人教版2023年九年级上册第21章《一元二次方程》达标检测卷（含解析）

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人教版2023年九年级上册第21章《一元二次方程》达标检测卷
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数是（ ）
A． B．8 C． D．10
3．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．
4．用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程有两个实数根，，则的值为（ ）
A． B． C．－4 D．4
7．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，设该公司这两年缴税的年均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若菱形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．20或24 D．48
9．某中学组织九年级学生篮球赛，以班为单位，每两个班之间都比赛一场，总共安排28场比赛，则该校九年级参加篮球比赛的班级个数为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
10．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．无数对
二、填空题（共32分）
11．（若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
12．（一元二次方程的一般形式是 ．
13．（一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为 ．
14．（对于任意的实数a，b，定义一种新运算：，若，则的值为 ．
15．（一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人．
16．（一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ．
17．（已知方程的两根分别为，，则的值等于 ．
18．（如图，是等边三角形，点A、B在第一象限，已知，则点B的横坐标为 ．

三、解答题（共58分）
19．（6分）用配方法解方程：．
20．（8分）解方程：(1)； (2)．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
22．（8分）某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长米）的空旷场地利用栅栏围城一个面积为平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在两边空出两个宽各为米的出入口，一共用去栅栏米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？
解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边是米，平行于墙的一边为　米．
根据题意得：（完成填空后继续解题）
23．（8分）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
(1)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求k的值：
(2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求该方程的根．
24．（10分）第届世界杯足球赛已于年月日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在年月份售出个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到了个．
(1)求“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率；
(2)若每个“拉伊卜”的进价为元，原售价为元，该超市计划在年月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价元，销售量可在月份的基础上增加个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元？
25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
参考答案
1．A
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析每个方程即可．
【详解】解： A. 方程是一元二次方程，选项A符合题意；
B. 方程是一元一次方程，选项B不符合题意；
C. 方程是二元一次方程，选项C不符合题意；
D. 方程是二元二次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记 “只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键．
2．A
【分析】通过移项将右边常数项变号后移到左边即可．
【详解】解：方程整理得：，其中二次项系数为1，一次项系数为．
故选：A．
【点睛】本题考查了学生的一元二次方程一般形式的理解与应用，要求学生能牢记一元二次方程一般形式下的二次项、一次项、常数项的特征，每一项均包含前面的符号，其中常数项不含未知数，根据特点即可得到准确答案．
3．C
【分析】将代入方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键．
4．B
【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形即可得到结果．
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，即．
故选：B．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，配方时方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，再根据平方根的定义求解．
5．B
【分析】根据题意得根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
6．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．C
【分析】设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据两次增长，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据题意得：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．B
【分析】解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
①当时，，不能构成三角形；
②当时，，能构成三角形，
∴菱形的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
9．D
【分析】设该校九年级参加篮球比赛的班级个数为x，根据“每两个班之间都比赛一场，总共安排28场比赛”列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该校九年级参加篮球比赛的班级个数为x，
则，
解得：，（不合题意，舍去），
∴该校九年级参加篮球比赛的班级个数为8，
故选：D
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
10．C
【分析】先化简可得，设，则；然后求得a的值，最后列举出符合题意的，的整数值即可解答．
【详解】解：由，设，则，
∴，即，解得：或（舍弃），
∴．
∴满足条件的，的整数值有：
，，，，，，，，共8对．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．
11．4
【分析】根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，且，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零．
12．
【分析】利用整式的乘法运算展开，然后整理即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
所以，一般形式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13．15
【分析】先利用解一元二次方程﹣因式分解法求出方程的根，然后再分两种情况，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，
分两种情况：
当第三边为2时，
∵，
∴不能组成三角形，
当第三边为5时，这个三角形的周长，
综上所述：这个三角形的周长为15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．或/或
【分析】根据，由，可得：，据此求出的值为多少即可．
【详解】解：，
，即：，
，
解得：，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了实数的新定义运算，解一元二次方程，解题的关键是要熟练掌握利用因式分解法求解一元二次方程．
15．11
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，根据题意可得第一轮被传染了之后有x人，即有患了流感，则第二轮能传染人，故可列方程，解方程即可解答．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，
根据题意可得方程，
解得，（舍去），
故每轮传染中平均一个人传染11人，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，注意第一轮患者人数是被传染的人加上原有患者是解题的关键．
16．
【分析】设个位数字为x，则十位数字为，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可．
【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为，
由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．
17．8
【分析】由题意可得，由根与系数的关系可得：，，把所求式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为，，
∴， ，，
∴
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．
18．
【分析】过A作轴于C，过B作轴于E，，交于D，得到四边形是矩形，推出，，，由A的坐标，得到，，由勾股定理得到，设，，由勾股定理得到，因此，又，得到，求出x，即可得到B的横坐标．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于E，，交于D，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵A的坐标是，
∴，，
∴，
设，，
∴，，
由勾股定理得：，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍），
∴B的横坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，一元二次方程，关键是由勾股定理得到关于长的方程．
19．，
【分析】先将二次系数化为“1”，然后将常数项移到等号的右边，再在等号的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可把方程左边化成含未知数的完全平方式，最后两边开平方求解．
【详解】由，得，即，
配方，得：，即，解得：，
所以原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方是解题的关键．
20．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用配方法解此一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
移项，得，
二次项系数化为1，得，
两边同时加上1，得，
配方，得，
开平方，得，
∴，；
（2）解：，
移项、变形，得，
因式分解得，
∴或，
∴，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法等方法与步骤是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可；
（2）由根与系数的关系可得；然后代入，求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，整理得，解得，
∴实数m的取值范围是．
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，即
∴，整理得：，解得：（不符合要求，舍去）或，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别和根与系数的关系是解题的关键．
22．；长方形的充电区的相邻两边长分别是米和米
【分析】令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长；设这个长方形的宽为米，则长为米，根据工作人员围成的这个长方形等候区的面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论．
【详解】解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边是米，平行于墙的一边为米，
故答案为：；
根据题意得：，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去）；
当时，．
答：长方形的充电区的相邻两边长分别是米和米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1)
(2)该方程的根为或
【分析】（1）设这个方程的两个根分别为和，根据一元二次方程的根与系数的关系可求出，再将代入方程即可得；
（2）设这个方程的两个根分别为和，根据“倍根方程”的定义可得，由此即可得．
【详解】（1）解：设这个方程的两个根分别为和，
则，
解得，
即这个方程的一个根为2，
将代入方程得：，
解得．
（2）解：设这个方程的两个根分别为和，
由题意得：，
整理得：，
，
将代入①得：，
解得，
，
所以该方程的根为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“倍根方程”的概念是解题关键．
24．(1)
(2)元
【分析】（1）设“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为，根据增长率问题列出一元二次方程，解方程即可求解．
（2）设“拉伊卜”降价元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为．
根据照意，得．
解得，（舍去）．
．
答：“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为．
（2）设“拉伊卜”降价元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元．
根据题意，得，
整理，得．
解得，（舍去）．
答：当每个“拉伊卜”降价元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
25．（1）1秒；（2）不能，理由见解析
【分析】当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm．
（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-3＜0可得出该方程没有实数根，进而可得出△PBQ的面积不能等于7cm2．
【详解】解：7÷2=（s）．
当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm．
（1）依题意得：×2t×（5-t）=4，
整理得：t2-5t+4=0，
解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5-t）=7，
整理得：t2-5t+7=0．
∵Δ=（-5）2-4×1×7=-3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．