2023-2024学年初中湘教版数学九年级上册第2章 一元二次方程：2.4一元二次方程根与系数的关系课件 21张PPT

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2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其它关系吗？
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a ≠ 0)
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.

复习引入
一、探索一元二次方程的根与系数的关系
做 一 做
（1）先解方程，再填表：
方 程 x1 x2 x1 + x2 x1·x2
0 2
由上表猜测：若方程 x2 + bx + c = 0的两个根为x1，x2，则
x1 + x2 = ， x1·x2 = ；
2
0
- 4
- 3
- 4
1
-1
6
5
- 6
- b
c
做 一 做
（2）方程 x2 - 5x + 6 = 0的两个根为 x1 = ，x2 = ，
根据2.2节例8下面的一段话，得 x2 - 5x + 6 = (x - )(x - ).
若我们能把方程 x2 + bx + c = 0的左边进行因式分解后，写成
x2 + bx + c = (x - d)(x - h) = 0，
则 d 和 h 就是方程 x2 + bx + c = 0的根．
反过来，如果 d 和 h 是方程 x2 + bx + c = 0的根，则方程的左边就可以分解成
x2 + bx + c = (x - d)(x - h).
2
3
2
3
动 脑 筋
对于方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)，当 Δ ≥ 0 时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
当Δ ≥ 0时，设ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两个根为x1，x2，则
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
= a[x2 - (x1 + x2)x + x1x2]，
根据七年级上册教科书2.5节关于两个多项式相等的规定，得
即
这个关系通常被称为韦达定理.
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
这表明，当 Δ ≥ 0 时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：
归纳总结
两根的积等于常数项与二次项系数的比.
解：这里 a = 2 ， b = -3 ， c = 1.
Δ = b2 - 4ac = (- 3)2 – 4×2×1 = 1 > 0，
∴方程有两个实数根.
那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = .
二、一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根 x1，x2的和与积：
（2）x2 - 3x + 2 =10.
解：（2）整理，得 x2 - 3x - 8 = 0，
这里 a = 1 ， b = -3 ， c = -8.
Δ = b2 - 4ac
= (- 3)2 – 4 × 1 × (-8)
= 41 > 0，
∴方程有两个实数根.
那么 x1 + x2 = 3 ，x1 x2 = -8 .
（3）7x2 – 5 = x + 8.
（3）整理，得7x2 – x – 13 = 0，
这里 a = 7 ，b = -1 ， c = -13.
Δ = b2 - 4ac
= (- 1)2 – 4 × 7 ×(-13)
= 365 > 0，
∴方程有两个实数根.
那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = - .
解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = -3 .
则：x1 + x2 = (-3) + x2 = -3，
解得 x2 = 0
由根与系数之间的关系得
x1·x2 = q = (-3) × 0 = 0
得 q = 0.
答：方程的另一个根是 0，q = 0.
例2 已知方程 x2 + 3x + q = 0 的一个根是-3，求它的另一个根及 q 的值.
还可用其他方法求出 q 的值吗？
变式：已知方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中 x1 = 1.
所以：x1 + x2 = 1 + x2 = 6，
即：x2 = 5 .
由于 x1·x2 = 1×5 = ，
得：m =15.
答：方程的另一个根是5，m = 15.
不解方程，求方程 2x2 + 3x – 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
练一练
2
1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根的和与积：
(1) x2 - 6x + 1 = 0； (2) 2x2 – x = 6.
练 习


2.已知方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根为1，求它的另一个根及m的值．
解：由一元二次方程根与系数的关系，得




3.已知方程 3x2 -19x + m = 0 的一个根是1，求它的另一个根及 m 的值.

4.已知x1，x2是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0的两个根，且（x1 + 1)(x2 + 1) = 4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.



解:根据根与系数的关系得：



6. 当 k 为何值时，方程 2x2 – kx + 1 = 0的两根差为1.
解：设方程两根分别为 x1，x2(x1 > x2)，则 x1 - x2 = 1
∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1
由根与系数的关系，得
拓展提升
7.已知关于x的一元二次方程 mx2-2mx+ m -2 = 0
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1，x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
解：(1)方程有实数根
∴m的取值范围为m＞0
(2) ∵方程有实数根x1，x2
∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1
解得 m = 8.
经检验 m = 8是原方程的解．



本课结束