内蒙古名校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试理科数学试题（含解析）

内蒙古名校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（理科）
考生注意：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容；高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．曲线的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
5．某高校现有400名教师，他们的学历情况如图所示，由于该高校今年学生人数急剧增长，所以今年计划招聘一批新教师，其中博士生80名，硕士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后硕士生的比例下降了4%，招聘后全校教师举行植树活动，树苗共1500棵，若树苗均按学历的比例进行分配，则该高校本科生教师共分得树苗的棵数为（ ）
A．100 B．120 C．200 D．240
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为3，宽为2的矩形，俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．6 B．12 C．15 D．21
9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
10．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（ ）
A． B．2π C． D．
11．弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准备学习“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有（ ）
A．32种 B．48种 C．56种 D．68种
12．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，若，则______．
14．若x，y满足约束条件则的最大值为______．
15．数列满足，，则的前2023项和______．
16．已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题．考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）．
甲、乙两名大学生参加面试时，10位评委评定的分数如下．
甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93，
乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92，
（1）若去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分，通过计算比较甲，乙面试分数的平均分的高低．
（2）在（1）的前提下，以面试的平均分作为面试的分数，笔试分数和面试分数的加权比为，已知甲、乙的笔试分数分别为92，94，综合笔试和面试的分数，从甲、乙两人中录取一人，你认为应该录取谁？说明你的理由．
18．（12分）
如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，的面积为．
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，F为PA的中点．
（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆E上的点到焦点的距离的最大值为3，
（1）求椭圆E的方程．
（2）设A，B是椭圆E上关于x轴对称的不同两点，P在椭圆E上，且点P异于A，B两点，O为原点，直线AP交x轴子点M，直线BP交x轴于点N，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
21．（12分）
已知函数，
（1）当，求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，已知点，求．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
高二数学考试参考答案（理科）
1．B ．
2．C ，，．
3．A 方程，即，表示圆，则，解得或．故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件．
4．B 由，得．
5．B 设招聘x名硕士生，由题意可知，，解得，所以本科生教师共分得树苗棵．
6．A ，所以是奇函数，排除C，D．当时，，则，，，排除B．故选A．
7．D 由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为2，底面半径为3），其体积．
8．C 设，则，，则，解得．
9．D ，，．由余弦定理，可得，所以．
10．A 由题意得该圆锥的母线长为4，设圆锥的底面半径为R，高为h，由，得，则，所以该圆锥的表面积为．如图，圆锥PO内切球的半径等于内切圆的半径，设的内切圆为，其半径为r，由，得，得，故能制作的零件表面积的最大值为．
11．D ①若《周易》不排，共有种安排方式．
②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，共有种安排方式；若排《周易》
且《诗经》与《礼记》只安排一个，共有种安排方式．
所以共有种安排方式．
12．C ，，．设函数，．
令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．因为，所，故．
13．1或－3 因为，所以，解得或．
14． 画出可行域（图略）知，当直线经过点时，z取得最大值．
15．1351 因为，，所以，，，，，，则从第3项起为周期数列，则．
16． 不妨设，且．因为的面积为，所以，代入抛物线方程可得，则．直线AB的方程为．由得，所以，．直线MN的方程为，同理可得．因为，所以四边形AMBN的面积为．
17．解：（1），
，
因为，所以甲的面试分数的平均分更高．
（2）因为笔试分数和面试分数的加权比为，
所以甲的综合分数为，
乙的综合分数为，
因为，所以乙的综合分数更高，故应该录取乙．
18．解：（1）因为，所以．
在中，由余弦定理可得
，解得．
故的周长为．
（2）在中，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立．
所以，．
19．（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
又，所以．由，得平面PAB．
因为平面PAB，所以．
因为F为PA的中点，，所以．
由，得平面PAD．
因为平面PAD，所以．
（2）解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．
设平面CDF的法向量为，
则令，得．
设平面CDP的法向量为，则令，得．
，
由图可知，二面角的余弦值为．
20．解：（1）设椭圆E的焦距为2c，依题意，得解得则，
所以椭圆E的方程为．
（2）设，，，，，
则直线AP的方程为，联立方程组
消去y并整理得，
则．
同理由直线BP的方程，与联立，消去y并整理得，
则，所以，
所以，
化简得．
当时，，由已知得，所以．
当时，M，N，P三点重合，这时．
综上，，即为定值4．
21．（1）解：当时，，．，．
曲线在处的切线方程为，即．
（2）证明：．
当时，由解得，由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
．
要证，即证，即．
令函数，．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
，所以，即得证．
故得证．
22．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C的普通方程为．
由，得直线l的直角坐标方程为．
（2）直线l的参数方程为（t为参数），
将其代入曲线C的普通方程得，则，，
故．
23．解：（1）因为，所以．
当时，原不等式转化为，解得．
当时，原不等式转化为，解得．
当时，原不等式转化为，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，所以恒成立等价于恒成立．
显然，当时，则，解得或．
当时，则，解得或．
故的取值范围为．