人教版数学八年级上册 14.3.2 公式法 （第1课时） 运用平方差公式因式分解导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 14.3.2 公式法 （第1课时） 运用平方差公式因式分解导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 28.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-31 17:36:55 | ||
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文档简介
14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
学习目标
1.进一步理解因式分解的意义.
2.理解平方差公式的意义,弄清公式的形式和特征,会运用平方差公式分解因式.
3.通过对比整式乘法和分解因式的关系,进一步发展逆向思维能力.
学习策略
1.结合实例掌握平方差公式形式和特征；
2.牢记平方差公式.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么叫因式分解？
2.平方差公式的内容？
二.新课学习：
知识点：利用平方差公式分解因式
1.计算下列各式：
(1) (a＋5)(a－5)；(2) (4m＋3n)(4m－3n).
【答案】(1)(a＋5)(a－5)＝a2－52＝a2－25.
(2)(4m＋3n)(4m－3n)＝(4m)2－(3n)2＝16m2－9n2.
2.根据第1题的结果，利用数学“互逆”的思想分解因式：
(1)a2－25；(2)16m2－9n2.
【答案】(1)a2－25＝a2－52＝(a＋5)(a－5).
(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)(4m－3n).
3.观察上述两个问题特征，我们可以得出两个数的平方差，等于这两个数的 与这两个数的 的 ，即a2-b2= .
【答案】和；差；积；(a+b)(a-b)
三.尝试应用：
例1（1） 4a2-9 （2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
解：（1）4a2-9=（2a+3）（2a-3）
（2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）；
例2 （1）101×99 (2) 30.8×29.2．
(1)101×99
＝（100+1）×（100﹣1）
＝1002﹣12
＝10000﹣1
＝9999．
(2)原式＝（30﹣0.8）（30+0.8）
＝302﹣0.82
＝900﹣0.64
＝899.36．
四.自主总结：
a2-b2=(a+b)(a-b).即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
五.达标测试
一、选择题
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+(﹣b)2 B.5m2﹣20mn C.﹣x2﹣y2 D.﹣x2+9
2. 分解因式x4﹣1的结果是( )
A.(x+1)(x﹣1) B.(x2+1)(x2﹣1)
C.(x2+1)(x+1)(x﹣1) D.(x+1)2(x﹣1)2
3. 如图，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)( )
A.3.5π B.12.25π C.27π D.35π
4.因式分解x2y-4y的正确结果是( )
A.y(x+2)(x-2) B.y(x+4)(x-4) C.y(x2-4) D.y(x-2)2
5.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2
二、填空题
6. 因式分解：9（x+y）2﹣（x﹣y）2＝ ．
7. 若m2-n2=6，且m-n=2，则3m+3n=__________.
8. 小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
三、解答题
9. 因式分解：
（1）a4-16a2；
（2）（m2+m）2-（m+1）2．
10.如图，在一块边长为a的正方形纸板的四周，各剪去一个边长为b（b＜）的正方形．
（1）用代数式表示阴影部分的面积；
（2）利用因式分解的方法计算，当a=15.4，b=3.7时，求阴影部分的面积．
参考答案
1.D
2.C
3.D 解析：根据环形面积=大圆的面积-小圆的面积，然后代入数据计算.
πR2-πr2=π(6.752-3.252)=π(6.75+3.25)(6.75-3.25)=35π.
4.A 解析：先提取公因式y，再根据平方差公式进行因式分解即可求得答案.x2y-4y=y(x2-4)=y(x2-22)=y(x+2)(x-2).
5. B 解析：因为图甲中阴影部分的面积=a2-b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），而两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b）．
6. 4（2x+y）（x+2y）．解：原式＝[3（x+y）]2﹣（x﹣y）2
＝（3x+3y+x﹣y）（3x+3y﹣x+y）
＝（4x+2y）（2x+4y）
＝4（2x+y）（x+2y）．
7. 9 解析：因为m2-n2=6，且m-n=2，所以m2-n2=（m+n）（m-n）=2（m+n）=6，所以m+n=3，所以3m+3n=3（m+n）=3×3=9．
8.解析：①当 ＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），
②当 ＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y），
综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．
6.（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1
9.解：（1）a4-16a2；=a2（a2-16）=a2（a+4）（a-4）；（2）（m2+m）2-（m+1）2=（m2+m+m+1）（m2+m-m-1）=（m+1）2 （m+1）（m-1）=（m+1）3（m-1）．
10.解：（1）阴影的面积a2-4b2，（2）当a=15.4，b=3.7时，原式=（a+2b）a-2b）=（15.4+7.4）（15.4-7.4）=22.8×8=182.4．
第1课时 运用平方差公式因式分解
学习目标
1.进一步理解因式分解的意义.
2.理解平方差公式的意义,弄清公式的形式和特征,会运用平方差公式分解因式.
3.通过对比整式乘法和分解因式的关系,进一步发展逆向思维能力.
学习策略
1.结合实例掌握平方差公式形式和特征；
2.牢记平方差公式.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么叫因式分解？
2.平方差公式的内容？
二.新课学习：
知识点：利用平方差公式分解因式
1.计算下列各式：
(1) (a＋5)(a－5)；(2) (4m＋3n)(4m－3n).
【答案】(1)(a＋5)(a－5)＝a2－52＝a2－25.
(2)(4m＋3n)(4m－3n)＝(4m)2－(3n)2＝16m2－9n2.
2.根据第1题的结果，利用数学“互逆”的思想分解因式：
(1)a2－25；(2)16m2－9n2.
【答案】(1)a2－25＝a2－52＝(a＋5)(a－5).
(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)(4m－3n).
3.观察上述两个问题特征，我们可以得出两个数的平方差，等于这两个数的 与这两个数的 的 ，即a2-b2= .
【答案】和；差；积；(a+b)(a-b)
三.尝试应用：
例1（1） 4a2-9 （2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
解：（1）4a2-9=（2a+3）（2a-3）
（2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）；
例2 （1）101×99 (2) 30.8×29.2．
(1)101×99
＝（100+1）×（100﹣1）
＝1002﹣12
＝10000﹣1
＝9999．
(2)原式＝（30﹣0.8）（30+0.8）
＝302﹣0.82
＝900﹣0.64
＝899.36．
四.自主总结：
a2-b2=(a+b)(a-b).即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
五.达标测试
一、选择题
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+(﹣b)2 B.5m2﹣20mn C.﹣x2﹣y2 D.﹣x2+9
2. 分解因式x4﹣1的结果是( )
A.(x+1)(x﹣1) B.(x2+1)(x2﹣1)
C.(x2+1)(x+1)(x﹣1) D.(x+1)2(x﹣1)2
3. 如图，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)( )
A.3.5π B.12.25π C.27π D.35π
4.因式分解x2y-4y的正确结果是( )
A.y(x+2)(x-2) B.y(x+4)(x-4) C.y(x2-4) D.y(x-2)2
5.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2
二、填空题
6. 因式分解：9（x+y）2﹣（x﹣y）2＝ ．
7. 若m2-n2=6，且m-n=2，则3m+3n=__________.
8. 小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
三、解答题
9. 因式分解：
（1）a4-16a2；
（2）（m2+m）2-（m+1）2．
10.如图，在一块边长为a的正方形纸板的四周，各剪去一个边长为b（b＜）的正方形．
（1）用代数式表示阴影部分的面积；
（2）利用因式分解的方法计算，当a=15.4，b=3.7时，求阴影部分的面积．
参考答案
1.D
2.C
3.D 解析：根据环形面积=大圆的面积-小圆的面积，然后代入数据计算.
πR2-πr2=π(6.752-3.252)=π(6.75+3.25)(6.75-3.25)=35π.
4.A 解析：先提取公因式y，再根据平方差公式进行因式分解即可求得答案.x2y-4y=y(x2-4)=y(x2-22)=y(x+2)(x-2).
5. B 解析：因为图甲中阴影部分的面积=a2-b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），而两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b）．
6. 4（2x+y）（x+2y）．解：原式＝[3（x+y）]2﹣（x﹣y）2
＝（3x+3y+x﹣y）（3x+3y﹣x+y）
＝（4x+2y）（2x+4y）
＝4（2x+y）（x+2y）．
7. 9 解析：因为m2-n2=6，且m-n=2，所以m2-n2=（m+n）（m-n）=2（m+n）=6，所以m+n=3，所以3m+3n=3（m+n）=3×3=9．
8.解析：①当 ＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），
②当 ＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y），
综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．
6.（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1
9.解：（1）a4-16a2；=a2（a2-16）=a2（a+4）（a-4）；（2）（m2+m）2-（m+1）2=（m2+m+m+1）（m2+m-m-1）=（m+1）2 （m+1）（m-1）=（m+1）3（m-1）．
10.解：（1）阴影的面积a2-4b2，（2）当a=15.4，b=3.7时，原式=（a+2b）a-2b）=（15.4+7.4）（15.4-7.4）=22.8×8=182.4．