人教版2023年九年级上册第21章《一元二次方程》达标检测卷（含解析）

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人教版2023年九年级上册第21章《一元二次方程》达标检测卷
一、选择题（共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，3 B．， C．2， D．2，10
3．已知是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．解方程，下列用配方法进行变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．利用公式法求解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求a值为何（　　）
A． B． C． D．
7．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，设该公司这两年缴税的年均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．一元二次方程的两根分别为和，则为（）
A．3 B． C．4 D．
9．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（ ）
2 3 4 5 6
5 13
A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5
10．已知为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是（ ）
A．或6 B． C．5 D．6
二、填空题（共24分）
11．方程是关于的一元二次方程，则 ．
12．方程的根为 ．
13．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
14．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ．
15．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ．
16．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有 名．
17．已知实数x满足，则代数式的值为 ．
18．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
三、解答题（共46分）
19．（6分）解方程：
(1)（配方法）；
(2)．
20．（6分）解方程：
(1)
(2)；
21．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程有一个根小于1，求的取值范围．
22．（8分）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台3月份的销售量是10万件，5月份的销售量是14.4万件．
(1)该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)经市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出5件．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利700元，则售价应降低多少元？
23．（9分）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
24．（9分）如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)填空： ______ ， ______ ；用含的代数式表示；
(2)当为几秒时，的长度等于；
(3)是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是二元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2．B
【分析】根据一元二次方程的一般形式的相关定义即可解答．
【详解】解：一元二次方程中的一次项系数和常数项分别是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．A
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：将代入该方程，得：
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及解一元一次方程．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
4．D
【分析】利用完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
5．B
【分析】分别求出每一个方程的判别式Δ的值，找出的方程即可．
【详解】解：A、，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；
C、，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
D、，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
6．D
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：，
这里，，，
△，
，
一元二次方程式 的两解为、，且，
的值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
7．C
【分析】设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据两次增长，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据题意得：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．D
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：因为方程化为，
所以．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系∶若是一元二次方程的两根时，．
9．D
【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断
【详解】时，，
时，，
则的解的范围为，
即一元二次方程的解大概是4.5．
故选D．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．
10．D
【分析】先求得的两个根，根据等腰三角形分类计算即可．
【详解】∵，
解得，
∴为等腰三角形三边长为或（不存在，舍去），
∴为等腰三角形周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握解方程，等腰三角形的分类是解题的关键．
11．2
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．，
【分析】用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．
13．且
【分析】根据一元二次方程的定义可得，结合根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，则，
∵该方程有实数根，
∴，
解得：，
综上：m的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根据判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
14．
【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可．
【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，
由题意得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
15．10
【分析】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
即该学习小组有10名成员．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．10
【分析】设参加这次聚会的同学有x名，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解．
【详解】设参加这次聚会的同学有x名，则每人应握次手，
根据题意可得：，
解得（舍去），
故答案为：10．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清题意，找出等量关系，列方程求解．
17．2023
【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次方程，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式，方程有解．
【详解】解：设，
由原方程，得，
整理，得，
所以或．
当时，，则；
当时，即时，，方程无解，此种情形不存在．
故答案是：2023．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．
18．2023
【分析】根据一元二次方程的根的定义，以及一元二次方程的根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握两根之和等于，两根之积等于，是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到，再把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
解得：，；
（2），
，
，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）∵
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
21．(1)有两个实数根
(2)
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∵无论取何值时，，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：∵，
； ，
∵该方程有一个根小于1，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式．
22．(1)
(2)元
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
【详解】（1）设月平均增长率为x．根据题意，得
，
解得，（舍去）
答：月平均增长率是是.
（2）售价应降低y元．根据题意，得
，
化简，得，
解得，．
∵要尽量减少库存，
∴．
答：售价应降低元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）设所求方程的根为，则，将代入已知方程，化简即可得到答案；
（2）设所求方程的根为，则，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
化简得，，
这个一元二次方程为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
去分母得，，
若，则，于是方程有一根为0，不符合题意，
，
所求方程为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
24．(1)，
(2)t为秒或秒
(3)存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为
【分析】（1）由路程=速度×时间，可直接求解；
（2）由勾股定理建立方程，解一元二次方程可求解；
（3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
，，
，
故答案为：，；
（2）由题意得，
即
，
解得：，，
当t为秒或秒时，的长度等于；
（3）存在，理由如下：
若四边形的面积等于面积的，
的面积等于面积的，
，
，
解得：或，
当时，
当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．