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概率与统计小结（第一课时）
高二年级 数学
一、随机事件的条件概率
二、离散型随机变量及其分布列
三、正态分布
本章所学习的概率方面的相关内容有：
一、随机事件的条件概率
条件概率：
乘法公式：
全概率公式：
贝叶斯公式：
二、离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的分布列：
一般地，当离散型随机变量X的取值范围是 时，如果对任意 ，概率 都是已知的，则称
X的概率分布是已知的.
二、离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的分布列如下表所示：
X
P
写出一个离散型随机变量的分布有以下几个步骤：
（1）写出X的所有取值；
（2）求X取每一个值的概率；
（3）列出表格.
二、离散型随机变量及其分布列
两点分布：
一般地，如果随机变量的分布列能写成下列表格的形式，则称这个随机变量服从参数为p的两点分布（或0-1分布）.
两点分布也称为伯努利分布.
W 1 0
P
二、离散型随机变量及其分布列
n次独立重复试验：
在相同的条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
二、离散型随机变量及其分布列
二项分布：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记，且次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的分布列如下表所示：
X 0 1
P
称X 服从参数为n，p的二项分布，记作
二、离散型随机变量及其分布列
超几何分布：一般地，若有总数为N的甲、乙两类物品，其中甲类有M件 ，从所有物品中随机取出n件 ，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数 时取0，否则t取n减乙类物品件数之差.
二、离散型随机变量及其分布列
超几何分布：
而且，
这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作：
二、离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的均值：
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则称
为离散型随机变量X的均值或期望.
X
P
二、离散型随机变量及其分布列
其中，方差和标准差都是刻画X的离散程度（波动大小）.
离散型随机变量的方差：
因为X的均值为E(X),所以称
为离散型随机变量的方差，称 为离散型随机变量的标准差.
三、正态分布
正态分布：
一般地，如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率，总是等于
对应的正态曲线与 轴在区间[a,b]内围成的面积，则称X服从参数为 与 的正态分布，记作
此时 称为X的概率密度函数.
三、正态分布
标准正态分布：
且 的正态分布为标准正态分布.
如果 ，那么对于任意 ，通常记 ,
也就是说 表示 对应的正态曲线与 轴在区间
内所围的面积.
具有性质：
例 某班从6名干部（男生2人，女生4人）中，任选3人参加学校的义务劳动.设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B|A).
典型例题
解： 男生甲被选中的概率为
男生甲、女生乙都被选中的概率为
所以，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
例 某射击运动员进行射击训练时，假设每次击中目标的概率均为0.6，且每次射击结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（1）其中恰有3次击中目标的概率；
典型例题
解：设事件A为恰有3次击中目标.
答：其中恰有3次击中目标的概率为 .
则
例 某射击运动员进行射击训练时，假设每次击中目标的概率均为0.6，且每次射击结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（2）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.
典型例题
分析 解题关键：恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标.
例 某射击运动员进行射击训练时，假设每次击中目标的概率均为0.6，且每次射击结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（2）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.
典型例题
解：设事件B为恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标.
则
答：恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率为
例 假设每一年都只有365天，而且每人在任意一天中出生的概率都相等.设一个有30人的班级中，恰有X位同学在元旦出生，指出X满足的分布列，并求出P.
典型例题
则X满足的分布列如下：
解：一个有30人的班级中，恰有X位同学在元旦出生，则X服从二项分布，即 .若记
例 假设每一年都只有365天，而且每人在任意一天中出生的概率都相等.设一个有30人的班级中，恰有X位同学在元旦出生，指出X满足的分布列，并求出 .
典型例题
解：此时
答： 的值约为
例 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来3天里，有连续两天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.
典型例题
例 （1）求在未来3天里，有连续两天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
典型例题
分析：首先，我们应该先求出日销售量不低于100个的概率以及日销售量低于50个的概率.
其次，在3天里，有连续两天的日销售量都不低于100个，且另一天的日销售量低于50个的情况共有2种.
例 （1）求在未来3天里，有连续两天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
典型例题
解：（1）由频率分布直方图可知，
日销售量不低于100个的概率为
日销售量低于50个的概率
例 （1）求在未来3天里，有连续两天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
典型例题
解：（1）记“在未来3天里，有连续两天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”的事件为A，则
所以在未来3天里，有连续两天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率为0.108.
例 （2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.
典型例题
解：（2）X可能为0，1，2，3，则X服从二项分布，即
则
例 （2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.
典型例题
解：（2）所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X服从二项分布，所以
1.随机事件的条件概率
2.离散型随机变量及其分布列
3.正态分布
课堂小结
教材第123页A组第4题
1.乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相等.
（1）求甲以4比1获胜的概率；
（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率.
课后作业
教材第124页B组第4题
2.已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%.甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%.从该电脑卖家中随机购买一台电脑：
（1）求买到优质电脑的概率；
（2）若已知买到的是优质电脑，求买到的是甲品牌电脑的概率（精确到0.1%）.
课后作业
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概率与统计小结（2）
高二年级 数学
本章所学习的统计方面的相关内容有：
一、成对数据的统计相关性；
二、一元线性回归模型；
三、 列联表.
一、成对数据的统计相关性
一般地，如果收集到了变量 和变量 的 对数据（简称为成对数据），如下表所示.
序号i 1 2 3 n
变量x
变量y
一、成对数据的统计相关性
则在平面直角坐标系 中描出点 ，就可以得到这 对数据的散点图.
如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量 和变量 直接的关系可以近似用一次函数来刻画，则称两个变量线性相关.
一、成对数据的统计相关性
此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；
如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关.
一、成对数据的统计相关性
相关系数：现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用
来衡量 与 的线性相关性强弱，称为相关系数.
二、一元线性回归模型
回归直线方程：
一般地，已知变量 与 的 对成对数据 .任意给定一个一次函数 ，对每一个已知的 ，由直线方程可以得到一个估计值
二、一元线性回归模型
如果一次函数 能使残差平方和即
取得最小值，则 称为 关于 的回归直线方程（对应的直线称为回归直线）.
因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法.
二、一元线性回归模型
可以证明，给定两个变量 与 的一组数据之后，回归直线
总是存在的，而且
其中， 称为回归系数，也是回归直线方程的斜率.
二、一元线性回归模型
利用线性回归分析方法解决实际问题的基本步骤是：
第一步，利用数据表格或散点图等不同的方法，直观判断两个变量 与 之间是否具有线性相关关系；
第二步，判断两个变量 与 之间可能具有线性相关关系后，通过计算相关系数，衡量两个变量 与 之间线性相关关系的强弱.
二、一元线性回归模型
利用线性回归分析习方法解决实际问题的基本步骤是：
第三步，根据公式求出 关于 的回归直线方程；
第四步，依据回归直线做出统计推断或结果解释.
三、 列联表
列联表：
总计
a b a+b
c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
由此可得卡方的计算公式为：
三、 列联表
统计学中，常用的显著性水平 以及对应的分位数 如下表所示.
三、 列联表
（1）绘制 列联表；
（2）计算卡方数值；
（3）与显著性水平对应的分位数比较；
（4）若 ，就称在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为A与B不独立，或者说有 的把握认为A与B有关；若 ，则说没有 的把握认为A与B有关.
利用 列联表解决独立性检验实际问题的基本步骤：
例 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
典型例题
（1）由表中数据分析，是否有95%的把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关？
文艺节目 新闻节目
20到40岁 40 18
大于40岁 15 27
分析：由表可得：
典型例题
文艺节目 新闻节目
20到40岁 40 18
大于40岁 15 27
解：根据题意可得，
所以有95%的把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关.
典型例题
（2）用分层抽样的方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
文艺节目 新闻节目
20到40岁 40 18
大于40岁 15 27
解：在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取
所以应抽取3名观众.
典型例题
（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20到40岁的概率.
文艺节目 新闻节目
20到40岁 40 18
大于40岁 15 27
解：由（2）得，5名观众中，有3名大于40岁的观众，有2名年龄为20到40岁的观众.
设事件A为恰有1名观众的年龄为20到40岁.
则
所以恰有1名观众的年龄为20到40岁的概率为
例 已知 与 之间的几组数据如下表所示.
典型例题
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 ，若某同学根据上表中的前两组数据，求得一次函数表达式为 .判断 与 的相对大小，以及 与 的相对大小.
1 2 3 4 5 6
0 2 1 3 3 4
解：由已知可得：
典型例题
1 1 0 1 0
2 2 2 4 4
3 3 1 9 3
4 4 3 16 12
5 5 3 25 15
6 6 4 36 24
21 13 91 58
解：所以，
典型例题
又因为一次函数过点（1,0）和（2,2），可得
所以
例 某地近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据.
典型例题
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程；
年份x 2012 2014 2016 2018 2020
需求量y/万吨 236 246 257 276 286
（2）利用（1）中所求出的线性回归方程预测该地2022年的粮食需求量.
典型例题
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程；
年份x 2012 2014 2016 2018 2020
需求量y/万吨 236 246 257 276 286
解：根据所给的表格可知，用年份减去2016，得到-4，-2，0，2，4，
需求量都减去257，得到-21，-11，0，19，29，这样对应的年份和需求量之间是一个线性关系.
典型例题
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程；
年份x 2012 2014 2016 2018 2020
需求量y/万吨 236 246 257 276 286
解：
所以线性回归方程是
即
典型例题
（2）利用（1）中所求出的线性回归方程预测该地2022年的粮食需求量.
年份x 2012 2014 2016 2018 2020
需求量y/万吨 236 246 257 276 286
解：当
所以预测该地2022年的粮食需求量是299.2万吨.
例 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均运动时间的样本数据（单位：h）.
典型例题
（1）应收集多少位女生样本数据？
解：应收集 位女生样本数据.
典型例题
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均
体育运动时间的频率分布直方图如图所示.其中样本数据分组区间为：[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4h的概率.
解：该校学生每周平均体育运动时间超过4h的概率为
典型例题
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4h.请制作每周平均体育运动时间与性别的 列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.
解：由（2）得，该校学生每周平均体育运动时间超过4h的人数为：
所以该校有60名女生每周平均体育运动时间超过4h，有165名男生每周平均体育运动时间超过4h.
典型例题
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4h.请制作每周平均体育运动时间与性别的 列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.
解：所以根据题意可列出 列联表如下
超过4小时 不超过4小时 总计
男 165 45 210
女 60 30 90
总计 225 75 300
典型例题
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4h.请制作每周平均体育运动时间与性别的 列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.
解：所以可得：
所以有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.
1.一元线性回归模型
2.独立性检验
课堂小结
教材第118页习题4-3B第4题
4.某工厂有25周岁及以上的工人300名，25周岁以下的工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁及以上”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均
课后作业
教材第118页习题4-3B第4题
生产件数分成5组：
[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，
[90，100)，分别加以统计，得到如图所示
的频率分布直方图.
课后作业
教材第118页习题4-3B第4题
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”的工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件列出 列联表，并判断是否有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关.
课后作业
教材第124页A组第11题
11.在调查男女学生购买食品时是否阅读营养成分说明时，调查了36位男生、38位女生，而且阅读营养成分的人有46位，阅读营养成分的人中有28位女生.用 列联表表示上述数据.
课后作业
谢谢
