人教版2023年九年级上册21.2 解一元二次方程 精选同步练习（含解析）

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人教版2023年九年级上册21.2 解一元二次方程 精选同步练习
一、选择题
1．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
3．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A． B．3 C．2 D．3或
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
6．利用公式法求解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求a值为何（　　）
A． B． C． D．
7．，是方程的两实数根，则代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8．若菱形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．20或24 D．48
9．一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
10．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．无数对
二、填空题
11．一元二次方程的根的情况是 ．
12．将配方成形式，则 ．
13．关于x的一元二次方程的解的解为 ．
14．方程的判别式Δ＝ ．
15．对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为 ．
16．已知关于的方程的两个根为，，则 ．
三、解答题
17．按要求解方程
(1)（直接开平方法）；
(2)（配方法）；
(3)（公式法）
(4)（因式分解法）
(5)（换元法）
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若是方程的两根，且，求的值．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)当时，求另一个根的值．
21．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．
22．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_________， _________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，求的值．
(3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的值．
参考答案
1．B
【分析】方程变形后，利用完全平方公式化简即可得到答案．
【详解】解：，
,
,
,
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．C
【分析】移项后利用因式分解法求解即可．
【详解】解：移项得：，
因式分解得：，
所以或，
∴，
∴，，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．
3．B
【分析】根据分式值为0的条件得出，分别求解即可得出结论．
【详解】解：分式的值为零，
，
由①得或，
由②得且，
综上所述，x的值是
故选：B．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，解出相关方程与不等式准确得出结论是解决问题的关键．
4．C
【分析】由关于的一元二次方程有实数根，知且，解之即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：C．
【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
5．C
【分析】逐项分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【详解】解：A.在中，，所以该方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B.在中，，所以该方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C.在中，，所以该方程有两个相等的实数根，故C符合题意；
D.将整理得：，，所以该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
6．D
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：，
这里，，，
△，
，
一元二次方程式 的两解为、，且，
的值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
7．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，将代数式化简，然后代入即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两实数根，
∴，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8．B
【分析】解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
①当时，，不能构成三角形；
②当时，，能构成三角形，
∴菱形的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
9．C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
10．C
【分析】先化简可得，设，则；然后求得a的值，最后列举出符合题意的，的整数值即可解答．
【详解】解：由，设，则，
∴，即，解得：或（舍弃），
∴．
∴满足条件的，的整数值有：
，，，，，，，，共8对．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．
11．无实数根
【分析】根据根的判别式，可知一元二次方程无实数根．
【详解】∵一元二次方程
∴
∴方程无实数根．
故答案为：无实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
12．
【分析】先将常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用配方法解方程，掌握配方法是解题的关键．
13．，
【分析】利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
14．4
【分析】根据根的判别式△计算即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．注意判别式△中的字母所表示的意义．
15．0
【分析】由于定义一种运算定“*”为：，所以关于x的方程变为，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题．
【详解】解：由，得，
即，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题．
16．3
【分析】根据根与系数的关系得到，，代入计算即可得出结论．
【详解】解：∵方程的两个根为，，
∴，，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出，．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，只需能熟练的运用根与系数的关系即可．
17．(1)，
(2)，
(3)，
(4)或
(5)，
【分析】（1）先移项，变成，然后直接开平方；
（2）把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（3）找出方程中二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将，及的值代入求根公式即可求出原方程的解；
（4）将方程整理为，然后通过提取公因式进行因式分解，再求解即可；
（5）先令，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，再把和3分别代入得到关于的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，；
（2），
，
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
∴，；
（4），
，
，
，
，
∴或，
∴或；
（5），
令，则原方程变形为，
即：，
解得：，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法、换元法是解题的关键．
18．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解： ．
．
或．
，．
（2），
，，．
．
．
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)的值为或
【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系得到，由得到，从而得到或，分情况进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：是方程的两根，
，
，
，
或，
当时，，
解得：，
当时，即，
，
解得：，
综上所述：的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；一元二次方程的根与系数的关系为：，．
20．(1)的取值范围是；
(2)另一个根的值是．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
∴另一个根的值是．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论取何值，这个方程总有实数根；
（2）根据等腰三角形的性质可得，则该方程有两个相等实数根，求出m的值，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出的周长．
【详解】（1）证明：，
无论取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵等腰的底边长，
∴，
∵、恰好是这个方程的两个根，
∴该方程的根有两个相等实数根，
∴
解得：，
原方程为，
解得：．
、2、1能组成三角形，
该三角形的周长为．
【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
22．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料提示的方法即可求解；
（2）根据材料提示先求出，的值，再根据分式运算，乘法公式的运算将变形，即可求解；
（3）将实数看作是关系的方程满足的两个根，再根据材料分别求出，的值，再根据分式运算将变形，即可求解．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，
，，
故答案为：，．
（2）解：一元二次方程的两根分别为、，
，，
．
（3）解：实数、满足，，
∴，看作是方程的两个实数根，
，，
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，即韦达定理的运用是解题的关键．