2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数的导数是( )
A. B.
C. D.
2. 已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
3. 准线方程为的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4. 若满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 将函数的图像向右平移个单位后所得到的函数记为，则下列结论中正确的是( )
A. 的对称中心为
B.
C. 在上单调递减
D. 的图像关于对称
6. 已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为( )
A. B. C. D.
7. 定义域为的函数，满足，且对于任意，均有，，则( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点，( )
A. 的最小为
B. 若平面，则
C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D. 若为线段的中点，且，则
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若四边形是矩形，则下列命题中正确的是( )
A. 共线 B. 相等
C. 模相等，方向相反 D. 模相等
10. 若函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，那么下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为
B. 函数在单调递增
C. 函数图象的对称中心为，
D. 函数的一个充分条件是
11. 下列推导过程，正确的为( )
A. 因为、为正实数，所以
B. 因为，所以
C. 因为，所以
D. 因为、，，所以当且仅当时，等号成立
12. 下列不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知关于变量与的组数据、、、、，若其得到的线性回归方程为，则 ______ ．
14. 为等差数列，为其前项和，若，则 ______ ．
15. 设为直线上的动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为______ ．
16. 若存在无穷数列，满足：对于任意，，是方程的两根，且，，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
将下列指数式与对数式互化：
；
；
；
且，．
18. 本小题分
根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，且过点；
焦点在轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为．
19. 本小题分
已知函数，．
若曲线在处的切线过点，求的值；
若在处取得极小值，求的取值范围．
20. 本小题分
已知，且，求的值；
在中，已知，求的值．
21. 本小题分
四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，，，．
证明；
求直线与平面所成角的大小．
22. 本小题分
已知等比数列的公比为，且，数列满足，．
求数列的通项公式．
规定：表示不超过的最大整数，如，若，，记求的值，并指出相应的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数，
所以．
故选：．
直接利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可．
本题考查了导数的运算，涉及了复合函数的求导公式的应用，解题的关键是掌握常见函数的求导公式以及导数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由单位圆上第一象限内一点沿圆周逆时针旋转到点，点的横坐标为，
可知点的纵坐标为，即，
设点的横坐标为，
又，
所以．
故选：．
利用任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式即可求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：准线方程为的抛物线的标准方程为，
令，解得，
故．
故选：．
根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线标准方程的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，的恰有一个，所以或，
即则，
或者，
所以可得；
故选：．
由只有一个三角形的条件可得或，再由题意可得的取值范围．
本题考查三角形个数的判断方法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：将函数的图像向右平移个单位后所得到的函数，B错误，D正确；
令得，，
故函数的对称中心为，，A错误；
令得，即的一个单调递减区间为，C错误；
又，
则的图象关于对称，D正确．
故选：．
先根据函数图象的平移求出，然后结合正弦函数的诱导公式，正弦函数的对称性及正弦函数的单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数图象的平移，正弦函数的单调性，对称性的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：函数，
表示点与原点连线的斜率，
的几何意义为这些点有相同的斜率，
作出函数的图象，在区间上，
与函数的交点个数有个，个或者个，
即的取值集合是，
故选：．
作出的图象，的几何意义为这些点有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论．
本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示点与原点连线的斜率是解答的关键．
7.【答案】
【解析】解：取，，满足，，
，即，
，即，
上述函数满足题设要求，
对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，故，正确；
对选项D：，错误．
故选：．
取，，验证满足各个条件，再根据三角函数的公式，依次计算每个选项得到答案．
本题考查函数值的计算，函数值比较大小，构造函数是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：平面，，，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，故A错误；
在正四面体中，平面，，则点为正四面体内切球的球心，，
，设正四面体内切球的半径为，因为，
，解得，故，故B错误；
设三棱锥外接球的球心为，半径为，则，
解得，则三棱锥外接球的表面积为，故C错误；
，
设则，
，所以，则，解得，故，故D正确．
故选：．
利用正四面体的性质，逐项计算判断即可．
本题考查空间几何体的性质，以及利用向量法解决几何问题的方法，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
所以共线，模相等，故A、D正确；
矩形的对角线相等，
，模相等，但方向不同，故B不正确；
且，所以的模相等，方向相反，
故C正确．
故选：．
根据向量的加法和减法的几何意义平行四边形法则，结合矩形的判定与性质进行分析可解．
本题考查向量的共线，相等，模，向量的加减法的几何意义，属基础题，根据向量的加减法的平行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键．
10.【答案】
【解析】解：函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
由，求得，，
可得的定义域为，故A错误；
当，，
故函数单调递增，故B正确；
令，求得，，
可得的图象的对称中心为，，故C错误；
由，可得，可得，
成立的一个充分条件是，故D 正确，
故选：．
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为、为正实数，所以，
故，
当且仅当，即时取等号，
故选项A正确；
对于，因为，所以，
则，
故选项B错误；
对于，当时，，
故选项C错误；
对于，因为，则，
所以以，
当且仅当，即时取等号，
故选项D正确．
故选：．
利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了基本不等式的理解与应用，“”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，，，
令，，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得极大值也是最大值，即，
对于：由，可得，，即，
由，可得，，即，
又，
，故A正确；
对于：，即，，即，
，令，则，
整理得，即，
，，故B正确；
对于：由选项B知，则，即，，故C错误；
对于：，即，，即，
又，，故D正确．
故选：．
根据，则，，，构造函数，求出，判断的单调性，结合指数函数、幂函数的性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查幂函数、指数函数的性质及运用函数的单调性比较大小，考查函数思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，
代入，可得．
故答案为：．
将代入方程计算，即可得答案．
本题主要考查线性回归方程及其应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，即，
所以，所以．
故答案为：．
根据等差数列的性质及通项公式计算即可得解．
本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆的方程为：
圆心、半径为：
根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小，
即最小距离为圆心到直线的距离，切线长，最小，
圆心到直线的距离为，
，
．
故答案为：．
由圆的方程为求得圆心、半径为：，由“若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．属中档题．
16.【答案】
【解析】解：，是方程的两根，可得
，，
即有，，
若，，可得，，
由，可得，
对于给定的，，这显然是不可能的对于任意的成立；
同样可以证明，，也不可能同时成立，所以，可得，
倒推可得，，所以，．
故答案为：．
运用二次方程的韦达定理和等比数列的通项公式和数列的递推式，对数列，的各项符号讨论，即可得到所求值．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17.【答案】解：，化为对数：；
，化为对数：；
，化为指数：；
，化为指数：．
【解析】根据题意把指数化为对数，把对数化为指数即可．
本题考查了指数与对数的互化问题，是基础题．
18.【答案】解：设椭圆方程为，
则，解得，，
所以椭圆方程为：．
解：设椭圆的标准方程为，
在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且半焦距为，如图所示，，所以，
椭圆的方程为：．
【解析】设椭圆方程为，利用已知条件列出方程组，求解，，得到椭圆方程．
由等腰三角形的性质可知：则，即可求得椭圆的标准方程；
本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．
19.【答案】解：函数，
所以，
故切点为，
又，
则，
故切线方程为，
又切线过点，
故，
所以；
函数，
则，
所以，
因为在处取得极小值，
则，
当时，则单调递增，
故当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
此时在处取得极小值，
则，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】先求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而得到切线方程，利用切线过点，即可求出的值；
利用二次求导的导数值大于，则该点为函数的极小值点，列出不等式，求解即可．
本题考查了导数的应用，主要考查了导数几何意义的理解与应用，曲线切线方程的求解，函数极值的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
，即可能在第二，三，四象限，
又，
在第二象限，
，
；
，
，
，
由得或，
又在中必有，
，
．
【解析】先通过角的范围求出，再利用诱导公式变形后，即可利用求值；
将两边同时平方可得的值，再结合可求出，，进而可求出的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：在四棱锥中，连接，
由余弦定理得，
则，，，
取中点，连接，，
则，
因为平面平面，
平面平面，平面，于是平面，
又平面，则有，
从而，
即有，
而，，平面，
因此平面，又平面，
所以．
由知，，平面平面，平面平面，平面，
则平面，
在 中，，连接，
由余弦定理得，即，
，
等腰底边上的高，
设到平面的距离为，
由，得，
即，解得，
设与面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值是．
【解析】取的中点，利用余弦定理求出并证明，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理作答．
利用余弦定理求出，再利用等体积法求出点到平面的距离即可求出．
本题考查了空间中的垂直关系的证明以及直线与平面所成的角的计算问题，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得，所以，
所以有，，，，
所以，
所以，
即当，，
由于，符合上式，
所以；
结合知当，，
所以，
令，
则，，
当，，单调递增，
又，
所以当，，单调递增，
又，
所以当，，
所以当，，
又，
所以当，有，
即，
所以
，
又为正项数列，所以数列为递增数列，
所以当时有，
所以，
结合对钩函数可知数列为递减数列，
所以，
又，
所以当，，
当，，．
【解析】由题意可知，，，，所以有，由此即可得到数列的通项公式；
求出，而后得到的范围，又，结合数列的增减性分析其范围．
本题主要考查递推法求数列通项公式，属中档题．
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