第十三章轴对称 单元复习题 2023-2024学年人教版八年级数学上册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十三章轴对称 单元复习题 2023-2024学年人教版八年级数学上册（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 597.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-30 00:00:00 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上册第十三轴对称 单元复习题
一、选择题
1．下面的四个图形中，属于轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
2．如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，，连结，交于点若，，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
3．点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．75° B．120° C．30° D．30°或120°
5．如图，P是等边的边AC的中点，E为边延长线上一点，，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，在中，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C的坐标为（ ）
A．( -1，-2) B．( 1，-2) C．( -1，2) D．( -2，-1)
9．如图在等腰△ABC中，其中AB＝AC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
10．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为 ．
12．点与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是 .
13．等腰中，，顶角A为，平面内有一点P，满足且，则的度数为 ．
14．如图，边长为6的等边三角形中，若点是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的下方画等边三角形，连接，则长度的最小值为 .
三、解答题
15．如图，CD是线段AB的垂直平分线，求证：．
证明：∵CD是线段AB的垂直平分线（已知），
∴▲ ，▲
在和中，
∴（ ）
∴（ ）
16．如图在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ，
（1）请在图中画出 关于 轴的对称图形 ，点 、 、 的对称点分别为 、 、 ，其中 的坐标为 ； 的坐标为 ； 的坐标为 ．
（2）请求出 的面积．
17．已知是等腰三角形的两条边，且，求这个三角形的周长.
18．已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
四、综合题
19．如图，在中，边的垂直平分线相交于点P．
（1）求证；
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
20．如图，在平面直角坐标系中，，，.
（1）请画出△关于y轴对称的△；
（2）直接写出△的面积为 ；
（3）已知点D的横纵坐标都是整数，且△BCD和△BCA全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标 ；（D与A不重合）
21．如图，四边形中，，，连接.
（1）求证：；
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交，于点E，F；
（3）连接，若，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：选项A、C、D中都均找不到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项B中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由作法得DE垂直平分AB ，
，
的周长 .
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PA=PB，进而根据三角形周长的计算方法、线段的和差及等量代换得△ACP的周长=BC+AC，据此就不难得出答案了.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：分两种情况：
当30°的角是底角时候，则顶角度数为120°；
当30°的角是顶角时候，则顶角为30°.
故答案为：D.
【分析】由于30°角是锐角，需要分当30°的角是底角时候与当30°的角是顶角时候两种情况考虑，根据三角形的内角和定理即可解决问题.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵P是等边的边AC的中点，
∴平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用等边三角形的性质及角的运算求出，再根据等边对等角的性质可得，最后利用三角形外角的性质可得。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，
，，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，所以，，再利用角的运算和等量代换可得。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
，
共3个，
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的性质，分别画出符合题意的图形，可得答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】∵x轴是△AOB的对称轴，
∴点A与点B关于x轴对称，
而点A的坐标为（1，2），
∴B（1，-2），
∵y轴是△BOC的对称轴，
∴点B与点C关于y轴对称，
∴C（-1，-2）．
故答案为：A．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：纵坐标变为相反数，横坐标不变可得B（1，-2），再根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得C（-1，-2）。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC即∠1+∠BCP=∠2+∠ABP，
∵∠1=∠2，
∴∠BCP=∠ABP
∵∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°
∴∠1+∠BCP+∠2+∠ABP=140°，
∴∠2+∠BCP=70°
∴∠BPC=180°-70°=110°.
故答案为：A
【分析】利用等边对等角可证得∠ACB=∠ABC即∠1+∠BCP=∠2+∠ABP，结合已知条件可证得∠BCP=∠ABP，利用三角形的内角和定理求出∠ACB+∠ABC的度数，即可求出∠2+∠BCP的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BPC的度数.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴M在AB上，
∴MF=EF，
∴EF+CF=MF+CF=CM，
即此时EF+CF最小，且为CM，
∵AE=2，
∴AM=2，即点M为AB中点，
∴∠ECF=30°，
故答案为：C．
【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，根据轴对称的性质可得EF+CF=MF+CF=CM，此时EF+CF最小，且为CM，求出AM=AE=2，再结合点M为AB中点，即可得到∠ECF=30°，从而得解。
11．【答案】2个
【解析】【解答】解：图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形是标号“2”和“4”，共有2个，
故答案为：2个．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可。
12．【答案】(-1，-3)
【解析】【解答】解：∵点与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标为，
故答案为：.
【分析】关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答.
13．【答案】30或110
【解析】【解答】解：分类讨论：当点P在AB的左侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=110°；
当点P在AB的右侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°.
综上∠PBC的度数为30°或110°.
故答案为：30或110.
【分析】当点P在AB的左侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠PBA+∠ABC算出答案；当点P在AB的右侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠CBA-∠ABP算出答案，综上即可得出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是等边三角形且变长为6，
∴，
∴，
∴时，最短为.
故答案为：.
【分析】连接BN，根据等边三角形的性质可得MC=MN，∠MCN=60°，BA=BC，∠ABC=60°，由角的和差关系可得∠ACM=∠BCN，利用SAS证明△CNB≌△AMC，得到∠CAM=∠CBN，易得∠CAD=30°，BD=CD=3，∠CBN=30°，据此求解.
15．【答案】证明：∵CD是线段AB的垂直平分线（已知），
∴ BC，AD
在 和 中，
∴ （SSS）
∴ （全等三角形的对应角相等）
【解析】【分析】利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AC=BC，AD=BD，利用SSS证明△CAD≌△CBD，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
16．【答案】（1）（3,4）；（4,1）；（1,1）
（2） 的面积=
【解析】【解答】（1）如图， 为所求； 的坐标为（3,4）； 的坐标为（4,1）； 的坐标为（1,1）．
【分析】（1）根据轴对称的定义画出图形，再写出坐标；（2）根据三角形的面积公式求解即可．
17．【答案】解：∵，，
∴，
解得
当a是腰时，三角形三边的长分别为：，，，则，不能构成三角形；
当b是腰时：三角形三边的长分别为：，，，满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故三角形的周长为：，
综上可得，三角形的周长为.
【解析】【分析】由绝对值和平方的非负性可得关于a、b的方程，解方程求得a、b的值，根据等腰三角形的定义分两种情况：①当a是腰时，②当b是腰时，结合三角形三边关系定理可求解.
18．【答案】解：如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
【解析】【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．
19．【答案】（1）解：∵点P是的垂直平分线上的点，
∴．
同理．
∴．
（2）解：∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上（和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等．
点P也在边的垂直平分线上，由此可以得出，三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得，，所以；
（2）根据垂直平分线的判定方法求解即可。
20．【答案】（1）解：如图，点A1、B1、C1与点A、B、C关于y轴对称；△A1B1C1即为所求三角形；
（2）4
（3）（1，2），（5，2），（5，4）
【解析】【解答】解：（2）由点B、C坐标可知：BC垂直x轴，
∴A点到BC的距离为2，
∴的面积=×BC×2=4；
（3）如图，
△ABC和△D1BC关于直线BC对称，△ABC和△D2CB关于直线y=3对称，△D2CB和△△D3CB关于直线BC对称；
∴△ABC≌△D1BC，△ABC≌△D2CB，△D2CB≌△△D3CB，△ABC≌△D3CB，
∴满足条件的点D的坐标为：（1，2），（5，2），（5，4）；
【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）由点B、C坐标可知：BC垂直x轴，A点到BC的距离为2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）△ABC和△D1BC关于直线BC对称，△ABC和△D2CB关于直线y=3对称，△D2CB和△△D3CB关于直线BC对称，则△ABC≌△D1BC，△ABC≌△D2CB，△D2CB≌△△D3CB，△ABC≌△D3CB，进而可得点D的坐标.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴.
在和中，，
∴.
（2）解：如图1所示：直线即为所求.
（3）解：如图2.连接，
∵垂直平分，，
∴，
∴.
∵是的外角，
∴.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，根据AAS证明即可；
（2）分别以点BD为圆心，以大于BD的长为半径在BD的两侧分别画弧，两弧交于一点，过两交点画直线即可；
（3）连接，由线段垂直平分线的性质可得BE=ED，利用等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，继而得解.
一、选择题
1．下面的四个图形中，属于轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
2．如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，，连结，交于点若，，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
3．点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．75° B．120° C．30° D．30°或120°
5．如图，P是等边的边AC的中点，E为边延长线上一点，，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，在中，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C的坐标为（ ）
A．( -1，-2) B．( 1，-2) C．( -1，2) D．( -2，-1)
9．如图在等腰△ABC中，其中AB＝AC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
10．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为 ．
12．点与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是 .
13．等腰中，，顶角A为，平面内有一点P，满足且，则的度数为 ．
14．如图，边长为6的等边三角形中，若点是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的下方画等边三角形，连接，则长度的最小值为 .
三、解答题
15．如图，CD是线段AB的垂直平分线，求证：．
证明：∵CD是线段AB的垂直平分线（已知），
∴▲ ，▲
在和中，
∴（ ）
∴（ ）
16．如图在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ，
（1）请在图中画出 关于 轴的对称图形 ，点 、 、 的对称点分别为 、 、 ，其中 的坐标为 ； 的坐标为 ； 的坐标为 ．
（2）请求出 的面积．
17．已知是等腰三角形的两条边，且，求这个三角形的周长.
18．已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
四、综合题
19．如图，在中，边的垂直平分线相交于点P．
（1）求证；
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
20．如图，在平面直角坐标系中，，，.
（1）请画出△关于y轴对称的△；
（2）直接写出△的面积为 ；
（3）已知点D的横纵坐标都是整数，且△BCD和△BCA全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标 ；（D与A不重合）
21．如图，四边形中，，，连接.
（1）求证：；
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交，于点E，F；
（3）连接，若，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：选项A、C、D中都均找不到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项B中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由作法得DE垂直平分AB ，
，
的周长 .
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PA=PB，进而根据三角形周长的计算方法、线段的和差及等量代换得△ACP的周长=BC+AC，据此就不难得出答案了.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：分两种情况：
当30°的角是底角时候，则顶角度数为120°；
当30°的角是顶角时候，则顶角为30°.
故答案为：D.
【分析】由于30°角是锐角，需要分当30°的角是底角时候与当30°的角是顶角时候两种情况考虑，根据三角形的内角和定理即可解决问题.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵P是等边的边AC的中点，
∴平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用等边三角形的性质及角的运算求出，再根据等边对等角的性质可得，最后利用三角形外角的性质可得。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，
，，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，所以，，再利用角的运算和等量代换可得。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
，
共3个，
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的性质，分别画出符合题意的图形，可得答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】∵x轴是△AOB的对称轴，
∴点A与点B关于x轴对称，
而点A的坐标为（1，2），
∴B（1，-2），
∵y轴是△BOC的对称轴，
∴点B与点C关于y轴对称，
∴C（-1，-2）．
故答案为：A．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：纵坐标变为相反数，横坐标不变可得B（1，-2），再根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得C（-1，-2）。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC即∠1+∠BCP=∠2+∠ABP，
∵∠1=∠2，
∴∠BCP=∠ABP
∵∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°
∴∠1+∠BCP+∠2+∠ABP=140°，
∴∠2+∠BCP=70°
∴∠BPC=180°-70°=110°.
故答案为：A
【分析】利用等边对等角可证得∠ACB=∠ABC即∠1+∠BCP=∠2+∠ABP，结合已知条件可证得∠BCP=∠ABP，利用三角形的内角和定理求出∠ACB+∠ABC的度数，即可求出∠2+∠BCP的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BPC的度数.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴M在AB上，
∴MF=EF，
∴EF+CF=MF+CF=CM，
即此时EF+CF最小，且为CM，
∵AE=2，
∴AM=2，即点M为AB中点，
∴∠ECF=30°，
故答案为：C．
【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，根据轴对称的性质可得EF+CF=MF+CF=CM，此时EF+CF最小，且为CM，求出AM=AE=2，再结合点M为AB中点，即可得到∠ECF=30°，从而得解。
11．【答案】2个
【解析】【解答】解：图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形是标号“2”和“4”，共有2个，
故答案为：2个．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可。
12．【答案】(-1，-3)
【解析】【解答】解：∵点与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标为，
故答案为：.
【分析】关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答.
13．【答案】30或110
【解析】【解答】解：分类讨论：当点P在AB的左侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=110°；
当点P在AB的右侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°.
综上∠PBC的度数为30°或110°.
故答案为：30或110.
【分析】当点P在AB的左侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠PBA+∠ABC算出答案；当点P在AB的右侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠CBA-∠ABP算出答案，综上即可得出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是等边三角形且变长为6，
∴，
∴，
∴时，最短为.
故答案为：.
【分析】连接BN，根据等边三角形的性质可得MC=MN，∠MCN=60°，BA=BC，∠ABC=60°，由角的和差关系可得∠ACM=∠BCN，利用SAS证明△CNB≌△AMC，得到∠CAM=∠CBN，易得∠CAD=30°，BD=CD=3，∠CBN=30°，据此求解.
15．【答案】证明：∵CD是线段AB的垂直平分线（已知），
∴ BC，AD
在 和 中，
∴ （SSS）
∴ （全等三角形的对应角相等）
【解析】【分析】利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AC=BC，AD=BD，利用SSS证明△CAD≌△CBD，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
16．【答案】（1）（3,4）；（4,1）；（1,1）
（2） 的面积=
【解析】【解答】（1）如图， 为所求； 的坐标为（3,4）； 的坐标为（4,1）； 的坐标为（1,1）．
【分析】（1）根据轴对称的定义画出图形，再写出坐标；（2）根据三角形的面积公式求解即可．
17．【答案】解：∵，，
∴，
解得
当a是腰时，三角形三边的长分别为：，，，则，不能构成三角形；
当b是腰时：三角形三边的长分别为：，，，满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故三角形的周长为：，
综上可得，三角形的周长为.
【解析】【分析】由绝对值和平方的非负性可得关于a、b的方程，解方程求得a、b的值，根据等腰三角形的定义分两种情况：①当a是腰时，②当b是腰时，结合三角形三边关系定理可求解.
18．【答案】解：如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
【解析】【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．
19．【答案】（1）解：∵点P是的垂直平分线上的点，
∴．
同理．
∴．
（2）解：∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上（和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等．
点P也在边的垂直平分线上，由此可以得出，三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得，，所以；
（2）根据垂直平分线的判定方法求解即可。
20．【答案】（1）解：如图，点A1、B1、C1与点A、B、C关于y轴对称；△A1B1C1即为所求三角形；
（2）4
（3）（1，2），（5，2），（5，4）
【解析】【解答】解：（2）由点B、C坐标可知：BC垂直x轴，
∴A点到BC的距离为2，
∴的面积=×BC×2=4；
（3）如图，
△ABC和△D1BC关于直线BC对称，△ABC和△D2CB关于直线y=3对称，△D2CB和△△D3CB关于直线BC对称；
∴△ABC≌△D1BC，△ABC≌△D2CB，△D2CB≌△△D3CB，△ABC≌△D3CB，
∴满足条件的点D的坐标为：（1，2），（5，2），（5，4）；
【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）由点B、C坐标可知：BC垂直x轴，A点到BC的距离为2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）△ABC和△D1BC关于直线BC对称，△ABC和△D2CB关于直线y=3对称，△D2CB和△△D3CB关于直线BC对称，则△ABC≌△D1BC，△ABC≌△D2CB，△D2CB≌△△D3CB，△ABC≌△D3CB，进而可得点D的坐标.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴.
在和中，，
∴.
（2）解：如图1所示：直线即为所求.
（3）解：如图2.连接，
∵垂直平分，，
∴，
∴.
∵是的外角，
∴.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，根据AAS证明即可；
（2）分别以点BD为圆心，以大于BD的长为半径在BD的两侧分别画弧，两弧交于一点，过两交点画直线即可；
（3）连接，由线段垂直平分线的性质可得BE=ED，利用等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，继而得解.