第11章 三角形章末复习题（含答案）
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第11章 三角形 章末复习
【知识网络】
【易错示警】
1．判断三条线段能否组成三角形时，误认为只要有两条线段的长度之和大于第三条线段的长度就可以．
2．根据等腰三角形腰上的中线分三角形为两部分，求底、腰时，容易漏解．
3．运用三角形内角和定理的推论时，忽略条件“不相邻”而出错．
4．一个多边形是正多边形必须具备“各个角都相等”“各条边都相等”这两个条件，缺一不可．
5．画钝角三角形的高时，不知过哪一点画哪条边的垂线．
6．在求三角形的边或周长时，容易忽略构成三角形的条件．
【考点突破】
考点1：与三角形有关的线段
1．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )
A．5m B．15m C．20m D．28m
第1题图 第4题图 第8题图
2．一个等腰三角形的两边长分别为4、8，则它的周长为( )
A．12 B．16 C．20 D．16或20
3．生活中有一种可推拉的活动护栏，它是应用了数学中四边形的 .
4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 .
5．有两根长度分别为2cm和5cm的木棒．
(1)用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？
(2)用长度为1cm的木棒呢？
(3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？
6．如图所示：已知△ABC.
(1)作出△ABC的三条高线；
(2)如果△ABC的三边分别为AB＝6，BC＝5，AC＝4，那么(1)中的三条高线的比是多少？
考点2：与三角形有关的角
7．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图所示，图中∠α、∠β的度数分别是( C )
A．30°，50° B．40°，80° C．40°，40° D．60°，40°
9．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 .
10．已知，在△ABC中，AD是BC边上的高线，且∠ABC＝26°，∠ACD＝55°，则∠BAC＝ .
11．如图所示，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
12．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠BAC∶∠BCA＝3∶2，CD⊥AD于点D，且∠ACD＝35°，求∠BAE的度数．
13．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，∠C＝66°，求∠DAC，∠BOA的度数．
考点3：多边形的内角和与外角和
14．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形．则这个多边形是
边形．
15．已知多边形的内角和与某一个外角的度数之和为2550°，求这个多边形的边数．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图②，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
【综合练习】
1．下列说法正确的是( )
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )
A．1、2、4 B．4、5、9 C．4、6、8 D．5、5、11
3．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )
A．85° B．80° C．75° D．70°
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是( )
A．24° B．59° C．60° D．69°
5．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则与∠1互余的角有( )
A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD
6．下列说法正确的是( )
A．五个角都相等的五边形是正五边形
B．六条边都相等的六边形是正六边形
C．四个角都是直角的四边形是正四边形
D．七个角都相等的七边形不一定是正七边形
7．如图，AD⊥BC于D，那么以AD为高的三角形有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
第7题图 第9题图 第12题图
8．【2021·青海】已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
9．如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，连接AE，BD交于点F.若S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A＝ 度．
11．已知三角形的三边长分别为2、x－1、3，则三角形周长y的取值范围是 .
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B和∠C的平分线相交于点O，则∠BOC＝ .
13．从一个多边形一个顶点所引的对角线将多边形分成18个三角形，则此多边形的边数是 ，这个多边形共有 条对角线．
14．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝________．
15．画出下面三角形的高AD.
16．如图所示，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．
(1)求∠DAE的度数；
(2)指出AD是哪几个三角形的高．
17．等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
18．已知n边形的内角和θ＝(n－2)·180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
19．如图，在等边三角形ABC中，BD为AC边上的高，G为△ABC内任意一点，GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC，垂足分别为F，E，H.求证：GF＋GE＋GH＝BD.
20．如图，在△ABC中，BD、CD是内角平分线，BP、CP是∠ABC、∠ACB的外角平分线，分别交于D、P.
(1)若∠A＝30°，求∠BDC、∠BPC的度数；
(2)若∠A＝m°，求∠BDC、∠BPC的度数(直接写出结果，不必说明理由)；
(3)想一想，∠A的大小变化，对∠D＋∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由；若无影响，直接求出其值．
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参考答案
【知识网络】
【易错示警】
1．判断三条线段能否组成三角形时，误认为只要有两条线段的长度之和大于第三条线段的长度就可以．
2．根据等腰三角形腰上的中线分三角形为两部分，求底、腰时，容易漏解．
3．运用三角形内角和定理的推论时，忽略条件“不相邻”而出错．
4．一个多边形是正多边形必须具备“各个角都相等”“各条边都相等”这两个条件，缺一不可．
5．画钝角三角形的高时，不知过哪一点画哪条边的垂线．
6．在求三角形的边或周长时，容易忽略构成三角形的条件．
【考点突破】
考点1：与三角形有关的线段
1．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( D )
A．5m B．15m C．20m D．28m
第1题图 第4题图 第8题图
2．一个等腰三角形的两边长分别为4、8，则它的周长为( C )
A．12 B．16 C．20 D．16或20
3．生活中有一种可推拉的活动护栏，它是应用了数学中四边形的 .
【答案】不稳定性
4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 .
【答案】6
5．有两根长度分别为2cm和5cm的木棒．
(1)用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？
(2)用长度为1cm的木棒呢？
(3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？
解：(1)不能，由于2＋3＝5，所以它们不能摆成三角形；
(2)用长度为1cm的木棒时，由于1＋2＝3＜5，所以它们也不能摆成三角形；
(3)设第三根木棒长为xcm，因为2＋5＝7，所以第三根木棒的长度必须小于7cm；又因为5－2＝3，所以第三根木棒的长度必须大于3cm，所以3＜x＜7.即要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是大于3cm且小于7cm.
6．如图所示：已知△ABC.
(1)作出△ABC的三条高线；
(2)如果△ABC的三边分别为AB＝6，BC＝5，AC＝4，那么(1)中的三条高线的比是多少？
解(1)如图所示：；
(2)设AB、BC、AC边上的高为h1、h2、h3，根据题意，得6h1＝5h2＝4h3，所以h1∶h2∶h3＝∶∶＝10∶12∶15.
考点2：与三角形有关的角
7．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图所示，图中∠α、∠β的度数分别是( C )
A．30°，50° B．40°，80° C．40°，40° D．60°，40°
9．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 .
【答案】15°
10．已知，在△ABC中，AD是BC边上的高线，且∠ABC＝26°，∠ACD＝55°，则∠BAC＝ .
【答案】99°或29°
11．如图所示，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
解：∵AB∥CD，∠ABE＝60°，∴∠EFC＝∠ABE＝60°.又∵∠D＝50°，∠D＋∠E＝∠EFC，∴∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°.
12．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠BAC∶∠BCA＝3∶2，CD⊥AD于点D，且∠ACD＝35°，求∠BAE的度数．
【解析】∠BAE不是三角形的内角，但与∠BAD互为邻补角，故可转化求∠BAD的度数，即求∠BAC和∠CAD的度数；而∠BAC和∠CAD分别是△BAC和△ACD的内角，结合题意，根据三角形的内角和及直角三角形的性质，问题得解．
【解答】在△ABC中，∠B＝70°，∠BAC∶∠BCA＝3∶2，∴可设∠BAC＝3x°，则∠BCA＝2x°.∵∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°，∴70°＋3x°＋2x°＝180°，解得x＝22.∴∠BAC＝3×22°＝66°.又CD⊥AD，∴∠D＝90°.∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°－∠ACD＝90°－35°＝55°.∵∠DAE是平角，∴∠BAE＝180°－∠BAC－∠CAD＝180°－66°－55°＝59°.
13．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，∠C＝66°，求∠DAC，∠BOA的度数．
解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝66°∴∠DAC＝180°－90°－66°＝24°.∵∠BAC＝54°，∠C＝66°，AE是角平分线，∴∠BAO＝27°，∠ABC＝60°.∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝123°.
考点3：多边形的内角和与外角和
14．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形．则这个多边形是
边形．
【答案】九
15．已知多边形的内角和与某一个外角的度数之和为2550°，求这个多边形的边数．
解：设多边形的边数为n，这个外角为x，则0°＜x＜180°.根据题意，得(n－2)×180°＋x＝2550°.解得x＝2910°－180°n.∵0°＜x＜180°，∴0°＜2910°－180°n＜180°，解得15＜n＜16，∴n＝16.即这个多边形的边数为16.
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图②，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
解：(1)在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°， ∵∠A＝140°，∠D＝80°，∠B＝∠C，∴140°＋80°＋2∠C＝360°，∴∠C＝70°；
(2)∵∠A＝140°，∠D＝80°，BE∥AD，∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°，∠BED＝180°－∠D＝180°－80°＝100°.又∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.∴∠C＝∠BED－∠EBC＝100°－40°＝60°；
(3)∵∠A＝140°，∠D＝80°，∠ABC＋∠BCD＝360°－(∠A＋∠D)＝360°－(140°＋80°)＝140°，又∵BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＋∠ECB＝∠ABC＋∠BCD＝(∠ABC＋∠BCD)＝×140°＝70°.∴在△BEC中，∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－70°＝110°.
【综合练习】
1．下列说法正确的是( C )
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是( C )
A．1、2、4 B．4、5、9 C．4、6、8 D．5、5、11
3．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( A )
A．85° B．80° C．75° D．70°
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是( B )
A．24° B．59° C．60° D．69°
5．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则与∠1互余的角有( C )
A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD
6．下列说法正确的是( D )
A．五个角都相等的五边形是正五边形
B．六条边都相等的六边形是正六边形
C．四个角都是直角的四边形是正四边形
D．七个角都相等的七边形不一定是正七边形
7．如图，AD⊥BC于D，那么以AD为高的三角形有( D )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
第7题图 第9题图 第12题图
8．【2021·青海】已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( D )
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【解析】由题意，得解得
当b为底边长时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底边长时，三角形的三边长为2，3，3，周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8.
9．如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，连接AE，BD交于点F.若S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵EC＝2BE，点D是AC的中点，
∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4，S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.
∴S△ADF－S△BEF＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△BEF＋S△ABF)＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2，故选B.
10．在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A＝ 度．
【答案】80
11．已知三角形的三边长分别为2、x－1、3，则三角形周长y的取值范围是 .
【答案】6＜y＜10
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B和∠C的平分线相交于点O，则∠BOC＝ .
【答案】135°
13．从一个多边形一个顶点所引的对角线将多边形分成18个三角形，则此多边形的边数是 ，这个多边形共有 条对角线．
【答案】20 170
14．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝________．
【答案】540°
15．画出下面三角形的高AD.
解：如图所示，AD即为所作高．
16．如图所示，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．
(1)求∠DAE的度数；
(2)指出AD是哪几个三角形的高．
解：(1)∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴∠BAD＝50°，∠CAD＝30°.∴∠BAC＝50°＋30°＝80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝40°.∴∠DAE＝50°－40°＝10°；
(2)AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．
17．等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
解：∵|a－4|＋(b－9)2＝0，
∴|a－4|＝0，(b－9)2＝0.∴a＝4，b＝9.
若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形；
若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形．
故这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.
18．已知n边形的内角和θ＝(n－2)·180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：(1)甲对，乙不对．理由：∵θ＝360°，∴(n－2)·180°＝360°，解得n＝4.∵θ＝630°，∴(n－2)·180°＝630°，解得n＝.∵n为整数，∴θ不能取630°；
(2)依题意，得(n－2)·180°＋360°＝(n＋x－2)·180°，解得x＝2.
19．如图，在等边三角形ABC中，BD为AC边上的高，G为△ABC内任意一点，GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC，垂足分别为F，E，H.求证：GF＋GE＋GH＝BD.
证明：如图，连接GA，GB，GC.
∵BD是AC边上的高，∴S△ABC＝AC·BD.
∵GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC，
∴S△ABC＝S△ABG＋S△BCG＋S△ACG
＝AB·GF＋BC·GH＋AC·GE.
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，
∴S△ABC＝AC·(GF＋GE＋GH)＝AC·BD.
∴GF＋GE＋GH＝BD.
20．如图，在△ABC中，BD、CD是内角平分线，BP、CP是∠ABC、∠ACB的外角平分线，分别交于D、P.
(1)若∠A＝30°，求∠BDC、∠BPC的度数；
(2)若∠A＝m°，求∠BDC、∠BPC的度数(直接写出结果，不必说明理由)；
(3)想一想，∠A的大小变化，对∠D＋∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由；若无影响，直接求出其值．
解：(1)∵∠A＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝150°，∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBC＋∠DCB＝75°，∴∠BDC＝180°－75°＝105°.∵∠EBC＋∠FCB＝360°－150°＝210°，又∵BP、CP分别平分∠EBC、∠FCB，∴∠PBC＋∠PCB＝105°，∴∠BPC＝75°；
(2)∠BDC＝90°＋m°，∠BPC＝90°－m°；
(3)无影响，∠D＋∠P＝180°.
【知识网络】
【易错示警】
1．判断三条线段能否组成三角形时，误认为只要有两条线段的长度之和大于第三条线段的长度就可以．
2．根据等腰三角形腰上的中线分三角形为两部分，求底、腰时，容易漏解．
3．运用三角形内角和定理的推论时，忽略条件“不相邻”而出错．
4．一个多边形是正多边形必须具备“各个角都相等”“各条边都相等”这两个条件，缺一不可．
5．画钝角三角形的高时，不知过哪一点画哪条边的垂线．
6．在求三角形的边或周长时，容易忽略构成三角形的条件．
【考点突破】
考点1：与三角形有关的线段
1．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )
A．5m B．15m C．20m D．28m
第1题图 第4题图 第8题图
2．一个等腰三角形的两边长分别为4、8，则它的周长为( )
A．12 B．16 C．20 D．16或20
3．生活中有一种可推拉的活动护栏，它是应用了数学中四边形的 .
4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 .
5．有两根长度分别为2cm和5cm的木棒．
(1)用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？
(2)用长度为1cm的木棒呢？
(3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？
6．如图所示：已知△ABC.
(1)作出△ABC的三条高线；
(2)如果△ABC的三边分别为AB＝6，BC＝5，AC＝4，那么(1)中的三条高线的比是多少？
考点2：与三角形有关的角
7．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图所示，图中∠α、∠β的度数分别是( C )
A．30°，50° B．40°，80° C．40°，40° D．60°，40°
9．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 .
10．已知，在△ABC中，AD是BC边上的高线，且∠ABC＝26°，∠ACD＝55°，则∠BAC＝ .
11．如图所示，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
12．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠BAC∶∠BCA＝3∶2，CD⊥AD于点D，且∠ACD＝35°，求∠BAE的度数．
13．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，∠C＝66°，求∠DAC，∠BOA的度数．
考点3：多边形的内角和与外角和
14．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形．则这个多边形是
边形．
15．已知多边形的内角和与某一个外角的度数之和为2550°，求这个多边形的边数．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图②，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
【综合练习】
1．下列说法正确的是( )
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )
A．1、2、4 B．4、5、9 C．4、6、8 D．5、5、11
3．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )
A．85° B．80° C．75° D．70°
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是( )
A．24° B．59° C．60° D．69°
5．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则与∠1互余的角有( )
A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD
6．下列说法正确的是( )
A．五个角都相等的五边形是正五边形
B．六条边都相等的六边形是正六边形
C．四个角都是直角的四边形是正四边形
D．七个角都相等的七边形不一定是正七边形
7．如图，AD⊥BC于D，那么以AD为高的三角形有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
第7题图 第9题图 第12题图
8．【2021·青海】已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
9．如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，连接AE，BD交于点F.若S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A＝ 度．
11．已知三角形的三边长分别为2、x－1、3，则三角形周长y的取值范围是 .
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B和∠C的平分线相交于点O，则∠BOC＝ .
13．从一个多边形一个顶点所引的对角线将多边形分成18个三角形，则此多边形的边数是 ，这个多边形共有 条对角线．
14．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝________．
15．画出下面三角形的高AD.
16．如图所示，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．
(1)求∠DAE的度数；
(2)指出AD是哪几个三角形的高．
17．等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
18．已知n边形的内角和θ＝(n－2)·180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
19．如图，在等边三角形ABC中，BD为AC边上的高，G为△ABC内任意一点，GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC，垂足分别为F，E，H.求证：GF＋GE＋GH＝BD.
20．如图，在△ABC中，BD、CD是内角平分线，BP、CP是∠ABC、∠ACB的外角平分线，分别交于D、P.
(1)若∠A＝30°，求∠BDC、∠BPC的度数；
(2)若∠A＝m°，求∠BDC、∠BPC的度数(直接写出结果，不必说明理由)；
(3)想一想，∠A的大小变化，对∠D＋∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由；若无影响，直接求出其值．
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参考答案
【知识网络】
【易错示警】
1．判断三条线段能否组成三角形时，误认为只要有两条线段的长度之和大于第三条线段的长度就可以．
2．根据等腰三角形腰上的中线分三角形为两部分，求底、腰时，容易漏解．
3．运用三角形内角和定理的推论时，忽略条件“不相邻”而出错．
4．一个多边形是正多边形必须具备“各个角都相等”“各条边都相等”这两个条件，缺一不可．
5．画钝角三角形的高时，不知过哪一点画哪条边的垂线．
6．在求三角形的边或周长时，容易忽略构成三角形的条件．
【考点突破】
考点1：与三角形有关的线段
1．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( D )
A．5m B．15m C．20m D．28m
第1题图 第4题图 第8题图
2．一个等腰三角形的两边长分别为4、8，则它的周长为( C )
A．12 B．16 C．20 D．16或20
3．生活中有一种可推拉的活动护栏，它是应用了数学中四边形的 .
【答案】不稳定性
4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 .
【答案】6
5．有两根长度分别为2cm和5cm的木棒．
(1)用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？
(2)用长度为1cm的木棒呢？
(3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？
解：(1)不能，由于2＋3＝5，所以它们不能摆成三角形；
(2)用长度为1cm的木棒时，由于1＋2＝3＜5，所以它们也不能摆成三角形；
(3)设第三根木棒长为xcm，因为2＋5＝7，所以第三根木棒的长度必须小于7cm；又因为5－2＝3，所以第三根木棒的长度必须大于3cm，所以3＜x＜7.即要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是大于3cm且小于7cm.
6．如图所示：已知△ABC.
(1)作出△ABC的三条高线；
(2)如果△ABC的三边分别为AB＝6，BC＝5，AC＝4，那么(1)中的三条高线的比是多少？
解(1)如图所示：；
(2)设AB、BC、AC边上的高为h1、h2、h3，根据题意，得6h1＝5h2＝4h3，所以h1∶h2∶h3＝∶∶＝10∶12∶15.
考点2：与三角形有关的角
7．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图所示，图中∠α、∠β的度数分别是( C )
A．30°，50° B．40°，80° C．40°，40° D．60°，40°
9．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 .
【答案】15°
10．已知，在△ABC中，AD是BC边上的高线，且∠ABC＝26°，∠ACD＝55°，则∠BAC＝ .
【答案】99°或29°
11．如图所示，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
解：∵AB∥CD，∠ABE＝60°，∴∠EFC＝∠ABE＝60°.又∵∠D＝50°，∠D＋∠E＝∠EFC，∴∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°.
12．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠BAC∶∠BCA＝3∶2，CD⊥AD于点D，且∠ACD＝35°，求∠BAE的度数．
【解析】∠BAE不是三角形的内角，但与∠BAD互为邻补角，故可转化求∠BAD的度数，即求∠BAC和∠CAD的度数；而∠BAC和∠CAD分别是△BAC和△ACD的内角，结合题意，根据三角形的内角和及直角三角形的性质，问题得解．
【解答】在△ABC中，∠B＝70°，∠BAC∶∠BCA＝3∶2，∴可设∠BAC＝3x°，则∠BCA＝2x°.∵∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°，∴70°＋3x°＋2x°＝180°，解得x＝22.∴∠BAC＝3×22°＝66°.又CD⊥AD，∴∠D＝90°.∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°－∠ACD＝90°－35°＝55°.∵∠DAE是平角，∴∠BAE＝180°－∠BAC－∠CAD＝180°－66°－55°＝59°.
13．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，∠C＝66°，求∠DAC，∠BOA的度数．
解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝66°∴∠DAC＝180°－90°－66°＝24°.∵∠BAC＝54°，∠C＝66°，AE是角平分线，∴∠BAO＝27°，∠ABC＝60°.∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝123°.
考点3：多边形的内角和与外角和
14．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形．则这个多边形是
边形．
【答案】九
15．已知多边形的内角和与某一个外角的度数之和为2550°，求这个多边形的边数．
解：设多边形的边数为n，这个外角为x，则0°＜x＜180°.根据题意，得(n－2)×180°＋x＝2550°.解得x＝2910°－180°n.∵0°＜x＜180°，∴0°＜2910°－180°n＜180°，解得15＜n＜16，∴n＝16.即这个多边形的边数为16.
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图②，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
解：(1)在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°， ∵∠A＝140°，∠D＝80°，∠B＝∠C，∴140°＋80°＋2∠C＝360°，∴∠C＝70°；
(2)∵∠A＝140°，∠D＝80°，BE∥AD，∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°，∠BED＝180°－∠D＝180°－80°＝100°.又∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.∴∠C＝∠BED－∠EBC＝100°－40°＝60°；
(3)∵∠A＝140°，∠D＝80°，∠ABC＋∠BCD＝360°－(∠A＋∠D)＝360°－(140°＋80°)＝140°，又∵BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＋∠ECB＝∠ABC＋∠BCD＝(∠ABC＋∠BCD)＝×140°＝70°.∴在△BEC中，∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－70°＝110°.
【综合练习】
1．下列说法正确的是( C )
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是( C )
A．1、2、4 B．4、5、9 C．4、6、8 D．5、5、11
3．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( A )
A．85° B．80° C．75° D．70°
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是( B )
A．24° B．59° C．60° D．69°
5．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则与∠1互余的角有( C )
A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD
6．下列说法正确的是( D )
A．五个角都相等的五边形是正五边形
B．六条边都相等的六边形是正六边形
C．四个角都是直角的四边形是正四边形
D．七个角都相等的七边形不一定是正七边形
7．如图，AD⊥BC于D，那么以AD为高的三角形有( D )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
第7题图 第9题图 第12题图
8．【2021·青海】已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( D )
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【解析】由题意，得解得
当b为底边长时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底边长时，三角形的三边长为2，3，3，周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8.
9．如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，连接AE，BD交于点F.若S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵EC＝2BE，点D是AC的中点，
∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4，S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.
∴S△ADF－S△BEF＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△BEF＋S△ABF)＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2，故选B.
10．在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A＝ 度．
【答案】80
11．已知三角形的三边长分别为2、x－1、3，则三角形周长y的取值范围是 .
【答案】6＜y＜10
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B和∠C的平分线相交于点O，则∠BOC＝ .
【答案】135°
13．从一个多边形一个顶点所引的对角线将多边形分成18个三角形，则此多边形的边数是 ，这个多边形共有 条对角线．
【答案】20 170
14．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝________．
【答案】540°
15．画出下面三角形的高AD.
解：如图所示，AD即为所作高．
16．如图所示，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．
(1)求∠DAE的度数；
(2)指出AD是哪几个三角形的高．
解：(1)∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴∠BAD＝50°，∠CAD＝30°.∴∠BAC＝50°＋30°＝80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝40°.∴∠DAE＝50°－40°＝10°；
(2)AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．
17．等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
解：∵|a－4|＋(b－9)2＝0，
∴|a－4|＝0，(b－9)2＝0.∴a＝4，b＝9.
若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形；
若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形．
故这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.
18．已知n边形的内角和θ＝(n－2)·180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：(1)甲对，乙不对．理由：∵θ＝360°，∴(n－2)·180°＝360°，解得n＝4.∵θ＝630°，∴(n－2)·180°＝630°，解得n＝.∵n为整数，∴θ不能取630°；
(2)依题意，得(n－2)·180°＋360°＝(n＋x－2)·180°，解得x＝2.
19．如图，在等边三角形ABC中，BD为AC边上的高，G为△ABC内任意一点，GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC，垂足分别为F，E，H.求证：GF＋GE＋GH＝BD.
证明：如图，连接GA，GB，GC.
∵BD是AC边上的高，∴S△ABC＝AC·BD.
∵GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC，
∴S△ABC＝S△ABG＋S△BCG＋S△ACG
＝AB·GF＋BC·GH＋AC·GE.
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，
∴S△ABC＝AC·(GF＋GE＋GH)＝AC·BD.
∴GF＋GE＋GH＝BD.
20．如图，在△ABC中，BD、CD是内角平分线，BP、CP是∠ABC、∠ACB的外角平分线，分别交于D、P.
(1)若∠A＝30°，求∠BDC、∠BPC的度数；
(2)若∠A＝m°，求∠BDC、∠BPC的度数(直接写出结果，不必说明理由)；
(3)想一想，∠A的大小变化，对∠D＋∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由；若无影响，直接求出其值．
解：(1)∵∠A＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝150°，∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBC＋∠DCB＝75°，∴∠BDC＝180°－75°＝105°.∵∠EBC＋∠FCB＝360°－150°＝210°，又∵BP、CP分别平分∠EBC、∠FCB，∴∠PBC＋∠PCB＝105°，∴∠BPC＝75°；
(2)∠BDC＝90°＋m°，∠BPC＝90°－m°；
(3)无影响，∠D＋∠P＝180°.