北京市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·北京）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将239000000用科学记数法表示应为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
2．（2023·北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．（2023·北京）如图，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴2∠BOC+∠AOB+∠COD=180°，
∵，
∴∠BOC+∠AOB+∠COD=126°，
∴=54°，
故答案为：C
【分析】根据直角即可结合题意即可得到2∠BOC+∠AOB+∠COD=180°，进而根据题意即可求解。
4．（2023·北京）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。
5．（2023·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
6．（2021八上·江城期中）十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360°
∴十二边形的外角和是360°．
故答案为：C．
【分析】利用多边形的外角和公式可得答案。
7．（2023·北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∴共有4种等可能的结果，满足要求的结果有1种，
∴第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，
故答案为：A
【分析】先画出树状图，进而得到共有4种等可能的结果，满足要求的结果有1种，再根据等可能事件的概率即可求解。
8．（2023·北京）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；不等式的性质
【解析】【解答】解：过点D作FD⊥AE于点F，如图所示：
由题意得四边形FDCA为矩形，
∴CA=FD=a+b，
∴，①正确；
∵，
∴DB=EB，CB=EA=b，DC=BA=a，∠BDC=∠EBA，
∵∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠EBA=90°，∠DBE=90°，
∴△EDB为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得，
∴，②正确；
在△BDE中，由勾股定理得，
∴，③正确；
故答案为：D
【分析】过点D作FD⊥AE于点F，进而根据矩形的性质即可得到CA=FD=a+b，从而结合题意即可判断①；先根据三角形全等的性质即可得到DB=EB，CB=EA=b，DC=BA=a，∠BDC=∠EBA，进而结合题意证明△EDB为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得到EB，进而结合题意即可判断②；根据勾股定理结合题意即可判断③。
二、填空题
9．（2023·北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
10．（2023·北京）分解因式：= .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，进而即可求解。
11．（2023·北京）方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
故答案为：x=1
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
12．（2023·北京）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ．
【答案】3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点和，
∴-3×2=m×（-2），
∴m=3，
故答案为：3
【分析】根据反比例函数的性质结合题意即可求解。
13．（2023·北京）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
【答案】460
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：460
【分析】根据题意运用样本估计总体的知识即可求解。
14．（2023·北京）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
15．（2023·北京）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的半径，，
∴CD=DB=1，
∵，
∴CD=OD=1，
由勾股定理得，
∵是的切线，
∴OA为圆的半径，∠OAE=90°，
∴，
故答案为：
【分析】先根据垂径定理即可得到CD=DB=1，进而根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得到，再根据切线的性质结合题意运用等腰直角三角形的性质即可求解。
16．（2023·北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
【答案】53；28
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由题意得，
∴由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟；接着甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴至少需要9+9+10=28分钟，
故答案为：53，28
【分析】根据题意将所有数相加即可得到第一个空的答案；进而根据题意结合表格信息进行分类讨论即可得到第二个空的答案。
三、解答题
17．（2023·北京）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简进行运算，进而即可求解。
18．（2023·北京）解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
19．（2023·北京）已知，求代数式的值．
【答案】解：原式，
由可得，
将代入原式可得，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式化为，进而代入即可求解。
20．（2023·北京）如图，在中，点E，F分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2），，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质即可得到，，进而结合题意得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质即可得到，进而根据等腰直角三角形的性质即可得到，进而根据锐角三角函数的定义即可得到EC，进而即可求解。
21．（2023·北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
【答案】解：设天头长为，
由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，
边的宽为，
装裱后的长为，
装裱后的宽为，
由题意可得：
解得，
∴，
答：边的宽为，天头长为．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】设天头长为，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，边的宽为，装裱后的长为，装裱后的宽为，进而根据题意列出一元一次方程即可求解。
22．（2023·北京）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．
【答案】（1）解：把点，代入得：，
解得：，
∴该函数的解析式为，
由题意知点C的纵坐标为4，
当时，
解得：，
∴；
（2）
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】（2） 解：由（1）知：当 时， ，
因为当 时，函数 的值大于函数 的值且小于4，
所以如图所示，当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．
【分析】（1）先运用待定系数法求出一次函数的解析式，进而根据一次函数的性质即可求解；
（2）根据题意运用两个一次函数的交点问题即可求解。
23．（2023·北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，
∴，；
（2）甲组
（3）170；172
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】 （2）解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为 ，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义结合题意即可求解；
（2）先分别计算出甲组和乙组的平均数，进而即可计算方差，再比较大小即可求解；
（3）先根据题意求出168，168，172的平均数，进而结合题意即可求解。
24．（2023·北京）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【答案】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合题意即可得到，即平分，进而得到，从而得到，，然后得到是直径，再根据圆周角定理即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，进而即可得到，再根据角平分线的性质得到，运用圆周角定理结合含30°角的直角三角形的性质即可得到，然后根据圆内接四边形的性质即可得到，则，进而结合题意即可得到直径BD的长，从而即可求解。
25．（2023·北京）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（2）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为 个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
（3）根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约 个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（4）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C 0.990（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1）解：表格如下：
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √
（2）函数图象如下： ；4
（3）11.3
（4）<
【知识点】函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（3）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（4）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C<0.990，
故答案为：<．
【分析】（1）根据题意直接从表格中选出；
（2）根据表格中数据在直角坐标系中描点，并绘画图象即可，图象中最低点横坐标约为4，回答即可；
（3）在表格中找到数据当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，采用一次清洗的方式用水量为19个单位质量，相减即可；
（4）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，从图中数据分析回答即可。
26．（2023·北京）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出抛物线的对称轴；
（2）先根据题意即可得到，，进而得到离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，从而结合题意得到，然后即可求解。
27．（2023·北京）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】（1）解：证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
（2）；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，，进而结合题意即可得到，再结合等腰三角形的性质结合题意进行转化即可求解；
（2）；证明：延长到H使，连接，，先根据三角形中位线的性质即可得到，，进而根据旋转的性质得到，，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可得到，，设，，则，，根据题意证明，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可求解。
28．（2023·北京）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：
若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．
（1）如图，点，，
①在点，，中，弦的“关联点”是 ．
②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；
（2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）①，；②
（2）解：或
∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，
又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，，
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，如图所示，
①当S位于点时，为的切线，作，
∵，的半径为1，且为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴根据勾股定理得，，
根据勾股定理，，同理，，
∴当S位于点时，的临界值为和．
②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，
∵点，，
∴，
∴，
又∵的半径为1，∴，
∴三角形为等边三角形，
∴在此情况下，，，
∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和，
∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在，
综上所述，t的取值范围为或，
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线 中一经过点O，另一条是 的切线，则称点C是弦 的“关联点”，
∵点 ， ， ， ， ，
∴直线 经过点O，且 与 相切，
∴ 是弦 的“关联点”，
又∵ 和 横坐标相等，与 都位于直线 上，
∴ 与 相切， 经过点O，
∴ 是弦 的“关联点”．
②∵ ， ，
设 ，如下图所示，共有两种情况，
a、若 与 相切， 经过点O，
则 、 所在直线为： ，
解得： ，
∴ ，
b、若 与 相切， 经过点O，
则 、 所在直线为： ，
解得： ，
∴ ，
综上， ．
【分析】（1）根据关联点的定义结合题意进行分类讨论即可求解；
（2）先根据点M和点N的坐标即可得到S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，进而分类讨论，再运用相似三角形的判定与性质、勾股定理结合等边三角形的判定与性质即可求解。
1 / 1北京市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·北京）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·北京）如图，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
6．（2021八上·江城期中）十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·北京）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．（2023·北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2023·北京）分解因式：= .
11．（2023·北京）方程的解为 ．
12．（2023·北京）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ．
13．（2023·北京）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
14．（2023·北京）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
15．（2023·北京）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．
16．（2023·北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
三、解答题
17．（2023·北京）计算：．
18．（2023·北京）解不等式组：．
19．（2023·北京）已知，求代数式的值．
20．（2023·北京）如图，在中，点E，F分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2），，，求的长．
21．（2023·北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
22．（2023·北京）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．
23．（2023·北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
24．（2023·北京）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
25．（2023·北京）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（2）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为 个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
（3）根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约 个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（4）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C 0.990（填“>”“=”或“<”）．
26．（2023·北京）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
27．（2023·北京）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
28．（2023·北京）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：
若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．
（1）如图，点，，
①在点，，中，弦的“关联点”是 ．
②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；
（2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将239000000用科学记数法表示应为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴2∠BOC+∠AOB+∠COD=180°，
∵，
∴∠BOC+∠AOB+∠COD=126°，
∴=54°，
故答案为：C
【分析】根据直角即可结合题意即可得到2∠BOC+∠AOB+∠COD=180°，进而根据题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360°
∴十二边形的外角和是360°．
故答案为：C．
【分析】利用多边形的外角和公式可得答案。
7．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∴共有4种等可能的结果，满足要求的结果有1种，
∴第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，
故答案为：A
【分析】先画出树状图，进而得到共有4种等可能的结果，满足要求的结果有1种，再根据等可能事件的概率即可求解。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；不等式的性质
【解析】【解答】解：过点D作FD⊥AE于点F，如图所示：
由题意得四边形FDCA为矩形，
∴CA=FD=a+b，
∴，①正确；
∵，
∴DB=EB，CB=EA=b，DC=BA=a，∠BDC=∠EBA，
∵∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠EBA=90°，∠DBE=90°，
∴△EDB为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得，
∴，②正确；
在△BDE中，由勾股定理得，
∴，③正确；
故答案为：D
【分析】过点D作FD⊥AE于点F，进而根据矩形的性质即可得到CA=FD=a+b，从而结合题意即可判断①；先根据三角形全等的性质即可得到DB=EB，CB=EA=b，DC=BA=a，∠BDC=∠EBA，进而结合题意证明△EDB为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得到EB，进而结合题意即可判断②；根据勾股定理结合题意即可判断③。
9．【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
故答案为：x=1
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
12．【答案】3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点和，
∴-3×2=m×（-2），
∴m=3，
故答案为：3
【分析】根据反比例函数的性质结合题意即可求解。
13．【答案】460
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：460
【分析】根据题意运用样本估计总体的知识即可求解。
14．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的半径，，
∴CD=DB=1，
∵，
∴CD=OD=1，
由勾股定理得，
∵是的切线，
∴OA为圆的半径，∠OAE=90°，
∴，
故答案为：
【分析】先根据垂径定理即可得到CD=DB=1，进而根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得到，再根据切线的性质结合题意运用等腰直角三角形的性质即可求解。
16．【答案】53；28
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由题意得，
∴由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟；接着甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴至少需要9+9+10=28分钟，
故答案为：53，28
【分析】根据题意将所有数相加即可得到第一个空的答案；进而根据题意结合表格信息进行分类讨论即可得到第二个空的答案。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简进行运算，进而即可求解。
18．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
19．【答案】解：原式，
由可得，
将代入原式可得，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式化为，进而代入即可求解。
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质即可得到，，进而结合题意得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质即可得到，进而根据等腰直角三角形的性质即可得到，进而根据锐角三角函数的定义即可得到EC，进而即可求解。
21．【答案】解：设天头长为，
由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，
边的宽为，
装裱后的长为，
装裱后的宽为，
由题意可得：
解得，
∴，
答：边的宽为，天头长为．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】设天头长为，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，边的宽为，装裱后的长为，装裱后的宽为，进而根据题意列出一元一次方程即可求解。
22．【答案】（1）解：把点，代入得：，
解得：，
∴该函数的解析式为，
由题意知点C的纵坐标为4，
当时，
解得：，
∴；
（2）
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】（2） 解：由（1）知：当 时， ，
因为当 时，函数 的值大于函数 的值且小于4，
所以如图所示，当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．
【分析】（1）先运用待定系数法求出一次函数的解析式，进而根据一次函数的性质即可求解；
（2）根据题意运用两个一次函数的交点问题即可求解。
23．【答案】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，
∴，；
（2）甲组
（3）170；172
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】 （2）解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为 ，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义结合题意即可求解；
（2）先分别计算出甲组和乙组的平均数，进而即可计算方差，再比较大小即可求解；
（3）先根据题意求出168，168，172的平均数，进而结合题意即可求解。
24．【答案】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合题意即可得到，即平分，进而得到，从而得到，，然后得到是直径，再根据圆周角定理即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，进而即可得到，再根据角平分线的性质得到，运用圆周角定理结合含30°角的直角三角形的性质即可得到，然后根据圆内接四边形的性质即可得到，则，进而结合题意即可得到直径BD的长，从而即可求解。
25．【答案】（1）解：表格如下：
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √
（2）函数图象如下： ；4
（3）11.3
（4）<
【知识点】函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（3）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（4）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C<0.990，
故答案为：<．
【分析】（1）根据题意直接从表格中选出；
（2）根据表格中数据在直角坐标系中描点，并绘画图象即可，图象中最低点横坐标约为4，回答即可；
（3）在表格中找到数据当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，采用一次清洗的方式用水量为19个单位质量，相减即可；
（4）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，从图中数据分析回答即可。
26．【答案】（1）解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出抛物线的对称轴；
（2）先根据题意即可得到，，进而得到离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，从而结合题意得到，然后即可求解。
27．【答案】（1）解：证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
（2）；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，，进而结合题意即可得到，再结合等腰三角形的性质结合题意进行转化即可求解；
（2）；证明：延长到H使，连接，，先根据三角形中位线的性质即可得到，，进而根据旋转的性质得到，，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可得到，，设，，则，，根据题意证明，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可求解。
28．【答案】（1）①，；②
（2）解：或
∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，
又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，，
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，如图所示，
①当S位于点时，为的切线，作，
∵，的半径为1，且为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴根据勾股定理得，，
根据勾股定理，，同理，，
∴当S位于点时，的临界值为和．
②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，
∵点，，
∴，
∴，
又∵的半径为1，∴，
∴三角形为等边三角形，
∴在此情况下，，，
∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和，
∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在，
综上所述，t的取值范围为或，
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线 中一经过点O，另一条是 的切线，则称点C是弦 的“关联点”，
∵点 ， ， ， ， ，
∴直线 经过点O，且 与 相切，
∴ 是弦 的“关联点”，
又∵ 和 横坐标相等，与 都位于直线 上，
∴ 与 相切， 经过点O，
∴ 是弦 的“关联点”．
②∵ ， ，
设 ，如下图所示，共有两种情况，
a、若 与 相切， 经过点O，
则 、 所在直线为： ，
解得： ，
∴ ，
b、若 与 相切， 经过点O，
则 、 所在直线为： ，
解得： ，
∴ ，
综上， ．
【分析】（1）根据关联点的定义结合题意进行分类讨论即可求解；
（2）先根据点M和点N的坐标即可得到S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，进而分类讨论，再运用相似三角形的判定与性质、勾股定理结合等边三角形的判定与性质即可求解。
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