黑龙江省齐齐哈尔市齐市第八高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

齐市第八高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
第I卷（选择题，共60分）
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题四个选项中只有一个正确选项）
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
3.对于实数下列说法中错误的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.已知：对任意的：存在，使得，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者.甲 乙等4人报名参加了“莲花” “泳镜” “玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目.若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ）
A.6种 B.12种 C.18种 D.24种
6.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
8.已知函数，对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项正确选项，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9.已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（ ）
A.
B.展开式中的系数为-135
C.展开式中奇数项的二项式系数的和为32
D.展开式中二项式系数最大的项为-540
10.已知且.则下列正确的有（ ）
A.最小值为9
B.最小值为-1
C.若，则
D.
11.已知函数，下列是关于函数的零点个数的4个判断，其中正确的是（ ）
A.当时，有3个零点
B.当时，有2个零点
C.当时，有4个零点
D.当时，有1个零点
12.已知函数及其导函数的定义域均为R.，，当时，，则（ ）
A.的图象关于对称
B.为偶函数
C.
D.不等式的解集为
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.计算：__________.
14.现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________.
15.恒过定点在幂函数图象上，__________.
16.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答过程应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知函数（且在上的最大值为3.
（1）求的值；
（2）假设函数的定义域是，求关于的不等式的解集.
18.（本小题满分12分）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司购物平台 选择乙公司购物平台 合计
用户年龄段为岁 30 20 50
用户年龄段为岁 20 30 50
合计 50 50 100
参考公式：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）依据的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？
（2）为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中抽取10名用户进行回访，记抽出的10人中年龄段为19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数为，求的期望.
19.（本小题满分12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
20.（本小题满分12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
21.（本小题满分12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示.
组别
频数 25 150 200 250 225 100 50
（1）已知此次问卷调查的得分近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，求；
（附：若，则，
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为.
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望.
22.（本小题满分12分）已知函数（为常数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.
齐市第八高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题答案
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B A C D D A ACD CD CD BCD
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三 解答题：本大题共6小题，共70分.
17.（本小题满分10分）
【详解】（1）当时，函数且在上单调递减，，解得；
当时，函数且在上单调递增，
，解得，
综上所述，或
（2）的定义域是恒成立，
则方程的判别式，
即，解得又或，因此不等式，即，
即，解得因此不等式的解集为.
18.（本小题满分12分）
【详解】（1）零假设为：使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄无关，
，
所以依据的独立性检验，推断不成立，即能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关.
（2）由列联表可知，观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中，年龄段为1924岁，且选择甲公司购物平台的人数频率为，
用频率估计概率，所以，故.
19.（本小题满分12分）
【详解】（1）因为，
，
因此相关系数，
所以可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，
因此，当时，，
20.（本小题满分12分）
【详解】（1）由，得，
①当时，在上单调递减；
②当时，令，得，当时，单调递增；单调递减；
（2）由（1）知，当时，，要证：当时，，
可证：，因为，即证：，设，，
令，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减，，所以，即，所以当时，.
21.（本小题满分12分）
【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得：
，
又由，
所以.
（2）解：根据题，可得所得话费可能的值有元，其中；，
所以随机变量的分布列为：
20 40 60 80
所以期望为.
22.（本小题满分12分）
【详解】（1）当时，，
所以，
故曲线在点处的切线方程为.
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程
即的两个不相等的正根，
从而得到即
又，故，且
令，则，
，
所以在上单调递减，
所以，即的值域为，
所以的范围是.