11.1 平方根与立方根 华师大版数学八年级上册课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
11.1 平方根与立方根
一.平方根
1.理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根.
2. 会求某些数的平方根、算术平方根.
3.会用计算器求一个非负数的算术平方根.
学习目标
问题1：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？为什么？
应取 5 dm，因为 52 = 25.
情境引入
问题2：若正方形的面积如下，请填表：
你能指出“面积→边长”这些数据变化的共同点吗？
都是已知一个正数的平方，求这个正数.
1
3
4
5
6
概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
举例：5 的平方等于 25，所以 5 叫做 25 的一个平方根.
25 的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于 25？
知识点一 平方根
又因为 ( -5 )2 = 25，所以 -5 叫做 25 的一个平方根.
这就是说， 5 与 -5 都是 25 的平方根.
求法：根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.
1. 144 的平方根是什么？
2. 0 的平方根是什么？
3. 的平方根是什么？
4. -4 有没有平方根？为什么？
试一试
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
想一想：通过这些题目的解答，回答下列问题，看看你能发现什么
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根.
平方根的性质：
1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0 的平方根还是 0.
3. 负数没有平方根.
要点归纳
二 算术平方根
概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
算术平方根的概念
a (a≥0) 的算术平方根记为，读作“根号 a”，另一个平方根是它的相反数，即-，因此正数 a 的平方根可以记作± ，其中 a 叫做被开方数.
记法
特殊：0 的算术平方根是 0. 记作 =0.
根号
被开方数
（a 是非负数，a≥0）
平方运算
这是什么运算
？
x x2
x2 x
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
思考：平方与开平方有什么关系？
平方与开平方互为逆运算
例题1
例1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100；
（2） ；
（3）0.49 .
解:（1）由于 102 = 100，
因此 .
（2）由于 2 = ，
因此 .
（3）由于 0.72 = 0.49，
因此 .
问题2：将 2022 开平方运算的结果是多少？如何计算呢？
对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.
三、用计算器求算术平方根
计算器计算算术平方根的方法：
在计算器上依次键入： .
被开方数
=
例2 用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529 ； （2）44.81（精确到 0.01）．
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.
解：（1）在计算器上依次键入： ，
显示结果为 23，所以 529 的算术平方根为： .
（2）在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718 ，要求精确到 0.01，
可得 6.69
5
2
9
=
4
4
.
8
1
=
四 立方根
要做一个体积为 216 cm3 的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
解：设正方体的棱长为 x cm，则
这就是要求一个数，使它的立方等于216.
观察与思考
因为 63 =216
所以 x = 6，
即正方体的棱长为 6 cm.
思考：
如果问题中正方体的体积为 5 cm3，正方体的棱长又该是多少？
立方根的概念
如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根．记作 　　.
立方根的表示
一个数 a 的立方根可以表示为：
读作：三次根号 a，
其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略.
根指数
被开方数
想一想
如果正方体的体积为 5 cm3，正方体的边长又该是多少？
解：设正方体的边长为 x ，则 x3 = 5.
所以正方体的边长是 cm.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
到现在我们学了几种运算？
立方
开立方
互逆
+，-，×，÷，乘方，开方（开平方，开立方）
五 立方根的性质
根据立方根的意义填空：
因为23 = 8，所以 8 的立方根是（　）；
因为 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）；
因为 ( ) 3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；
因为( ) 3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因为 ＝ ，所以 的立方根是（ ）.
2
0
0
-2
-2
想一想：通过这些题目的解答，你能看出正数、0、负数的立方根各有什么特点？
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有 1，-1，0；平方根是它本身的数只有 0.
立方根的性质
有两个，互为相反数
有一个，是正数
无平方根
零
有一个，是负数
零
平方根与立方根的异同
因为 =_______， =_____；
所以 .
因为 =_______ ， = ____
所以 ________
=
-2
-2
=
-3
-3
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
猜一猜:
你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数 a 与 -a 的立方根的关系吗？
例1 计算：
规律：对于任何数 a 都有：
2
-2
-3
4
0
例题1
规律：对于任何数 a 都有
8
-8
27
-27
0
六 用计算器求立方根
例题3
例3 用计算器求下列各数的立方根：343， -1.331.
解：依次按键：
显示：7
所以，
SHIFT
4
3
3
=
依次按键：
显示：-1.1
所以，
说明：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.
SHIFT
1
(-)
.
3
1
3
=
例4 用计算器求 的近似值（精确到 0.001）.
解 ： 依次按键：
显示：1.259 921 05
所以，
SHIFT
=
2
1.填一填
（1）9 的算术平方根是_________；
（2） 的算术平方根是______；
（3）0.01 的算术平方根是______；
（4）10-6 的算术平方根是______；
（5）(-4)2 的算术平方根是______；
（6）10 的算术平方根是______；
当堂练习
3
0.1
10-3
4
2.判断
（1）5 是 25 的算术平方根；
（2）-6 是 36 的算术平方根；
（3）0 的算术平方根是 0；
（4）0.01 是 0.1 的算术平方根；
（5）-5 是 -25 的算术平方根.
3.你知道下列各式中字母 x 的取值范围吗？
4.填空
（1）正数的算术平方根是____数，0 的算术平方根
是____，算术平方根等于它本身的数是______；
（2） 的算术平方根是_____.
0，1
0
正
4
5. 判断下列说法是否正确.
(1) 25 的立方根是 5 ( )
(2) 任何数的立方根都只有一个 ( )
(3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么 这个数一定是零 ( )
(4)一个数的立方根不是正数就是负数 ( )
(5) 0 的平方根和立方根都是 0 . ( )
当堂练习
2.求下列各式的值
平方根
平方根的概念和性质
用计算器求一个数的算术平方根
算术平方根的概念和性质
课堂小结
立方根
立方根的概念、表示及性质
用计算器求一个数的立方根
课堂小结