2.2基本不等式同步练习（Word含答案）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式同步练习
一、单选题
1．若，则的最小值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
4．若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．现将一物体放在左、右托盘各称一次，称量结果分别为和，设该物体的真实质量为，则（ ）
A． B． C． D．
6．若实数、满足，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则当取最大值时的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
二、多选题
9．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，且，则（　　）
A． B．
C． D．
11．已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为9
12．设，且，，则必有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
14．若，且，则的最小值为 .
15．已知正实数满足，则的最小值为
16．已知，求的最大值 .
四、解答题
17．某游泳馆拟建一座游泳池，池底为矩形且面积为，池的深度为，池的四周墙壁建造单价为每平方米400元，在该泳池长边的正中间设置一个隔层，该隔层建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚忽略不计），则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．
18．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.
(1)若，则；
(2)若，则.
19．今有一台天平，两臂之长略有差异，其他均精确.有人用它来测量物体质量，方法是将物体放在左右两个托盘上各称一次，然后取两次称得的质量的算术平均数作为测量结果，则这个平均数是否就是物体的实际质量？若是，请证明；若不是，请说明是小于物体的实际质量还是大于物体的实际质量.
20．对于问题“已知正实数x、y满足，求的最小值”，申辉中学的小刚给出了一个解答：
因为，所以的最小值为．
问：他的解答过程是否正确？判断并说明理由．
21．已知为正实数，且满足.
（1）若恒成立，求的最小值；
（2）证明：.
22．已知实数，，且
(1)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值；
(2)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值.
参考答案
1--8DDDD B DDD
9．BCD
10．AD
11．ABD
12．BD
13．
14．
15．18
16．
17．解：设泳池的长为，则宽为，
则总造价，
整理得到，
当且仅当时等号成立．即泳池的长设计为时，可使总造价最低．
答：泳池的长设计为时，可使总造价最低．
18．（1）因为，所以，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
（2）因为，当时，，
当且仅当时等号成立.
当时，，
当且仅当时等号成立.
综上，若，则成立，当且仅当时等号成立.
19．设物体的真实质量为，天平的左臂长分别为，右臂长为，物体放在左臂时测出的质量数为，放在右臂时测出的质量数为.
天平平衡因为是力矩平衡，则有，可得，
因为，由基本不等式得.
因此，两次测量结果的平均数不是物体的实际质量，这个平均数大于物体的实际质量.
20．小刚的解答不正确理由如下：小刚解答过程中运用了两次平均值不等式，等号成立的条件分别为以及．而当时，，不可能同时满足，故无法取到．
下面是正确的解答过程：
．
因为x、y均为正实数，所以由平均值不等式，得．
所以，即．
当即时，取到最小值．
21．解：（1）因为，，，
由基本不等式得，当且仅当时取等号.
因为恒成立，所以，的最小值为.
（2）因为，
所以
当且仅当时取等号，得证.
22．（1）时，，
因为，
所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
（2）时，，
变形为，即，
，
其中，
故，
因为，解得：，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，此时.