2023年黑龙江省大庆市数学中考试卷（含解析）

2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 大庆油田发现预测地质储量亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破数字用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( )
A.
B.
C.
D.
6. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
7. 下列说法正确的是( )
A. 一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B. 有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D. 一组数据的方差一定大于标准差
8. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为( )
A. B. C. D.
9. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，，则( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动图是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象点为图象的最高点，则平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是______ 填“普查”或“抽样调查”．
12. 一个圆锥的底面半径为，高为，则它的体积为______ ．
13. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是______ ．
14. 若满足，则整数的值为______ ．
15. 新高考“”选科模式是指，除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择地理和化学的概率为______ ．
16. 若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为______ ．
17. 年，我国宋朝数学家杨辉在其著作详解九章算法中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为______ ．
18. 如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形“，的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”下列结论正确的有______ ．
与面积相同；
；
若，连接和，则；
若，，，则．
三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
为营造良好体育运动氛围，某学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
22. 本小题分
某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度结果精确到米，参考数据：，，
23. 本小题分
为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图若我校共有名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受调查的学生人数为______ ，扇形统计图中的 ______ ；
求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
学校为本学期参加志愿服务不少于次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．
24. 本小题分
如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．
25. 本小题分
一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积；
过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
26. 本小题分
某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，：：，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为米图中所有黑线的长度和，设米，米．
求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
当为多少时，窗户透过的光线最多窗户的面积最大，并计算窗户的最大面积．
27. 本小题分
如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，求的值．
28. 本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
求二次函数的表达式；
若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点在左边，为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；
若将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，
实数的相反数是，
故选：．
运用知识点：实数的相反数是进行求解．
此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用相反数的定义进行求解．
2.【答案】
【解析】解：选项A、、都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】
【解析】解：从上面看，是一个矩形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5.【答案】
【解析】解：，，
以，，
A、在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：．
因为，所以、同号，又，所以，，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
6.【答案】
【解析】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为，，，，，
出现次数最多的数是，所以众数为，
位于中间位置的数是，所以中位数是，
平均数为
故选：．
利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的定义是关键．
7.【答案】
【解析】解：、一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；
故选：．
根据正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念对各选项进行判断，选出正确答案即可．
本题考查了正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的概念．
8.【答案】
【解析】解：设成本为，标价为，
设降价幅度为，
粽子降价出售的售价为：，
为了不亏本，即售价大于等于成本，
，
解得，
故选：．
设降价幅度为，降价后的价格大于等于成本列式．
本题考查销售问题，解题的关键是商品的售价表示方法与成本间的比较．
9.【答案】
【解析】解：四边形和四边形是完全相同的菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得，，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理得知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知：：：，设，则，
如图，过点作垂直于的延长线于点，
，则，，
在中，，
，
则，化简得：．
由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为，
，
，
为正数，
，
，则，
如图，过点作垂直于的延长线于点，
在中，，
，
．
故答案为：．
首先根据题意知道：：，设，则，从而可用和表示出的面积，即为图中二次函数的关系式；再根据图象可知顶点纵坐标为，根据顶点公式可求出的值，从而得到了和的值；最后再根据这一条件，求出平行四边形的高，从而得到面积．
本题属于运动综合题，将动点问题的函数图象与解三角形、图形面积结合起来考查．解题的关键是审清题意，找出平行四边形两邻边的关系，并通过设参数的形式列出动点的函数关系式，并对照函数图象上已知的顶点纵坐标求出平行四边形的边长，从而求出平行四边形面积．
11.【答案】抽样调查
【解析】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
根据全面调查与抽样调查的特点解答即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的关键．
12.【答案】
【解析】解：底面半径为，高为的圆锥的体积，
故答案为：．
根据圆锥的体积公式即可得到结论．
本题考查了圆锥的体积的计算，熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，由折叠的性质可知，，
，
，
∽，
故答案为：．
利用矩形的性质得到，然后利用折叠的性质推导出，进而得到，由此推断出∽．
本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质以及翻折变换折叠问题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
14.【答案】或或
【解析】解：由题意得：
，
解得：；
，
解得：；
，为偶数，
解得：，
故答案为：或或．
根据零指数幂可得，根据有理数的乘方可得；，为偶数，再解即可．
此题主要考查了零指数幂，以及有理数的乘方，关键是注意要分类讨论，不要漏解．
15.【答案】
【解析】解：画树状图如图所示，
由图可知，共有种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有种结果，
所以该同学恰好选中化学、生物两科的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中地理和化学两科的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
16.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为，、，
则，
解得．
故答案为：．
首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17.【答案】
【解析】解：，系数之和是；
，系数之和是；
，系数之和是；
，展开各项系数之和是．
展开各项的系数之和为．
故答案为：．
根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可．
本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法．
18.【答案】
【解析】证明：延长至，使，连接，，
是中线，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，故正确；
，
，故正确；
，
，
，，，，
，
，，
，
；故正确；
，
，
，
平行四边形是菱形，
，，
，
，故错误，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，可求，，故正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求；故正确；通过证明平行四边形是菱形，可得，，由勾股定理可求的长，即可判断，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题是关键．
20.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】先通分，再计算加减，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.【答案】解：设第一批足球单价为元，则第二批足球的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
，
答：该学校两批共购买了个足球．
【解析】设第一批足球单价为元，则第二批足球的单价为元，根据学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的倍列方程即可得结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，米，
米，
米，
在中，，米，
米，
米，
垂直高度约为米．
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：人，
，即，
故答案为：，；
次，
故所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为次；
名，
答：估计我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有名．
由两个统计图可得样本参加志愿服务为次的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数，进而求出参加志愿服务为次所占的百分比，得出的值；
根据加权平均数公式进行计算即可；
用样本中的“参加志愿服务次”的学生所占的百分比去估计全校名学生“参加志愿服务次”所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
为线段的中点，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
解：，，
，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
四边形的面积平行四边形．
【解析】证明≌，得，所以四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
根据矩形的性质和勾股定理求出的值，由≌，可得四边形的面积平行四边形，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
25.【答案】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，
，，
，，
一次函数表达式为，反比例函数的表达式为；
由，解得或，
，
设一次函数与轴的交点为，则，
；
观察图象，当在的上方时，的取值范围是或．
【解析】利用待定系数法求得即可；
解析式联立，解方程组求得点的坐标，利用求得即可；
根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
26.【答案】解：是等腰三角形，是的中点，
，，，
米，
米，米，
：：，
米，
在中，由勾股定理得米，
米，
点、分别是边、的中点，，
米，米，
四边形是矩形，
米，米，
，
米，
制造窗户框的材料总长为米，
米，
，
整理得；
由题意得，
解得；
，，
设窗户的面积为平方米，
则
，
，
有最大值，
当米时，最大，最大值为平方米．
【解析】根据等腰三角形的性质求出的长，即可求出的长，根据：：即可求出的长，再根据勾股定理求出的长，的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出、的长，根据矩形的性质求出米，米，最后根据制造窗户框的材料总长为米列出方程即可得到与之间的函数关系式；
根据窗户的面积等于的面积加上矩形的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐标即可．
本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含的式子表示，从而运用函数性质求最大值是解题的关键．
27.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
证明：平分，
，
又，，
，
，，
，
∽，
，
即；
过作，如图：
由知，
，
设，，则，
平分，
，，
，
设，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，证明即可得证；
证明∽即可得证；
过作，由可得，设，，则，，，由角平分线的性质可得，设，则再说明∽，从而得出对边成比例即可表示出，从而可表示出，再由勾股定理表示出即可解答．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题关键．
28.【答案】解：二次函数的图象经过，，三个点，
，
，
二次函数的表达式为：．
过作，垂足为，
点的横坐标为，点的横坐标为，
，
二次函数的对称轴为直线，
点，关于直线对称，
到的距离是，
，
，
，，
，
在中，．
线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的线段设为，则，，
二次函数与轴交于，两点，对称轴为直线，二次函数与二次函数只是开口大小和方向发生了变化，并且越大，开口越小．若线段与二次函数的图象只有一个交点，分以下三种情况：
当时，开口向上，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，当抛物线经过时开口最大，最小，最大，把代入得，
．
当时，开口向下，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，代入得．
当时，开口向下，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，当抛物线经过时开口最大，最小，最小，把代入得，
．
综上，的取值范围是：或或．
【解析】选择三个合适的点，利用待定系数法求二次函数的表达式；
构造直角三角形，把放在直角三角形中，用表示的值并化简；
二次函数与轴交于，两点，对称轴为直线，二次函数与二次函数只是开口大小和方向发生了变化，并且越大，开口越小，所以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题．
本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对于第问，关键是研究二次函数的性质，找到分类标准．
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