江西省吉安市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 江西省吉安市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 877.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-31 22:36:11 | ||
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文档简介
吉安市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测
数学试题
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数，则（ ）
A. B. C.6 D.
2.已知随机变量，则（ ）
A. B. C.2 D.
3.记为等差数列的前项和，，，则（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
4.某校高二年级组织春游，已知该校1~8班每班30人，9~20班每班40人，且1~8班前往“庐山”景区，9~20班前往“武功山”景区.若游客对“庐山”景区的满意度为，对“武功山”景区的满意度为，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，在正项等比数列中，，则（ ）
A.1011 B.1012 C.2023 D.2024
7.赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？（参考数据：，，）
A.7 B.8 C.9 D.10
8.若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若，，相互独立，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.有1个极值点 B.的对称中心是
C.有2个零点 D.的一条切线方程是
11.意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（ ）
A.
B.
C.是奇函数
D.当与和共有3个交点时，
12.有限项迭代数列满足，，，2，…，，则（ ）
A. B.数列中存在唯一的最大项
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，且，则__________.
14.近日，ChatGPT引发舆论风暴，火遍科技圈，作为一款生成式人工智能软件，ChatGPT可以就任何议题生成文本，完成包括回答问题，撰写文章，论文，诗歌在内的多种工作，某校科研兴趣小组记录了该软件在一段时间（：分钟）生成的文本数量（：篇），若计算出的关于的经验回归方程为，则第二组数据残差为__________（篇）.（其中为第组数据的残差）
组别 1 2 3 4 5
（分钟） 16 17 18 19 20
（篇） 36 40 42 49 55
15.若函数有两个极值点，.则__________.
16.若数列满足，且，则数列的前2023项积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）.
已知函数，.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
为增强学生体质，促进学生身心全面发展，某中学调研小组调查某校清晨跑操（晨跑）对身体素质的影响，现对80名学生进行调研，得到的统计数据如下表所示：
参加晨跑 不参加晨跑 合计
身体素质优秀 32 8 40
身体素质一般 10 30 40
合计 42 38 80
（1）利用独立性检验、判断是否有的把握认为参加晨跑与身体素质有关；
（2）将频率视为概率，若从该校身体素质优秀的学生随机抽取3位学生，记参加晨跑的学生人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.01 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.（本小题满分12）
记为数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前项积，求的最大值.
20.（本小题满分12分）
某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，.
（1）根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程；
（3）若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响.
附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
21.（本小题满分12分）
已知正项数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
（附：，，当且仅当取等号）
22.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）若，证明：；
（2）若单调递增，求的取值范围.
吉安市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A C D A C
题号 7 8 9 10 11 12
答案 D B ABD BD AC AC
1.【答案】B
【解析】由题意知，则，
故，选B.
2.【答案】A
【解析】由题意知，故，选A.
3.【答案】C
【解析】（法一）数列为等差数列，有，，成等差数列，
，解得，选C.
（法二）由题意知，，，
解得，，，选C.
4.【答案】D
【解析】由全概率公式易知从该校随机抽取一名高二学生，
则对所游景区感到满意的概率为，选D.
5.【答案】A
【解析】由题意知，则在点的切线斜率为，
当动点到直线的距离取最小值时，，解得，
则此时点的坐标为，在该点的切线方程为，即，
则动点到直线的距离的最小值为两条直线间的距离，即，选A.
6.【答案】C
【解析】由题意知，
由等比数列性质可得，，
，选C.
7.【答案】D
【解析】设经过年之后，该果园的资金为万元，
由题意知，，
又，，
可知，数列为等比数列，
，
即，
令，可得，，
，
，选D.
8.【答案】B
【解析】由题意，构造函数，
，则在上单调递减，，
当时，的解集为，
将代入，得到，A错误；
当时，的解集为，
将代入，得到，B正确；
将代入，得到，C错误；
将代入，得到，D错误，选.
9.【答案】ABD
【解析】，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确，选ABD.
10.【答案】BD
【解析】由题意得，无极值点，A错误；
由题意得，令，则，，
的对称中心是，B正确；
，在定义域内单调递增，只有一个零点，错误；
，，过的切线方程为，即，D正确，选BD.
11.【答案】AC
【解析】，A正确；
，B错误；
，是奇函数，C正确；
的导数为，令，则，
易知在上单调递减，
在上单调递增，，
而的导数为，在上单调递增，
当与和共有3个交点时，，D错误，选AC.
12.【答案】AC
【解析】由题意可得，，
即，又，，，A正确；
由A项可得，，当为奇数时，，此时数列中有两项最大值，B错误；
由A项可得，，C正确；
，
，当，偶数时，，
又奇数项之和等于偶数项之和，，D错误.选AC.
13.【答案】
【解析】由正态分布的对称性可得.
14.【答案】
【解析】由题知，，，
经验回归直线经过样本中心，代入回归经验方程解得，
回归方程为，第二组数据的残差为.
15.【答案】
【解析】，为使有两正根，
需满足且，
解得，由韦达定理可得
.
16.【答案】2
【解析】数列满足，
即，①，
令赋值给，则，
数列是周期为4的数列，
由①有，若数列的首项，
则数列的前4项为，，3，，
根据周期性，数列的前2023项积为.
17.解：（1）当时，，
则，，，
则在处的切线方程为，即.
（2），，
令，，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当时，恒成立，，故，
又，综上所述，实数的取值范围为.
18.解：（1），
故有的把握认为参加晨跑与身体素质有关.
（2）由于以频率为概率，故身体素质优秀且参加晨跑的学生概率为，
身体素质优秀不参加晨跑的概率是，的可能取值为0，1，2，3，
且，，
，
，，
分布列为：
0 1 2 3
.
19.解：（1）当时，，解得，
当时，，①
，②
由②-①可得，，
即，，即，
综上所述，
（2）由（1）知，当时，，可得，
且当时，，，
设，，，，
，，，，
当时，，
当时，，，且，
时，取得最大值720.
20.解：（1）适合作为回归模型.
（2），
，
相关系数，
根据题意，可得，
，.
种植药材收入金额关于年份代码的回归直线方程为.
（3）（答案不唯一，合理即可）①间作：药材和草的间作一方面可以同时发展畜牧业来增加居民收入，另一方面可以实现土地的利用率，实现单位面积内经济效益的最大化；
②轮作：一方面牛羊粪等有机肥可以用来供给药材的生长从而提高乡镇居民收入，另一方面可以调节土壤的肥沃能力，形成良性循环，进一步提高土地的生态效益和经济效益.
21.解：（1）已知（且），
设，即，有，
当时，，
即，.
当时，符合上式，
.
（2）证明：已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，
由题意有，
（变形正确得2分，变形后应用不等式正确再得3分）
整理后即为，得证.
22.解：（1），，
，恒成立，
，故不等式得证
（2）单调递增，恒成立.
令，得，
令，得，
令，得，
①当时，，当且仅当时，，
在单调递增，故，
当且仅当时，，在也单调递增，故，
当且仅当时，；
②当时，注意到在单调递增，且，，
存在唯一，使得，且在上，
在单调递减，故在有，
在单调递减，故在有，
在也单调递减，故在有，
不恒成立；
③当时，由①可知当就有，不恒成立；
④当时，由①可知.
综合上述讨论，的取值范围为.
数学试题
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数，则（ ）
A. B. C.6 D.
2.已知随机变量，则（ ）
A. B. C.2 D.
3.记为等差数列的前项和，，，则（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
4.某校高二年级组织春游，已知该校1~8班每班30人，9~20班每班40人，且1~8班前往“庐山”景区，9~20班前往“武功山”景区.若游客对“庐山”景区的满意度为，对“武功山”景区的满意度为，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，在正项等比数列中，，则（ ）
A.1011 B.1012 C.2023 D.2024
7.赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？（参考数据：，，）
A.7 B.8 C.9 D.10
8.若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若，，相互独立，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.有1个极值点 B.的对称中心是
C.有2个零点 D.的一条切线方程是
11.意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（ ）
A.
B.
C.是奇函数
D.当与和共有3个交点时，
12.有限项迭代数列满足，，，2，…，，则（ ）
A. B.数列中存在唯一的最大项
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，且，则__________.
14.近日，ChatGPT引发舆论风暴，火遍科技圈，作为一款生成式人工智能软件，ChatGPT可以就任何议题生成文本，完成包括回答问题，撰写文章，论文，诗歌在内的多种工作，某校科研兴趣小组记录了该软件在一段时间（：分钟）生成的文本数量（：篇），若计算出的关于的经验回归方程为，则第二组数据残差为__________（篇）.（其中为第组数据的残差）
组别 1 2 3 4 5
（分钟） 16 17 18 19 20
（篇） 36 40 42 49 55
15.若函数有两个极值点，.则__________.
16.若数列满足，且，则数列的前2023项积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）.
已知函数，.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
为增强学生体质，促进学生身心全面发展，某中学调研小组调查某校清晨跑操（晨跑）对身体素质的影响，现对80名学生进行调研，得到的统计数据如下表所示：
参加晨跑 不参加晨跑 合计
身体素质优秀 32 8 40
身体素质一般 10 30 40
合计 42 38 80
（1）利用独立性检验、判断是否有的把握认为参加晨跑与身体素质有关；
（2）将频率视为概率，若从该校身体素质优秀的学生随机抽取3位学生，记参加晨跑的学生人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.01 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.（本小题满分12）
记为数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前项积，求的最大值.
20.（本小题满分12分）
某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，.
（1）根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程；
（3）若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响.
附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
21.（本小题满分12分）
已知正项数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
（附：，，当且仅当取等号）
22.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）若，证明：；
（2）若单调递增，求的取值范围.
吉安市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A C D A C
题号 7 8 9 10 11 12
答案 D B ABD BD AC AC
1.【答案】B
【解析】由题意知，则，
故，选B.
2.【答案】A
【解析】由题意知，故，选A.
3.【答案】C
【解析】（法一）数列为等差数列，有，，成等差数列，
，解得，选C.
（法二）由题意知，，，
解得，，，选C.
4.【答案】D
【解析】由全概率公式易知从该校随机抽取一名高二学生，
则对所游景区感到满意的概率为，选D.
5.【答案】A
【解析】由题意知，则在点的切线斜率为，
当动点到直线的距离取最小值时，，解得，
则此时点的坐标为，在该点的切线方程为，即，
则动点到直线的距离的最小值为两条直线间的距离，即，选A.
6.【答案】C
【解析】由题意知，
由等比数列性质可得，，
，选C.
7.【答案】D
【解析】设经过年之后，该果园的资金为万元，
由题意知，，
又，，
可知，数列为等比数列，
，
即，
令，可得，，
，
，选D.
8.【答案】B
【解析】由题意，构造函数，
，则在上单调递减，，
当时，的解集为，
将代入，得到，A错误；
当时，的解集为，
将代入，得到，B正确；
将代入，得到，C错误；
将代入，得到，D错误，选.
9.【答案】ABD
【解析】，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确，选ABD.
10.【答案】BD
【解析】由题意得，无极值点，A错误；
由题意得，令，则，，
的对称中心是，B正确；
，在定义域内单调递增，只有一个零点，错误；
，，过的切线方程为，即，D正确，选BD.
11.【答案】AC
【解析】，A正确；
，B错误；
，是奇函数，C正确；
的导数为，令，则，
易知在上单调递减，
在上单调递增，，
而的导数为，在上单调递增，
当与和共有3个交点时，，D错误，选AC.
12.【答案】AC
【解析】由题意可得，，
即，又，，，A正确；
由A项可得，，当为奇数时，，此时数列中有两项最大值，B错误；
由A项可得，，C正确；
，
，当，偶数时，，
又奇数项之和等于偶数项之和，，D错误.选AC.
13.【答案】
【解析】由正态分布的对称性可得.
14.【答案】
【解析】由题知，，，
经验回归直线经过样本中心，代入回归经验方程解得，
回归方程为，第二组数据的残差为.
15.【答案】
【解析】，为使有两正根，
需满足且，
解得，由韦达定理可得
.
16.【答案】2
【解析】数列满足，
即，①，
令赋值给，则，
数列是周期为4的数列，
由①有，若数列的首项，
则数列的前4项为，，3，，
根据周期性，数列的前2023项积为.
17.解：（1）当时，，
则，，，
则在处的切线方程为，即.
（2），，
令，，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当时，恒成立，，故，
又，综上所述，实数的取值范围为.
18.解：（1），
故有的把握认为参加晨跑与身体素质有关.
（2）由于以频率为概率，故身体素质优秀且参加晨跑的学生概率为，
身体素质优秀不参加晨跑的概率是，的可能取值为0，1，2，3，
且，，
，
，，
分布列为：
0 1 2 3
.
19.解：（1）当时，，解得，
当时，，①
，②
由②-①可得，，
即，，即，
综上所述，
（2）由（1）知，当时，，可得，
且当时，，，
设，，，，
，，，，
当时，，
当时，，，且，
时，取得最大值720.
20.解：（1）适合作为回归模型.
（2），
，
相关系数，
根据题意，可得，
，.
种植药材收入金额关于年份代码的回归直线方程为.
（3）（答案不唯一，合理即可）①间作：药材和草的间作一方面可以同时发展畜牧业来增加居民收入，另一方面可以实现土地的利用率，实现单位面积内经济效益的最大化；
②轮作：一方面牛羊粪等有机肥可以用来供给药材的生长从而提高乡镇居民收入，另一方面可以调节土壤的肥沃能力，形成良性循环，进一步提高土地的生态效益和经济效益.
21.解：（1）已知（且），
设，即，有，
当时，，
即，.
当时，符合上式，
.
（2）证明：已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，
由题意有，
（变形正确得2分，变形后应用不等式正确再得3分）
整理后即为，得证.
22.解：（1），，
，恒成立，
，故不等式得证
（2）单调递增，恒成立.
令，得，
令，得，
令，得，
①当时，，当且仅当时，，
在单调递增，故，
当且仅当时，，在也单调递增，故，
当且仅当时，；
②当时，注意到在单调递增，且，，
存在唯一，使得，且在上，
在单调递减，故在有，
在单调递减，故在有，
在也单调递减，故在有，
不恒成立；
③当时，由①可知当就有，不恒成立；
④当时，由①可知.
综合上述讨论，的取值范围为.
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