人教版八年级数学上册第十五章分式 单元复习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册第十五章分式 单元复习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 223.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-01 08:23:29 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上册第十五章分式 单元复习题
一、选择题
1．分式中的字母满足条件（ ）时，分式有意义．
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≠1 D．x≠﹣1
2．下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．约分： （ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．﹣a2b2 3ab3＝﹣3a2b5
C．＝﹣1 D．＝﹣1
5．三个数，，中，负数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算结果正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．计算时，第一步变形正确的是（ ）
A．1+x2 B．1﹣x2
C． D．
9．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．（a﹣2b2） （a2b﹣2）﹣3＝
10．若分式方程＝+2有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
二、填空题
11．若式子＋（x﹣4）0有意义，则实数x的取值范围是 .
12．约分：的结果是 （填“整式”或“分式”）
13．已知，则＝ .
14．若关于x的分式方程有增根，则 ．
三、计算题
15．计算：．
16．解方程：
四、解答题
17． 为何值时，分式 的值为正数？
18．先化简，再求值：
，其中满足，取一个整数即可.
19．某投影仪工厂现在平均每天比原计划多生产30台投影仪，现在生产650台投影仪所需时间与原计划生产500台投影仪所需时间相同，求该投影仪工厂原来平均每天生产多少台投影仪？
五、综合题
20．阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式： = +( )2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a= ，b= 时，等式 （填写“成立”或“不成立”）；
②当a= ，b= 时，等式 （填写“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明 是否成立．
21．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：；
（2）先化简，再求值：，其中.
22．今年5月以来，渭南多地松绑政策，点亮地摊经济，一夜市摊贩购买了，两种布偶玩具，在夜市贩卖，已知每件布偶比布偶便宜2元，购买一定数量的布偶所用资金为3000元，购买相同数量的布偶所用资金为3300．
（1）求，两种布偶的单价分别是多少元？
（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降促销．要使所有布偶销售完后盈利1800元，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：C．
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解： ＝ .
故答案为：C.
【分析】根据分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变；分式的分子、分母及分式本身三处的符号同时改变其中的两处，分式的值不变，据此一一判断得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：原式=
= ，
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、原式＝8a6，故此选项错误；
B、原式＝﹣3a3b5，故此选项错误；
C、原式＝，故此选项错误；
D、原式＝＝﹣1，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断A；根据单项式乘以单项式，把系数的积作为积的系数，对于相同的字母，按同底数幂的乘法法则进行计算，据此可判断B；将第一个分式的分子分解因式，然后约分化简，据此可判断C；将第二个分式的分母与分式本身同时改变符号，进而根据同分母分式的减法法则计算，从而即可判断D.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：＞0，＞0，＜0，
负数的个数是1个，
故答案为：B．
【分析】先利用0指数幂、负指数幂的性质化简，再根据负数的定义求解即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：分式与的最简公分母，
故答案为：A
【分析】根据最简公分母的定义求解即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：①，正确；
②，正确；
③，正确；
④，错误．
故答案为：C.
【分析】分式的乘法：把分子的积作为分子，分母的积作为分母，并将结果化为最简形式；分式的除法，先根据除以一个式子等于乘以这个式子的倒数将除法转变为乘法，进而根据乘法法则进行计算，据此分别计算出结果，再判断即可得出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：原式==．
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质及分式的加减法计算方法求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：A．a﹣2÷a5＝a﹣7＝，不符合题意；
B．（a﹣1b2）3＝a﹣3b6＝，不符合题意；
C．（）﹣2＝＝，符合题意；
D．（a﹣2b2） （a2b﹣2）﹣3＝（a﹣2b2） a﹣6b6＝a﹣8b8＝，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式的除法，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂的性质分别计算，再判断即可.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：＝+2，
3x＝m＋2（x＋1），
解得：x＝m＋2，
∵分式方程有增根，
∴x＋1＝0，
∴x＝ 1，
把x＝ 1代入x＝m＋2中可得： 1＝m＋2，
解得：m＝ 3，
故答案为：D.
【分析】将m作为常数解方程，用含m的式子表示出x，根据方程有增根（所谓增根，就是使最简公分母为0的根）可求出方程的增根是x=-1，从而就不难解决此题了.
11．【答案】x≠3且x≠4
【解析】【解答】解：式子有意义，
且
且 .
故答案为：x≠3且x≠4.
【分析】根据分式以及0指数幂有意义的条件可得x-3≠0且x-4≠0，求解可得x的范围.
12．【答案】整式
【解析】【解答】解：∵原式，
∴化简的结果是整式．
故答案为：整式．
【分析】利用分式约分的计算方法可得，再根据整式的定义求解即可。
13．【答案】5
【解析】【解答】解：已知等式整理得：，即，
则原式，
，
.
故答案为：5.
【分析】首先将已知等式的左边通分，进而在等式的两边同时乘以xy可得x+y=3xy，再将待求式子的分子、分母利用加法的交换律结合律及乘法分配律的逆用行进变形，最后整体代入合并后约分即可得出答案.
14．【答案】-4
【解析】【解答】解：
去分母，得：．
由分式方程有增根，得到，
解得：x=2．
把代入整式方程，得：
解得：k=-4．
故答案为：-4．
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入整式方程求出k的值即可。
15．【答案】解：原式
．
【解析】【分析】利用分式的混合运算的计算方法求解即可。
16．【答案】解：方程两边都乘以（x－1）得：
－3＝x－2（x－1），
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x－1＝4≠0，
∴ 原方程的解是x＝5.
【解析】【分析】 方程两边都乘以（x－1） 约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
17．【答案】解：分母
分母不为0，则：
要使分式的值为正数，
则
解得： 且 .
【解析】【分析】变成分母不为0，分子大于0，即可得出x的范围。
18．【答案】解：原式 .
由 ，符合条件的整数 的值只能取2或-2.
当 时，原式 .
当 时，原式
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并将除法转变为乘法，然后约分化简，进而根据同分母分式的加法法则算出结果；最后代入使原分式有意义的m的值到化简结果中即可算出答案.
19．【答案】解：设该工厂原来平均每天生产x台投影仪，则现在平均每天生产台投影仪．
根据题意得，解得．
经检验知是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产100台投影仪．
【解析】【分析】设该工厂原来平均每天生产x台投影仪，则现在平均每天生产台投影仪，根据题意列出方程，再求解即可。
20．【答案】（1）1；1；成立；1；2；成立
（2）解：∵ ，
，
∴等式 成立．
【解析】【解答】解：（1）①当a=1，b=1时，
， ，
∴ 成立，
故答案为：1，1，成立；
②当a=1，b=2时，
， ，
∴ 成立，
故答案为：1，2，成立；
【分析】（1）任取两个符合要求的数代入题目中的式子，等式两边的结果看是否一致即可解答本题；（2）分别对等式两边展开化简，看最后的结果是否相等，即可解答本题．
21．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=
.
当时，原式.
【解析】【分析】（1）原式可变形为a3-23，然后利用立方差公式进行分解；
（2）对分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入计算即可.
22．【答案】（1）解：设种布偶的单价是元，则种布偶的单价是元，
由题意得，解得，经检验，是原分式方程的解．
．
答：种布偶的单价是20元，种布偶的单价是22元．
（2）解：购买布偶的件数购买布偶的件数．
由题意得，整理得，解得故所求的值为20．
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件A布偶的单价=每件B布偶的单价-2；3000÷每件A布偶的单价=3300÷每件B布偶的单价；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
（2）先求出购买布偶A、B的件数，再根据要使所有布偶销售完后盈利1800元，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解.
一、选择题
1．分式中的字母满足条件（ ）时，分式有意义．
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≠1 D．x≠﹣1
2．下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．约分： （ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．﹣a2b2 3ab3＝﹣3a2b5
C．＝﹣1 D．＝﹣1
5．三个数，，中，负数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算结果正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．计算时，第一步变形正确的是（ ）
A．1+x2 B．1﹣x2
C． D．
9．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．（a﹣2b2） （a2b﹣2）﹣3＝
10．若分式方程＝+2有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
二、填空题
11．若式子＋（x﹣4）0有意义，则实数x的取值范围是 .
12．约分：的结果是 （填“整式”或“分式”）
13．已知，则＝ .
14．若关于x的分式方程有增根，则 ．
三、计算题
15．计算：．
16．解方程：
四、解答题
17． 为何值时，分式 的值为正数？
18．先化简，再求值：
，其中满足，取一个整数即可.
19．某投影仪工厂现在平均每天比原计划多生产30台投影仪，现在生产650台投影仪所需时间与原计划生产500台投影仪所需时间相同，求该投影仪工厂原来平均每天生产多少台投影仪？
五、综合题
20．阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式： = +( )2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a= ，b= 时，等式 （填写“成立”或“不成立”）；
②当a= ，b= 时，等式 （填写“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明 是否成立．
21．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：；
（2）先化简，再求值：，其中.
22．今年5月以来，渭南多地松绑政策，点亮地摊经济，一夜市摊贩购买了，两种布偶玩具，在夜市贩卖，已知每件布偶比布偶便宜2元，购买一定数量的布偶所用资金为3000元，购买相同数量的布偶所用资金为3300．
（1）求，两种布偶的单价分别是多少元？
（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降促销．要使所有布偶销售完后盈利1800元，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：C．
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解： ＝ .
故答案为：C.
【分析】根据分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变；分式的分子、分母及分式本身三处的符号同时改变其中的两处，分式的值不变，据此一一判断得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：原式=
= ，
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、原式＝8a6，故此选项错误；
B、原式＝﹣3a3b5，故此选项错误；
C、原式＝，故此选项错误；
D、原式＝＝﹣1，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断A；根据单项式乘以单项式，把系数的积作为积的系数，对于相同的字母，按同底数幂的乘法法则进行计算，据此可判断B；将第一个分式的分子分解因式，然后约分化简，据此可判断C；将第二个分式的分母与分式本身同时改变符号，进而根据同分母分式的减法法则计算，从而即可判断D.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：＞0，＞0，＜0，
负数的个数是1个，
故答案为：B．
【分析】先利用0指数幂、负指数幂的性质化简，再根据负数的定义求解即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：分式与的最简公分母，
故答案为：A
【分析】根据最简公分母的定义求解即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：①，正确；
②，正确；
③，正确；
④，错误．
故答案为：C.
【分析】分式的乘法：把分子的积作为分子，分母的积作为分母，并将结果化为最简形式；分式的除法，先根据除以一个式子等于乘以这个式子的倒数将除法转变为乘法，进而根据乘法法则进行计算，据此分别计算出结果，再判断即可得出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：原式==．
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质及分式的加减法计算方法求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：A．a﹣2÷a5＝a﹣7＝，不符合题意；
B．（a﹣1b2）3＝a﹣3b6＝，不符合题意；
C．（）﹣2＝＝，符合题意；
D．（a﹣2b2） （a2b﹣2）﹣3＝（a﹣2b2） a﹣6b6＝a﹣8b8＝，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式的除法，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂的性质分别计算，再判断即可.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：＝+2，
3x＝m＋2（x＋1），
解得：x＝m＋2，
∵分式方程有增根，
∴x＋1＝0，
∴x＝ 1，
把x＝ 1代入x＝m＋2中可得： 1＝m＋2，
解得：m＝ 3，
故答案为：D.
【分析】将m作为常数解方程，用含m的式子表示出x，根据方程有增根（所谓增根，就是使最简公分母为0的根）可求出方程的增根是x=-1，从而就不难解决此题了.
11．【答案】x≠3且x≠4
【解析】【解答】解：式子有意义，
且
且 .
故答案为：x≠3且x≠4.
【分析】根据分式以及0指数幂有意义的条件可得x-3≠0且x-4≠0，求解可得x的范围.
12．【答案】整式
【解析】【解答】解：∵原式，
∴化简的结果是整式．
故答案为：整式．
【分析】利用分式约分的计算方法可得，再根据整式的定义求解即可。
13．【答案】5
【解析】【解答】解：已知等式整理得：，即，
则原式，
，
.
故答案为：5.
【分析】首先将已知等式的左边通分，进而在等式的两边同时乘以xy可得x+y=3xy，再将待求式子的分子、分母利用加法的交换律结合律及乘法分配律的逆用行进变形，最后整体代入合并后约分即可得出答案.
14．【答案】-4
【解析】【解答】解：
去分母，得：．
由分式方程有增根，得到，
解得：x=2．
把代入整式方程，得：
解得：k=-4．
故答案为：-4．
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入整式方程求出k的值即可。
15．【答案】解：原式
．
【解析】【分析】利用分式的混合运算的计算方法求解即可。
16．【答案】解：方程两边都乘以（x－1）得：
－3＝x－2（x－1），
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x－1＝4≠0，
∴ 原方程的解是x＝5.
【解析】【分析】 方程两边都乘以（x－1） 约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
17．【答案】解：分母
分母不为0，则：
要使分式的值为正数，
则
解得： 且 .
【解析】【分析】变成分母不为0，分子大于0，即可得出x的范围。
18．【答案】解：原式 .
由 ，符合条件的整数 的值只能取2或-2.
当 时，原式 .
当 时，原式
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并将除法转变为乘法，然后约分化简，进而根据同分母分式的加法法则算出结果；最后代入使原分式有意义的m的值到化简结果中即可算出答案.
19．【答案】解：设该工厂原来平均每天生产x台投影仪，则现在平均每天生产台投影仪．
根据题意得，解得．
经检验知是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产100台投影仪．
【解析】【分析】设该工厂原来平均每天生产x台投影仪，则现在平均每天生产台投影仪，根据题意列出方程，再求解即可。
20．【答案】（1）1；1；成立；1；2；成立
（2）解：∵ ，
，
∴等式 成立．
【解析】【解答】解：（1）①当a=1，b=1时，
， ，
∴ 成立，
故答案为：1，1，成立；
②当a=1，b=2时，
， ，
∴ 成立，
故答案为：1，2，成立；
【分析】（1）任取两个符合要求的数代入题目中的式子，等式两边的结果看是否一致即可解答本题；（2）分别对等式两边展开化简，看最后的结果是否相等，即可解答本题．
21．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=
.
当时，原式.
【解析】【分析】（1）原式可变形为a3-23，然后利用立方差公式进行分解；
（2）对分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入计算即可.
22．【答案】（1）解：设种布偶的单价是元，则种布偶的单价是元，
由题意得，解得，经检验，是原分式方程的解．
．
答：种布偶的单价是20元，种布偶的单价是22元．
（2）解：购买布偶的件数购买布偶的件数．
由题意得，整理得，解得故所求的值为20．
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件A布偶的单价=每件B布偶的单价-2；3000÷每件A布偶的单价=3300÷每件B布偶的单价；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
（2）先求出购买布偶A、B的件数，再根据要使所有布偶销售完后盈利1800元，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解.