2022-2023学年安徽省池州市贵池区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省池州市贵池区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个实数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，那么毫克可用科学记数法表示为( )
A. 毫克 B. 毫克 C. 毫克 D. 毫克
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列各式中，不能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
6. 若把分式中和的值都扩大为原来的倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的倍
7. 若关于的方程无解，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
8. 已知，；则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，将一副三角板按如图放置，，，，则下列结论正确的有个．( )
；
；
如果，则有；
如果，则．
A. B. C. D.
10. 已知三个实数、、满足，，则．( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. ______ ．
12. 如果能写成一个完全平方的形式，那么等于______ ．
13. 若不等式组无解，则的取值范围是 ．
14. 定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．
例如：因为，所以．
根据上述规定，填空： ______ ；
小明在研究这种运算时发现一个现象：．
小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以．
请你尝试运用这种方法解决问题：已知、、均为正数，填空：______
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
15. 如图，直线和相交于点，，垂足为，平分，若，求的度数．
四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解．
18. 本小题分
先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
19. 本小题分
如图，在中，点在上，，，垂足分别为，．
请判定与平行吗？并说明理由；
如果，且，求的度数．
20. 本小题分
如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全；
若连结、，则这两条线段之间的关系是______数量关系及位置关系；四边形的面积为______．
21. 本小题分
先观察下列各式：；；；；
计算：______；
已知为正整数，通过观察并归纳，请写出：______；
应用上述结论，请计算的值．
22. 本小题分
端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍．
求、两种粽子的单价各是多少？
若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
23. 本小题分
两个边长分别为和的正方形如图放置图，其阴影部分面积为；两个边长分别为和的正方形如图放置图，其阴影部分面积为．
用含，的代数式表示；
当，时，求的值；
当，时，求出图中的阴影部分的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号且开不尽方的才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
【详解】
解：、、是有理数，是无理数．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：，
，
选项A不符合题意；
，，
，
选项B不符合题意；
，
，
选项C不符合题意；
，
，
又，
，
选项D符合题意．
故选：．
根据，，应用不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】
【解析】解：毫克毫克；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式和完全平方公式，解答本题的关键是明确各式的运算方法．根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】
解：，故选项A错误，
，故选项B错误，
，故选项C正确，
，故选项D错误，
故选C．
5.【答案】
【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：把分式中和的值都扩大为原来的倍，为，
因此扩大到原来的倍，
故选：．
根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查分式的基本性质，掌握“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”是正确解答的前提．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
方程无解，
或，即，
或，
故选：．
解分式方程可得，根据题意可知，或，即，求出的值即可．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，即．
故选A．
由，可得，即可得，从而可判断出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方运算法则．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
故正确；
，
故正确；
，
，
，
故正确；
，
，
与不平行，
故不正确；
故选：．
根据余角的概念和同角的余角相等判断；根据的结论判断；根据平行线的判定定理判断和，即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：．
由，得，
整理，得．
，
，即．
由得到：．
则：．
当，即时，．
由得到，与相矛盾，
故，．
故选：．
联立方程组，通过解方程组求得、、间的数量关系．
本题主要考查了因式分解与完全平方公式．解题的关键是根据已知条件推知．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】或
【解析】解：能写成一个完全平方的形式，
，
解得：，
故答案为：或．
根据完全平方式得出，再求出答案即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：和．
13.【答案】
【解析】解：因为不等式组无解，
所以，
故答案为：
不等式组中两不等式整理求出解集，根据不等式组无解，确定出的范围即可．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，而若，则．
，
故答案为：；
设，，
，，，
，
，
，
故答案为：．
根据新定义若，则可得答案；
根据新定义的运算得到即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的计算方法，理解新定义运算的意义是正确解答的前提．
15.【答案】解：，
．
，
．
平分，
．
，
．
【解析】根据，得到再根据求出，再利用平分求出，然后利用，求出的度数．
本题考查了垂直的定义，角平分线的定义及角的和差运算，熟练把垂直的定义，角平分线的定义转化成角的度数运算是解题的关键．
16.【答案】解：原式
．
【解析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及有理数的加减运算法则即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．
17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：原式
，
由不等式组得，，
，，
，，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据不等式组，求出的取值范围，然后选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19.【答案】解：与平行，理由如下：
，，
，
垂直于同一条直线的两条直线平行．
由可知：，
，
，
，
，
．
【解析】根据垂直的意义可得出，据此可得出结论；
首先根据的结论得出，再结合已知条件可得出，进而可判定，然后根据平行线的性质可求出的度数．
此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
20.【答案】解：补全如图所示；
平行且相等，．
【解析】解：见答案；
若连结、，则这两条线段之间的关系是平行且相等；
四边形的面积，
故答案为：平行且相等；．
根据点平移到点的平移规律，找出点与点的对应点即可求解；
由图形可直接得出两条线段之间的关系，再利用割补法即可求出四边形的面积．
本题考查了平移的性质，利用割补法求四边形的面积是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
．
由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案；
利用以上所得规律可得；
将被开方数提取公因数，再利用所得规律求解可得．
本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于．
22.【答案】解：设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为元个，种粽子单价为元个．
设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进个．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用元购进、两种粽子个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
23.【答案】解：；
，，
；
，，
．
【解析】根据正方形的面积公式求解；
先分解因式，再整体代入求解；
先用，表示，再变形代入求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，整体代入求值是解题的关键．
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