吉林省长春市南关区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（无答案）

长春市南关区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若a，，则“”是“a＞b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知随机变量，且，则m＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
5．若，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
6．一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%，经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9．以下说法正确的是（ ）
A．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
B．若A、B两组数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强
C．决定系数越小，模型的拟合效果越差
D．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是
10．已知函数对任意x，都有，且．则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．若，则
C． D．若，则
11．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节，小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则（ ）
A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C．表演成功的环节个数的期望为3
D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
12．定义在上的函数满足，（若．则，c为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值，极小值为
B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则
D．
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数，则______．
14．有两个分类变量x和y，其中一组观测值为如下的2×2列联表：
总计
a 15－a 15
20－a 30＋a 50
总计 20 45 65
其中a，15－a均为大于5的整数，则a＝______时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下为“x和y之间有关系”．附：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
15．若随机变量服从两点分布，则的最大值为______．
16．已知奇函数有三个零点，则t的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18—22题每题12分，共70分）
17．（10分）设函数的定义域为A，集合．
（1）求集合A；
（2）若p：，q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．（12分）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望．
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望．
19．（12分）某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年的研发投入y（单位：亿元）与年份代码x共10组数据，其中年份代码x＝1，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年．
现用模型①y＝bx＋a，②分别进行拟合．由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到下图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，．
75 2.25 82.5 4.5 121.4 28.82
（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据该模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
20．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若时，单调递增，求a的取值范围．
21．（12分）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组．在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛．之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛．A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛．
（1）假设四人A、B、C、D实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①A和D在决赛中过招的概率；
②D共输了两场比赛且成为亚军的概率；
（2）若A的实力出类拔萃，即有A参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率．
22．（12分）已知函数．
（1）若有两个极值点，求a的取值范围；
（2）若，，求a的取值范围．