高一数学必修二第一章 立体几何初步
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高一数学必修二第一章《立体几何初步》
单元测试试题
（考试时间：120分钟 满分150分）
选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的，请把该选项的字母填在相应表格内）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1.下列四个命题正确的是（ ）
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱.
A.①② B.② C.③④ D.③
2.有一个正三棱柱，其三视图如图，则其体积等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3.平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到α的距离分别
是7,9,13，则这个三角形的重心到α的距离为（ ）
A.29 B. C. D.27
4.如果直线l，m与平面α，β，γ满足l=β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么下面结论正确的是（ ）
A.α⊥γ且l⊥m B.α∥γ且α⊥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
5.一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与球的体积之比为3:2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为（ ）
A.1:2 B.2:1 C.3:2 D.1:1
6.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A.180° B.120° C.360° D.150°
7.如图，在长方体中，AB=BC=2，，则与面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，
则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，三棱锥D-ABC的体积是（ ）
A. B. C. D.
10.已知圆柱，底面半径为，DA为圆柱的一条母线，DA=2，点O为上底面圆心，点E为下底圆周上任意一点，则DA与OE所成的角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请把最佳答案填在相应题号下的表格内）
题号
11
12
13
14
答案
11.正四棱台的斜高与上下底面边长之比为5:2:8，体积为14cm3,则棱台的高为__________.
12.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，点P到这三个平面的距离分别为3,4，5，那么OP的长是_______________________.
13.在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，，这时二面角B-AD—C的大小为______________________.
14.平面α的斜线与α所成的角是30°，则它和α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是____________________.
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15.（本题满分12分）如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两垂直，PA=2，PB=3，PC=4，求三棱锥P-ABC的体积V.
16.(本题满分12分)已知点S为△ABC所在平面内一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.
求证：AB⊥BC.
17.（本题满分14分）如图，平面角为锐角的二面角α-EF-β，A∈EF，AG，∠GAE=45°，若AG与β所成的角为30°.求二面角的平面角.
18.（本题满分14分）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别是线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD.
（1）求证：DP⊥平面EPC；
（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP.
19.（本题满分14分）如图，在直四棱柱中，已知，AD⊥DC，AB∥DC.
（1）求证：；
（2）设E是DC上的一点，试确定E的位置，使∥平面，并说明理由.
20.（本题满分14分）如图所示，四棱柱P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=.
（1）求证：BE⊥平面PAB；
（2）设M是PC上一点，试确定M点位置，使PC⊥平面BDM，并说明理由.
参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
A
D
A
D
C
A
D
二、填空题
题号
11
12
13
14
答案
2cm
60°
90°
三、解答题
15.【解析】三棱锥体积，其中S为底面积，h为高，三棱锥任意一个面均可作为底面，此题可把B看做顶点，△PAC为底面，
16.【证明】
如右图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC.∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥BC．
∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵BC⊥平面SAB，∴AB⊥BC.
17.【分析】求角的关键是将角与其它量转化到一个
三角形中，通过解三角形得到结果.
【解析】如图，作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B.连
接GB，则有EF⊥GH，EF⊥HB.
∴EF ⊥平面GBH. ∴GB⊥EF，∠GBH是二面角α-EF-β的平面角.
又∵∠GAH是AG与β所成的角，∴∠GAH=30°.
设AG=a，由∠GAE=45°，则.
∴，∴∠GBH=45°.
∴二面角α-EF-β的平面角的大小为45°
18.【证明】
（1）∵EP⊥平面ABCD，∴EP⊥DP.
又∵ABCD为矩形，AB=2BC，P、Q为AB、CD的中点，
∴PQ⊥DC且
∵EP∩PC=P，∴DP⊥平面EPC.
(2) ∵EP⊥平面ABCD，AQ平面ABCD. ∴AQ ⊥EP .
∵AB=2BC，P为AB中点，∴AP=AD.
∵ADQP为正方形，∴AQ⊥DP.
∵EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP.
AQ平面AEQ，∴平面AEQ⊥平面DEP.
19.【证明】（1）连接，如图（1）.
∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D，∴AD⊥平面DCC1D1.
又∵D1C平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.
∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D，
∴D1C⊥平面ADC1.又∵AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
（2）连接AD1、AE，如图（2）.
设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1旳中点，∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE，即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
20.【证明】
（1）如图示，连接BD，ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形.
又∵E是CD的中点，∴BE⊥CD.
∵AB∥CD，∴BE⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD，且BE平面ABCD，∴PA⊥BE.
又∵PA∩AB=A，∴BE⊥平面PAB.
（2）如图示，连接AC与BD交于O点，
由四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴BD⊥PA.
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC，∴BD⊥PC.
若使PC⊥平面BDM，只须OM⊥PC,
在△PAC中，PA⊥AC，PA=AC=，
∴△PAC是等腰三角形，故当CM=CP时，
OM⊥PC，故当M满足CM=CP时，PC⊥平面BDM.
单元测试试题
（考试时间：120分钟 满分150分）
选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的，请把该选项的字母填在相应表格内）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1.下列四个命题正确的是（ ）
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱.
A.①② B.② C.③④ D.③
2.有一个正三棱柱，其三视图如图，则其体积等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3.平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到α的距离分别
是7,9,13，则这个三角形的重心到α的距离为（ ）
A.29 B. C. D.27
4.如果直线l，m与平面α，β，γ满足l=β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么下面结论正确的是（ ）
A.α⊥γ且l⊥m B.α∥γ且α⊥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
5.一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与球的体积之比为3:2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为（ ）
A.1:2 B.2:1 C.3:2 D.1:1
6.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A.180° B.120° C.360° D.150°
7.如图，在长方体中，AB=BC=2，，则与面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，
则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，三棱锥D-ABC的体积是（ ）
A. B. C. D.
10.已知圆柱，底面半径为，DA为圆柱的一条母线，DA=2，点O为上底面圆心，点E为下底圆周上任意一点，则DA与OE所成的角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请把最佳答案填在相应题号下的表格内）
题号
11
12
13
14
答案
11.正四棱台的斜高与上下底面边长之比为5:2:8，体积为14cm3,则棱台的高为__________.
12.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，点P到这三个平面的距离分别为3,4，5，那么OP的长是_______________________.
13.在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，，这时二面角B-AD—C的大小为______________________.
14.平面α的斜线与α所成的角是30°，则它和α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是____________________.
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15.（本题满分12分）如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两垂直，PA=2，PB=3，PC=4，求三棱锥P-ABC的体积V.
16.(本题满分12分)已知点S为△ABC所在平面内一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.
求证：AB⊥BC.
17.（本题满分14分）如图，平面角为锐角的二面角α-EF-β，A∈EF，AG，∠GAE=45°，若AG与β所成的角为30°.求二面角的平面角.
18.（本题满分14分）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别是线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD.
（1）求证：DP⊥平面EPC；
（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP.
19.（本题满分14分）如图，在直四棱柱中，已知，AD⊥DC，AB∥DC.
（1）求证：；
（2）设E是DC上的一点，试确定E的位置，使∥平面，并说明理由.
20.（本题满分14分）如图所示，四棱柱P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=.
（1）求证：BE⊥平面PAB；
（2）设M是PC上一点，试确定M点位置，使PC⊥平面BDM，并说明理由.
参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
A
D
A
D
C
A
D
二、填空题
题号
11
12
13
14
答案
2cm
60°
90°
三、解答题
15.【解析】三棱锥体积，其中S为底面积，h为高，三棱锥任意一个面均可作为底面，此题可把B看做顶点，△PAC为底面，
16.【证明】
如右图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC.∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥BC．
∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵BC⊥平面SAB，∴AB⊥BC.
17.【分析】求角的关键是将角与其它量转化到一个
三角形中，通过解三角形得到结果.
【解析】如图，作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B.连
接GB，则有EF⊥GH，EF⊥HB.
∴EF ⊥平面GBH. ∴GB⊥EF，∠GBH是二面角α-EF-β的平面角.
又∵∠GAH是AG与β所成的角，∴∠GAH=30°.
设AG=a，由∠GAE=45°，则.
∴，∴∠GBH=45°.
∴二面角α-EF-β的平面角的大小为45°
18.【证明】
（1）∵EP⊥平面ABCD，∴EP⊥DP.
又∵ABCD为矩形，AB=2BC，P、Q为AB、CD的中点，
∴PQ⊥DC且
∵EP∩PC=P，∴DP⊥平面EPC.
(2) ∵EP⊥平面ABCD，AQ平面ABCD. ∴AQ ⊥EP .
∵AB=2BC，P为AB中点，∴AP=AD.
∵ADQP为正方形，∴AQ⊥DP.
∵EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP.
AQ平面AEQ，∴平面AEQ⊥平面DEP.
19.【证明】（1）连接，如图（1）.
∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D，∴AD⊥平面DCC1D1.
又∵D1C平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.
∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D，
∴D1C⊥平面ADC1.又∵AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
（2）连接AD1、AE，如图（2）.
设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1旳中点，∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE，即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
20.【证明】
（1）如图示，连接BD，ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形.
又∵E是CD的中点，∴BE⊥CD.
∵AB∥CD，∴BE⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD，且BE平面ABCD，∴PA⊥BE.
又∵PA∩AB=A，∴BE⊥平面PAB.
（2）如图示，连接AC与BD交于O点，
由四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴BD⊥PA.
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC，∴BD⊥PC.
若使PC⊥平面BDM，只须OM⊥PC,
在△PAC中，PA⊥AC，PA=AC=，
∴△PAC是等腰三角形，故当CM=CP时，
OM⊥PC，故当M满足CM=CP时，PC⊥平面BDM.