数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.2两点间距离公式（共15张ppt）

(共15张PPT)
2.3.2
两点间的距离公式
学习目标
1. 掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程。
2. 会用距离公式解决相关几何问题，体会坐标法求解几何问题的重要性。
3.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算
一、复习导入
距离是欧式几何中最基本的度量，而两点间距离又是所有距离当中最简单、最基本的。今天我们一起来学习——两点间距离公式。
直线的位置关系 公共点的个数 方程组解的个数
相交
平行
重合
有且只有一个
唯一解
0个
无解
无数个
无数组解
两条直线的交点坐标
问题1：如图，已知平面内点 ，如何求间的距离| |？
二、新课讲授
1、两点间的距离公式


分析：向量的模长
=（– ）
||=
已知平面内点 ，则两点间的距离公式是：
||=
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离是：
||=
除了向量的方法，还有其他方法推出这个距离公式吗？
构造直角三角形，利用勾股定理
追问1：能否 构造直角三角形，求得线段的长度？


A
点
||= ||=
||=
追问2：若直线平行或垂直于x轴，那么线段的长度该如何表示？
||=，
或||=
同样满足两点间距离公式
追问3：能否用文字语言来表达两点间距离公式？
||=
平面上两点间的距离等于这两点横、纵坐标差的平方和的算术平方根.
三、巩固新知
例3 已知点A(-1,2),B(2)，在x轴上求一点P，使得||= |B|，并求出||的值.
解法一：设所求点P(x,0).
则||==
|B|==
由||= |B|，得= ，
解得x=1，
所以，P(1,0)
则||==
设
列
解
A
B

P
分析：点P在线段AB的垂直平分线（中垂线）上
C
解法二：点C的坐标为(,), .
AB中垂线的斜率为：
= ()
AB中垂线的方程为：
，
因为P在x轴上，所以令y=0，
解得x=1
所以，P(1,0)，
则||==
数
形
数
例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
分析：坐标法：把图形放入适当的平面直角坐标系当中，用坐标来表示有关的量，通过运算得出结果，再将结果翻译成集合结论.
证明：如图，四边形ABCD是平行四边形，以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
在平行四边形ABCD中，点A的坐标为(0,0),设点B坐标为(a,0),点D的坐标为(b,c),由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b,c).
由两点间距离公式，可得：
则|| =,
|| =,
|| =,
|| = ,
所以|| + || =2,
|B| + |A| =,
所以|| + || =2
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
该结论也被称为：广义勾股定理
追问1：还有其他的建系方法吗？
证明：如图，四边形ABCD是平行四边形，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
O
在平行四边形ABCD中，点O的坐标为(0,0),设点A坐标为(a,0)，点B的坐标为(b,0)，点D的坐标为(0,d)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(b-a,d).
O
由两点间距离公式，可得：
则|| =,
|| =,
|| =,
|| = ,
所以|| + || =4 -4 +2
|B| + |A| =2
所以|| + || =2
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
除了坐标法，还有我们之前学习的向量法证明.
小结：坐标法的解题步骤
建立适当的坐标系，用坐标表示相关的量
进行有关代数运算
将运算结果“翻译”成几何结论
四、课堂小结
两点间距离公式：
||=
平面上两点间的距离等于这两点横、纵坐标差的平方和的算术平方根.


A
五、作业布置
课本P72：练习 第1、3题