
解：（1） x(x - 7) = 0
x = 0 或 x – 7 = 0
∴ x1 = 0，x2 = 7；
（2） x2 - 3x - 5x = 0
x2 - 8x = 0
x(x - 8) = 8
x = 0 或 x – 8 = 0
∴ x1 = 0，x2 = 8；
(3) 4x2 - 20x + 25 = 0； (4) (x + 1)2- 4 = 0.
解：（3）(2x - 5)2 = 0
2x - 5 = 0
∴ x1 = x2 =
（4） (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = 0
x + 3 = 0 或 x - 1 = 0
∴ x1 = -3，x2 = 1
2.用因式分解法解下列方程：
(1) 2x(x - 1) = 1 - x； (2) 5x(x + 2) = 4x + 8；
解：（1）2x (x - 1) + (x - 1) = 0
(2x + 1)(x – 1) = 0
∴ 2x + 1 = 0 或 x – 1 = 0
∴ x1 = - ，x2 = 1
（2）5x (x + 2) - 4(x + 2) = 0
(5x - 4)(x + 2) = 0
∴ 5x - 4 = 0 或 x + 1 = 0
∴ x1 = ，x2 = - 2
(3) (x - 3)2 – 2 = 0； (4) x2 + 6x + 8 = 0.
解：（3）(x – 3 + ) (x – 3 - ) = 0
∴ x – 3 + = 0 或 x – 3 - = 0
∴ x1 = 3 - ，x2 = 3 +
（4）(x + 2) (x + 4) = 0
∴ x + 2 = 0 或 x + 4 = 0
∴ x1 = - 2，x2 = - 4
3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x - 5)(x + 2) = 18.
解: 原方程化为：
(x-5)(x+2)=18 . ①
由 x – 5 = 3， 得 x = 8；②
由 x + 2 = 6， 得 x = 4；③
所以原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4.
解: 原方程化为：
x2 - 3x – 28 = 0，
(x - 7)(x + 4) = 0，
x1 = 7，x2 = - 4.
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 ( r + 5 )2×π = 2r2π.
答：小圆形场地的半径是 m
①因式分解法
问题： 我们学习过的解一元二次方程的方法有哪些？
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
(x + a )2 = C ( C ≥ 0 ）
(化方程为一般式）
（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）
②直接开平方法
③公式法
④配方法
议 一 议
下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由.
(1) x2 - 4x = 0； (2) 2x2 + 4x – 3 = 0； (3) x2 + 6x + 9 = 16.
二、灵活选用方法解方程
解 因式分解法
x1= 0，x2 = 4
，b = 4，c = -3
b2 – 4ac = 42 - 4×2×(-3) = 40
x1= -1+ ，x2 = -1-
(3) x2 + 6x + 9 = 16.
解 移项后 x2 + 6x - 7 = 0
因式分解法
(
x1= -7，x2 = 1
解：(1) 因式分解，得
于是得
x = 0 或 x + 3＝0，
x1 = 0，x2 = -3.
(2) 这里 a = 5， b = - 4， c = -1
因而 Δ = b2 - 4ac = 36 > 0，
于是得
x(x + 3) = 0.
例9 选择适合的方法解下列方程：
典例精析
(1) x2 + 3x = 0； (2) 5x2 - 4x -1 = 0 ；
解：原方程可化为
于是得
x + 1＝2 或 x + 1＝ -2，
x1 = 1，x2 = -3.
即 (x + 1)2 = 4.
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x + m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a ≠ 0 ， b2 - 4ac ≥ 0)
(x + m) （x + n）＝0
拓展提升
说 一 说
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
解一元二次方程的基本思路都是：
将一元二次方程转化为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，
即ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是方程ax2 + bx + c = 0的两个根．
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2 + c = 0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2 + bx = 0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2 + bx + c = 0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
解法选择基本思路
要点归纳
练 习
1.选择合适的方法解下列方程：
(1) 3x2 - 4x = 2x； (2) (x + 3)2 = 1；
解：3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
3x = 0 或 x - 2 = 0
x1 = 0，x2 = 2
解：(x + 3)2 = 3
x + 3 =±
x = ±-3
x1= -3，x2 = - -3
(3) x2 + ( + 1)x = 0 ； (4) x(x - 6) = 2(x - 8) ；
解：x(x + +1) = 0
x = 0 或 x + +1 = 0
x1 = 0，x2 = - -1
解：x2 - 6x = 2x - 16
x2 - 8x + 16 = 0
(x - 4)2 = 0
x1 = x2 = 4
(5) (x +1)(x - 1) = 2x ；
解：x2 - +1 = 0
x1 = ，x2 =
(6) x(x + 8) = 25 ；
解
解：x2 - 3x - 11 = 0
(7) (x + 2)(x - 5) = 1 ；
(8) (2x + 1)2 = 2(2x + 1).
解： (2x + 1)2 - 2(2x + 1) = 0
(2x + 1)(2x + 1 - 2) = 0
(2x + 1)(2x - 1) = 0
2x + 1 = 0 或 2x – 1 = 0
x1 = ， x2 =
课堂小结
本课结束