2.5 直线与圆的位置关系(第3课时) 课件（36张PPT）

(共36张PPT)
第2章 · 对称图形——圆
2.5 直线与圆的位置关系（3）
第3课时　三角形的内切圆
学习目标
1.了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念；
2.会作已知三角形的内切圆.
3.会利用三角形的内切圆有关知识解决问题.
生活情境
小明的妈妈想给圆桌剪一块圆形的桌布，发现只剩下一块三角形的布料，怎样剪才能使剪下的圆形面积最大呢？
操作与思考
O
D
操作1 如图，在⊙O上任取一点D，过点D画⊙O的切线.
┛
操作与思考
O
D
操作2 在⊙O上另取合适的点E和点F，分别过点E、F画⊙O的切线，使得3条切线两两相交，交点分别记为A、B、C.
E
F
A
B
C
操作与思考
思考1 上面画的△ABC的各边都与⊙O_______，圆心O到各边的距离_______. 点O在_____________________的平分线上.
O
D
E
F
A
B
C
相切　
相等　
∠A、∠B、∠C
操作与思考
思考2 上面的三角形布料，怎样剪才能使剪下的圆形面积最大呢？请你用准备好的三角形纸片试一试.
当圆与三角形三边同时相切时，圆的面积最大.
操作与思考
思考3 如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切.
操作与思考
思考3 如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切.请你试一试，说出你作法的理由.小组交流.
问题1.作圆的关键是什么？
问题2.怎样确定圆心的位置？
问题3.圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？
(确定圆心和半径.)
(作两条角平分线，其交点就是圆心的位置.)
(过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径.)
操作与思考
已知：△ABC(如图).
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
C
M
O
A
N
D
B
┛
作法:
1.作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，
BM和CN交点为O.
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以点O为圆心，OD为半径作⊙O.
⊙O就是所求的圆.
有且只有一个
C
O
A
新知归纳
和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形叫圆的外切三角形．
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心．
B
注意：三角形的边与圆的位置关系称为切.
如图，⊙O叫做△ABC的内切圆，△ABC叫做⊙O的外切三角形．
新知巩固
C
O
A
B
C
A
B
O
C
A
B
O
┛
分别画出下图各个三角形的内切圆.
观察内心的位置，想一想内心有什么性质？
新知归纳
三角形内心的性质：
①三角形的内心是________________的交点．
②三角形的内心______________相等．
③三角形的内心一定在三角形的____部．
三角形角平分线
到三边的距离
内
新知归纳
图形 圆的名称 三角形的名称 圆心的名称 确定圆心
的方法 圆心的性质
C
O
B
A
D
F
E
C
O
B
A
三角形的内切圆
三角形的外接圆
圆的外切三角形
圆的内接三角形
三角形的内心
(一定在三角形内部)
三角形的外心(不一定在三角形内部)
三角形的三条
角平分线的交点
三角形的三边
垂直分线的交点
到三角形的
三边距离相等
到三角形的三个顶点距离相等
新知巩固
判断下列说法是否正确.
①圆有且只有一个外切三角形.（ ）
②三角形有且只有一个内切圆.（ ）
③三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等.（ ）
④三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.（ ）
⑤三角形的内心到三角形各边的距离相等 .（ ）
⑥三角形的内心可能在三角形的内部 .（ ）
√
√
×
√
√
×
例题讲解
例1 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠A＝50°，求∠EDF的度数.
C
O
A
B
F
E
D
有切点，
连半径，
得垂直
∠A＝n°
例题讲解
例1 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠A＝50°，求∠EDF的度数.
C
O
A
B
F
E
D
变式1 ∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数.
变式2 当☉O 上有一点P (不与点E、F 重合),求∠EPF 的度数.
P
例题讲解
例1 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠A＝50°，求∠EDF的度数.
C
O
A
B
F
E
D
变式3 当∠A＝n°，求∠ BOC的度数.
变式4 如图，在△ABC中，∠A＝50°,点O是△ABC的外心，求∠BOC的度数.
∠BOC=2∠A
新知归纳
三角形内切圆和外接中的有关角
基本图形
角之间的关系
∠BOC=2∠A
新知巩固
1.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)
A．40° B．55° C．65° D．70°
C
O
A
B
F
E
D
B
新知巩固
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠BOC=110°，则∠A=______，∠EDF=______.
40°
70°
C
A
B
O
E
F
D
●
C
A
B
例题讲解
E
F
D
●
O
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
新知归纳
C
A
B
●
O
a
b
c
新知巩固
1.已知，△ABC的周长为40，面积为60，则它的内切圆的半径为____________.
3
A. B. C. D. 2
C
课堂小结
三角形内切圆
有关概念和性质
三角形内切圆的作法
重要结论
课堂检测
1. 三角形的内心是 ( )
A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点
2.如图，在△ABC中，∠BIC=120°，点I是内心，则∠A的大小为( )
A.50° B. 60° C. 65° D. 70°
I
B
A
C
B
B
课堂检测
C
C
O
A
B
F
E
D
C
O
A
B
P
E
D
F
课堂检测
B
课堂检测
5. 三角形的内切圆能作____个, 三角形的内心在三角形的_______.
6.如图，O是△ABC的内心，则OA平分∠______，OB平分∠______，OC平分∠______.
C
O
B
A
1
内部
BAC
ABC
ACB
若∠BAC=80 ，则∠BOC=________.
130°
课堂检测
7.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=5，CA=12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是______.
O
C
A
B
D
F
E
┛
4
课堂检测
①③　
课堂检测
9.如图，点C、 D分别在∠AOB的两边上，求作⊙ P，使它与OA、OB、CD都相切(不写作法，保留作图痕迹).
O
B
A
D
C
P1
P2
课堂检测
10.如图，O是△ABC的内心，根据下列条件求∠BOC的度数．
O
B
A
C
(1) ∠ABC＝50°，∠ACB＝60°.
(2) ∠A＝50°.
1.如图 ，有三条两两相交的公路a，b，c，今要在公路旁修一加油站P，使P到三条公路的距离相等，你认为应修在何处？请确定所有符合条件的P的位置．
拓展延伸
a
b
c
2. 如图，☉O是△ABC的外接圆，BC为☉O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交☉O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF、BE.
求证：(1) DB＝DE；
C
O
F
B
A
E
D
拓展延伸
求证：(2)直线CF为☉O的切线.
C
O
F
B
A
E
D
拓展延伸