3.3.1 勾股定理的实际应用同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.1 勾股定理的实际应用同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 8.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-30 22:44:29 | ||
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文档简介
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第三章 勾股定理
3 勾股定理的应用举例
第1课时 勾股定理的实际应用（一）
基础夯实
知识点一 勾股定理的应用(一)
1.如图是一个边长为6 的正方体木箱，点 Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从点 P出发沿木箱表面爬行到点 Q，则蚂蚁爬行的最短路程是_____________.
第1题图 第2题图
2.如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为 9 cm,点M离盒底的距离为 3 cm,
底面半径为 一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点 M 爬行到点 N，则该蚂蚁爬行
的最短路程为_______________cm.
3.有一圆柱形油罐，底面圆的周长为 24 m，高为5m ，一只老鼠从圆柱形油罐的底端A 处
爬行到对角B处吃食物.求它爬行的最短路线长.
知识点二 勾股定理逆定理的应用
4.一木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面的长为 60 cm,宽为 32 cm,对角线长为
68 cm，则这个长方形的桌面合格吗 为什么
5.如图，有一段斜坡 BC 长为10米，坡角∠CBD＞45°,较为陡峭,为方便行人通行,现准备把坡角降低.已知 CD=8米，BD=6米,AB=9米.求斜坡新起点 A 与点C的距离.
易错点 将长方体展开时，忽视其展开方式不唯一
6.如图，有一个长方体纸盒，若长方体纸盒的长为12 cm,宽为9 cm,高为5cm ,求点A 到点 B的表面最短距离(结果精确到 1 cm.参考数据:21.59 ≈466,18.44 ≈340,19.24 ≈370).
能力提升
7.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5 cm ,3 cm 和 1 cm,A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，点 A处有一只蚂蚁，想到点 B去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点 B，最短路线长为( )
A.13 cm B.12. cm C.10 cm D.9 cm
8.将一根 24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯
中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 h cm，则 h的取值范围是( )
A. h≤15 cm B. h≥8 cm C.8cm≤h≤17 cm D.7 cm≤h≤16 cm
9.如图，圆柱的底面周长为 6 cm，AC为底面圆的直径,高BC=6 cm,点 P是 BC上一点,且 PC 一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P，其最短距离为____________.
第9题图 第10题图
10.在底面周长为 8cm，高为5cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为____________cm.
11.为庆祝党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动.小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形.小彬测量发现AB=25cm,BC= 18 cm,AD=7 cm,CD=30cm.根据设计要求,还需保证 AD∥BC.由于手头工具有限，小彬只能测得 BD=24 cm.根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由.
12.如图，某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走 4k m,又往北走 3. 5k m,遇到障碍后又往西走 1 km,再转向北走到4.5k m处往东一拐，仅走 3 km 就找到了宝藏.问登
陆点 A 与宝藏埋藏点 B之间的距离是多少
核心拓展
13.如图，我国海监船在钓鱼岛海域巡航，OA⊥OB,OA=36 海里,OB=12 海里,我国海监船在点 B处发现，有一不明国籍的渔船自A点出发沿着 AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O处，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点 C处截住了渔船.
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.
参考答案
1.10 【解析】画出正方体的侧面展开图的一部分，如图所示.因为PB=AB=6,AQ=2,所以BQ=6+2=8.在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PB +BQ =PQ ,即6 +8 =PQ .所以PQ=10.所以蚂蚁爬行的最短路程是 10.
2.10 【解析】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点 M，N的最短距离为线段MN的长.
因为AM=9-3=6(cm),AN为底面半圆弧长, ·π=8(cm),
所以MN =6 +8 =100,所以MN=10 cm.
3.解：根据题意，得
在 Rt△ABC中,AB =AC +BC =5 +12 =169.所以AB=13 m.
所以它爬行的最短路线长为13 m.
4.解：这个长方形桌面合格.
理由：因为60 +32 =4 624,68 =4 624,所以60 +32 =68 .
所以这三条边构成的三角形是直角三角形，所以此长方形桌面合格.
5.解:因为CD +BD =8 +6 =100=10 =BC ,所以△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°.
在 Rt△ACD中,AC =CD +AD =8 +(9+6) =289=17 ,所以AC=17米.
所以斜坡新起点A 与点C的距离是 17米.
6.解：因为 12 是最长边，所以将长方形ACDF与长方形FDBG展开在同一平面上时，点A到点B的表面距离最短.如图，连接AB，则AB =AC +BC =12 +(5+9) =340.所以AB≈18 cm.即点 A 到点 B的表面的最短距离约是18 cm.
说明：将立体图形在同一平面上展开时，需分情况讨论，一般确定最长边为一直角边，余下两边的和作为另一条直角边，求出的斜边才是最短距离.
7. A 【解析】由于蚂蚁是沿台阶的表面由A 爬行到台阶的右下角B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图).
把三个台阶展开成平面图形后，可知AC=5cm ，BC=12 cm.
在 Rt△ABC中,因为AB =AC +BC ,即AB =5 +12 =169,
所以AB=13 cm.故蚂蚁爬到B点的最短路线是 13 cm.
8. C【解析】如图，当筷子的底端在点D时，浸没在杯子里面的长度最短,此时h=8cm.
当筷子的底端在点A 时，浸没在杯子里面的长度最长.
在Rt△ABD中,AD=15 cm,BD=8cm,所以AB =AD +BD =17 .所以h=AB=17cm.
所以h的取值范围是8cm≤h≤17 cm.
故选C.
9.5cm 【解析】圆柱的侧面展开图如图所示.因为圆柱的底面周长为6cm,BC=6cm, 所以AC=3cm,PC=4 cm.由勾股定理,得AP =AC +PC =3 +4 =5 ,所以AP=5cm .
10.13 【解析】由图知，丝带从点A开始缠了 1.5 圈到达点C，将丝带经过的侧面逐步展开，得到如图所示的图形，则由“两点之间，线段最短”知，丝带的最短长度为线段 AC的长.
在Rt△ACE中,∠E=90°,AE=1.5×8=12(cm),CE=5cm .
由勾股定理，得AC =AE +EC =12 +5 =169=13 .所以AC=13 cm.
11.解：该材料符合设计要求，理由如下：
在△ABD中,AD +BD =7 +24 =625,AB =25 =625,所以AD +BD =AB .所以∠ADB=90°.
在△BCD 中,BC +BD = 18 +24 =900,CD =30 =900,所以BC +BD =CD .所以∠CBD=90°.
所以∠ADB=∠CBD.所以AD∥BC.所以该材料符合设计要求.
12.解:如图,过点 B 作 BC⊥AC于点C,
则AC=4-1+3=6(km),BC=4.5+3.5=8(km).
在 Rt△ABC中,由勾股定理,得AB =AC +BC =6 +8 =10 .所以AB=10 km.
所以登陆点A 与宝藏埋藏点B之间的距离是 10 km.
13.解:(1)如图,作AB的垂直平分线与OA 交于点C,点C即为所求.
(2)连接BC,由作图可得 CD为AB 的垂直平分线,则CB=CA.
由题意可得OC=36-CA=36-CB.
因为OA⊥OB,所以在 Rt△BOC中,BO +OC =BC ,即12 +(36-BC) =BC ,解得 BC=20 海里.
所以我国海监船行驶的航程BC的长为20海里.
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第三章 勾股定理
3 勾股定理的应用举例
第1课时 勾股定理的实际应用（一）
基础夯实
知识点一 勾股定理的应用(一)
1.如图是一个边长为6 的正方体木箱，点 Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从点 P出发沿木箱表面爬行到点 Q，则蚂蚁爬行的最短路程是_____________.
第1题图 第2题图
2.如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为 9 cm,点M离盒底的距离为 3 cm,
底面半径为 一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点 M 爬行到点 N，则该蚂蚁爬行
的最短路程为_______________cm.
3.有一圆柱形油罐，底面圆的周长为 24 m，高为5m ，一只老鼠从圆柱形油罐的底端A 处
爬行到对角B处吃食物.求它爬行的最短路线长.
知识点二 勾股定理逆定理的应用
4.一木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面的长为 60 cm,宽为 32 cm,对角线长为
68 cm，则这个长方形的桌面合格吗 为什么
5.如图，有一段斜坡 BC 长为10米，坡角∠CBD＞45°,较为陡峭,为方便行人通行,现准备把坡角降低.已知 CD=8米，BD=6米,AB=9米.求斜坡新起点 A 与点C的距离.
易错点 将长方体展开时，忽视其展开方式不唯一
6.如图，有一个长方体纸盒，若长方体纸盒的长为12 cm,宽为9 cm,高为5cm ,求点A 到点 B的表面最短距离(结果精确到 1 cm.参考数据:21.59 ≈466,18.44 ≈340,19.24 ≈370).
能力提升
7.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5 cm ,3 cm 和 1 cm,A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，点 A处有一只蚂蚁，想到点 B去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点 B，最短路线长为( )
A.13 cm B.12. cm C.10 cm D.9 cm
8.将一根 24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯
中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 h cm，则 h的取值范围是( )
A. h≤15 cm B. h≥8 cm C.8cm≤h≤17 cm D.7 cm≤h≤16 cm
9.如图，圆柱的底面周长为 6 cm，AC为底面圆的直径,高BC=6 cm,点 P是 BC上一点,且 PC 一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P，其最短距离为____________.
第9题图 第10题图
10.在底面周长为 8cm，高为5cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为____________cm.
11.为庆祝党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动.小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形.小彬测量发现AB=25cm,BC= 18 cm,AD=7 cm,CD=30cm.根据设计要求,还需保证 AD∥BC.由于手头工具有限，小彬只能测得 BD=24 cm.根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由.
12.如图，某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走 4k m,又往北走 3. 5k m,遇到障碍后又往西走 1 km,再转向北走到4.5k m处往东一拐，仅走 3 km 就找到了宝藏.问登
陆点 A 与宝藏埋藏点 B之间的距离是多少
核心拓展
13.如图，我国海监船在钓鱼岛海域巡航，OA⊥OB,OA=36 海里,OB=12 海里,我国海监船在点 B处发现，有一不明国籍的渔船自A点出发沿着 AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O处，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点 C处截住了渔船.
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.
参考答案
1.10 【解析】画出正方体的侧面展开图的一部分，如图所示.因为PB=AB=6,AQ=2,所以BQ=6+2=8.在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PB +BQ =PQ ,即6 +8 =PQ .所以PQ=10.所以蚂蚁爬行的最短路程是 10.
2.10 【解析】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点 M，N的最短距离为线段MN的长.
因为AM=9-3=6(cm),AN为底面半圆弧长, ·π=8(cm),
所以MN =6 +8 =100,所以MN=10 cm.
3.解：根据题意，得
在 Rt△ABC中,AB =AC +BC =5 +12 =169.所以AB=13 m.
所以它爬行的最短路线长为13 m.
4.解：这个长方形桌面合格.
理由：因为60 +32 =4 624,68 =4 624,所以60 +32 =68 .
所以这三条边构成的三角形是直角三角形，所以此长方形桌面合格.
5.解:因为CD +BD =8 +6 =100=10 =BC ,所以△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°.
在 Rt△ACD中,AC =CD +AD =8 +(9+6) =289=17 ,所以AC=17米.
所以斜坡新起点A 与点C的距离是 17米.
6.解：因为 12 是最长边，所以将长方形ACDF与长方形FDBG展开在同一平面上时，点A到点B的表面距离最短.如图，连接AB，则AB =AC +BC =12 +(5+9) =340.所以AB≈18 cm.即点 A 到点 B的表面的最短距离约是18 cm.
说明：将立体图形在同一平面上展开时，需分情况讨论，一般确定最长边为一直角边，余下两边的和作为另一条直角边，求出的斜边才是最短距离.
7. A 【解析】由于蚂蚁是沿台阶的表面由A 爬行到台阶的右下角B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图).
把三个台阶展开成平面图形后，可知AC=5cm ，BC=12 cm.
在 Rt△ABC中,因为AB =AC +BC ,即AB =5 +12 =169,
所以AB=13 cm.故蚂蚁爬到B点的最短路线是 13 cm.
8. C【解析】如图，当筷子的底端在点D时，浸没在杯子里面的长度最短,此时h=8cm.
当筷子的底端在点A 时，浸没在杯子里面的长度最长.
在Rt△ABD中,AD=15 cm,BD=8cm,所以AB =AD +BD =17 .所以h=AB=17cm.
所以h的取值范围是8cm≤h≤17 cm.
故选C.
9.5cm 【解析】圆柱的侧面展开图如图所示.因为圆柱的底面周长为6cm,BC=6cm, 所以AC=3cm,PC=4 cm.由勾股定理,得AP =AC +PC =3 +4 =5 ,所以AP=5cm .
10.13 【解析】由图知，丝带从点A开始缠了 1.5 圈到达点C，将丝带经过的侧面逐步展开，得到如图所示的图形，则由“两点之间，线段最短”知，丝带的最短长度为线段 AC的长.
在Rt△ACE中,∠E=90°,AE=1.5×8=12(cm),CE=5cm .
由勾股定理，得AC =AE +EC =12 +5 =169=13 .所以AC=13 cm.
11.解：该材料符合设计要求，理由如下：
在△ABD中,AD +BD =7 +24 =625,AB =25 =625,所以AD +BD =AB .所以∠ADB=90°.
在△BCD 中,BC +BD = 18 +24 =900,CD =30 =900,所以BC +BD =CD .所以∠CBD=90°.
所以∠ADB=∠CBD.所以AD∥BC.所以该材料符合设计要求.
12.解:如图,过点 B 作 BC⊥AC于点C,
则AC=4-1+3=6(km),BC=4.5+3.5=8(km).
在 Rt△ABC中,由勾股定理,得AB =AC +BC =6 +8 =10 .所以AB=10 km.
所以登陆点A 与宝藏埋藏点B之间的距离是 10 km.
13.解:(1)如图,作AB的垂直平分线与OA 交于点C,点C即为所求.
(2)连接BC,由作图可得 CD为AB 的垂直平分线,则CB=CA.
由题意可得OC=36-CA=36-CB.
因为OA⊥OB,所以在 Rt△BOC中,BO +OC =BC ,即12 +(36-BC) =BC ,解得 BC=20 海里.
所以我国海监船行驶的航程BC的长为20海里.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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