1.1空间向量及其运算(第一课时）课件(共23张PPT)-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共23张PPT)
1.1空间向量及其运算
——（第一课时）
复习导入
平面向量的概念
定义
既有大小又有方向的量叫做向量
长度/模
向量的大小叫做向量的长度（或模）
表示法
几何表示法
字母表示法
用有向线段表示。
A
B
C
D
用小写字母、等表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
复习导入
几类特殊的平面向量
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
规定长度为的向量叫零向量，记为
模长为的的向量叫单位向量
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量，的相反向量，记为
共线向量
方向相同或相反的非零向量
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有
复习导入
平面向量的线性运算
加法
减法
数乘
+
+
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
①
②当时，与同向；
当时，；
当时，与向.
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
新知探究
情境导入：生活中的空间向量
F1
F2
F3
图1 线缆同时受到来
自不同方向的支持力
图2 跳伞运动员同时受到
重力、风力、绳索牵拉力
图3 水平抬起钢板，钢板受
到来自不同方向上的作用力
思考：每个场景中的力都能用平面向量表示吗？
新知探究
空间向量的有关概念
定义
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。
类比平面向量，你能给出空间向量的有关概念吗？
新知探究
空间向量的有关概念
长度/模
空间向量的大小叫做空间向量的长度（或模）记为.
表示法
几何表示法
字母表示法
用有向线段表示。
用小写字母、等表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
A
B
新知探究
空间向量的有关概念
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
规定长度为的向量叫零向量，记为
模长为的的向量叫单位向量
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量，的相反向量，记为
共线向量
表示若干空间向量的有向线段所在直线平行或重合
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有
新知探究
辨析.判断正误.
(1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量（ ）
(2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同（ ）
(3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（ ）
(4)将空间所有单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆（ ）
(2)× 空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同．
(3)× 缺少另一条件：方向相同．
(1)× 缺少另一条件：长度相等．
(4)× 它们的终点构成一个球面．
新知探究
空间向量的有关概念
思考：空间向量是如何运算的呢？与平面向量的运算有什么关系吗？
a
b
a
b
O
A
B
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算，都可以转化为平面向量的运算.
新知探究
空间向量的有关概念
由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法（如图）以及数乘运算（如图）：
(1)
(2)
(3)当时，
当时，
当时，
新知探究
空间向量的有关概念
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）：
交换律：
结合律：
分配律：
b
c
a
a + b + c
a + b
b
a
a + b + c
b + c
c
新知探究
练一练：如图,已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
(1)
(2)
(3)
(4)
一般地，对于三个不共面的向量以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量
新知探究
练一练：如图,已知空间四边形中，向量 ， ，若为的中点，为的重心，试用， ， 表示下列向量：
（1） ； （2） .
A
M
C
G
D
B
新知探究
空间向量的共线向量定理
共线向量定理：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
新知探究
方向向量
是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量


新知探究
共面向量
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，
也可能不共面.
d
b
a
c
共面向量：平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
新知探究
空间向量的共面向量定理
共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
b
思考：定理中符合条件的有序实数对(x, y)为什么存在？又为什么唯一？
例1：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.求证：，，，四点共面.
证明：因为，
所以
因为四边形是平行四边形，所以
因此
由向量共面的充要条件可知，，共面，又
过同一点，从而，，，四点共面.
例题讲解
方法总结
、、三点共线
、、、 点共面
练习1：如图，已知，，，分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：，，，四点共面.
证明：如图，连接EG，BG．
因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要条件可知，向量，，共面，
又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．
从而，，，四点共面.
练习巩固
练习2：已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线，如果，则的值为____________
【答案】
，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
练习巩固
练习3：已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为____________
【答案】
因为，点在确定的平面内，
所以，即，所以，
所以当时，的有最小值2．
小结
空间向量及其线性运算
空间向量
常见的空间向量
线性运算
共面向量
共线向量
定义、长度（模）、表示法
零向量、单位向量、相等向量、相反向量
加法、减法、数乘