2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
3. 由线段，，可以组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4. 若把直线向下平移个单位长度，得到图象对应的函数解析式是( )
A. B. C. D.
5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D. 是直角三角形
8. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在正方形中，对角线和相交于点，点在上，连接，过点作的垂线交于点，连接，过点作垂足为点，以为边作等边三角形，连接交于点，下列四个命题或结论：；；；若，则四边形的面积是其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 函数中自变量的取值范围是______．
12. 已知是方程的一个根，则的值是______ ．
13. 若是关于的正比例函数，则常数的值是______ ．
14. 已知，是方程的两个根，则 ______ ．
15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______ ．
16. 已知一次函数的图象如图所示，不等式的解集是______ ．
17. 如图所示，有一根高为米的电线杆在处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部点米远的地方，则电线杆断裂处离地面的距离的长为______ ．
18. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证
明如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积是，小正方形的面积是，则的长度是______ ．
19. 已知：正方形，点是边上的点，连接，点是正方形边上的一点，连接，若，正方形边长为，则的长度是______ ．
20. 如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，，则的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
解方程：
；
．
22. 本小题分
如图，图、图是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
在图中画出一个以线段为对角线，面积为的矩形，且点和点均在小正方形的顶点上；
在图中画出一个以线段为一边，面积为的平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上画出一个即可，直接写出平行四边形的周长．
23. 本小题分
已知：、两地距离，甲、乙两人都从地出发前往地，乙比甲晚出发，甲、乙两人全程匀速运动，设运动时间为单位：，甲、乙距离地的路程分别为，单位：，，分别与的函数关系如图所示．
分别求，关于的函数解析式；
在两人共同行走的过程中，求运动时间为多少时，两人相距．
24. 本小题分
如图，在四边形中，和相交于点，，．
如图，求证：四边形是平行四边形；
如图，，，分别是，，的中点，连接、、、，和相交于点，当和满足什么样的数量关系时才能使四边形为菱形，并说明你的理由．
25. 本小题分
某绘画艺人第一天的收入为元，第三天的收入为元每天收入的增长率相同．
求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？
绘画艺人想制作一幅长分米，宽分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条阴影部分为彩条无费用，其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．
26. 本小题分
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点．
根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前______ 行的点数和；
请直接写出三角点阵中前行的点数和______ ；
三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出，如果不能，请说明理由；
如果把图的三角点阵中各行的点数依次换为，，，，，，你能探究出前行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出，如
果不能，请说明理由．
27. 本小题分
已知：在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点和点，且．
如图，求直线的解析式；
如图，把沿翻折得到点和点是对应点，点在的延长线上，连接，过点作，垂足为点，交于点，连接，求的度数；
如图，在的条件下，过点作的平行线，分别交和轴于点和点，连接，的面积是，且，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，是一元二次方程，符合题意；
B、，是分式方程，不符合题意；
C、，是二元一次方程，不符合题意；
D、，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的概念对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：在选项A，，中，每给一个值，都有个值与它对应，所以，，选项中不是的函数，
在选项C中，给一个正值，有唯一一个值与之对应，所以是的函数．
故选：．
利用函数的定义，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，进而判断得出结论．
本题考查了函数的定义：在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
3.【答案】
【解析】解：、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意；
B、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意；
C、因为，所以能组成直角三角形，符合题意；
D、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
4.【答案】
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将直线，向下平移个单位所得的直线的解析式是，即．
故选：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：，舍去．
则的值是．
故选：．
设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
且，
．
故选：．
首先根据一次函数的图象不经过第二象限，得且，由此可解出的取值范围．
此题所考查的知识点是一次函数的图象与系数之间的关系，一般情况下：一次函数，当且时，函数的图象经过第一、二、三象限；当且时，函数的图象经过第一、三、四象限；当且时，函数的图象经过第二、三、四象限；当且时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立．
7.【答案】
【解析】解：、四边形是菱形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，故选项A不符合题意；
B、没有条件证明四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
，故选项C不符合题意；
D、，，
是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：．
A、由菱形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，得，则；
B、没有条件证明四边形是菱形，故BE不成立；
C、由平行四边形的性质得，再由，则；
D、由，，得是直角三角形；即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：．
由菱形的性质得出，，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，然后由菱形的面积求出，进而由勾股定理求出，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，
在中，，，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
为等边三角形，
同理也为等边三角形，
，
，
故选：．
利用含度角的直角三角形得，长，根据翻折和对边平行可得和为等边三角形，得到长，再利用线段的和差即可解决问题．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于，
四边形是正方形，
，，，
，，
，四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
又，
≌，
，故正确；
，，，
≌，
，
，
，
，故正确；
设、交于，
，，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
；
同理可得，，
又，
，故正确；
如图所示，以为原点，以，所在的直线为轴，轴建立坐标系，
，四边形是正方形，
，，
设直线解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为；
是等边三角形，，
，，
，
，即，
，
，
，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：，
，
，故正确；
故选：．
如图所示，过点作于，证明四边形是正方形，得到，则，证明≌得到，即可判断；证明≌，推出，由三线合一定理即可判断；设、交于，证明四边形是矩形，再证明，同理可得，得到，再由，即可得到，即可判断；如图所示，以为原点，以，所在的直线为轴，轴建立坐标系，先求出直线的解析式为；再求出，，则，进一步求出 ，再根据求解即可判断．
本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
能使方程两边等式成立，
把代入方程有：，
，
，
故答案为：．
把代入方程就能求出的值．
本题考查方程的解的概念，只须把方程的解代入方程中，就能求出系数的值．
13.【答案】
【解析】解：是关于的正比例函数，
，，
解得：．
故答案为：．
直接利用正比例函数的定义进而得出答案．
本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：和是方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：．
由和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系即可求得：，，然后根据分式加减运算的知识，可得，代入即可求得答案．
此题考查了根与系数的关系，分式的加减运算．此题比较简单，解题的关键是掌握：若二次项系数为，，是方程的两根时，，．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
16.【答案】
【解析】解：不等式的解集为．
故答案为：．
利用函数图象，找出函数图象在轴上方所对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17.【答案】米
【解析】解：设米，则米．
根据勾股定理，得
，
，
解得：．
故答案为：米．
根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．
本题主要考查了勾股定理的实际应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解．
18.【答案】
【解析】解：大正方形的面积是，小正方形的面积是，
，，
根据题意，设，
则，
在中，，
，
解得：，舍去，
，
故答案为：．
根据题意得出，，设，结合图形得出，利用勾股定理列方程求解．
本题主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，利用方程思想解题是关键．
19.【答案】或
【解析】解：当在上时，如图：
四边形是正方形，边长为，
，，
，
，
，
，
在中，
；
当在上时，如图：
同理可得，，
；
综上所述，的长度为或；
故答案为：或．
分两种情况：当在上时，根据勾股定理可得；当在上时，由勾股定理可得．
本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是熟练应用勾股定理求直角三角形的边长和分类思想的应用．
20.【答案】
【解析】解：连接，，，设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
的最小值为的长；
，，
，，
在中，
，
，
解得，或，
当时，，
舍去，
取，
，
即的最小值是，
故答案为：．
连接，，，证明出，从而确定的最小值为的长，再利用已知条件求出的长即可使问题解决．
本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，本题也可通过证明≌得到．
21.【答案】解：，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
即，；
，
，
，
或，
，．
【解析】根据公式法解一元二次方程；
根据因式分解法解一元二次方程．
本题考查了解一元二次方程的方法，根据一元二次方程的特点选取合适的解法是解题的关键．
22.【答案】解：如下图：
矩形即为所求；
平行四边形即为所求；
，，
平行四边形的周长为：．
【解析】根据网格线的特点及矩形的面积公式作图；
根据平行四边形的判定定理及勾股定理作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握矩形和平行四边形的判定定理及勾股定理是解题的关键．
23.【答案】解：由图象可知经过点，
设，则，
解得，
；
由图象可知经过点和，
设，
则，
解得，
；
相遇前，甲在乙前面相距时，，
解得；
相遇后，乙在甲前面相距时，，
解得，
答：在两人共同行走的过程中，运动时间为小时或小时时，两人相距．
【解析】观察图象，用待定系数法求函数解析式即可；
审清题目，在两人共同行进过程中相距，分两种情况讨论：相遇前，甲在乙前面相距时；相遇后，乙在甲前面相距时，列出方程求解即可得解．
本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，正确审题，分类讨论是解题关键．
24.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：当时，则四边形为菱形，证明如下：
，，分别是，，的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，，
四边形为平行四边形，
，
如图，连接，
是的中点，
，
是的中点，，
是的中位线，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
由三角形中位线定理得，，，再证四边形为平行四边形，得，连接，然后由三角形中位线定理得，则，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：设绘画艺人每天平均收入的增长率是．
，
，或不符合题意，舍去，
答：绘画艺人每天平均收入的增长率是；
第四天的收入是元．
作画区域的面积是平方分米，
设彩条的宽度是分米．
．
，不符合题意，舍去．
答：彩条的宽度是分米．
【解析】设绘画艺人每天平均收入的增长率为，则第二天的收入是元，第三天的收入是元，根据题意可得方程；
设彩条的宽度是分米，作画区域的面积是，所以由长方形的面积公式得到：，解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
26.【答案】
【解析】解：
是三角点阵中前行的点数和，
故答案为：；
根据题意：，
前行的点数和，
故答案为：；
能，理由如下：
根据题意可得前行的点数和为
令，
解得：，或舍去，
；
能；
能，理由如下：
根据题意可得前行的点数和为
令
解得：，或舍
，
能．
根据规律前四行的数为即可得结论；
根据题意分别写出前行的数据列式计算即可；
将前行的数求和列方程解决，求的正整数解即可，否则不存在；
将各行的点数，，，，相加得，令求正整数解，否则不存在．
本题考查一元二次方程的应用及规律型，图形的变化，问题是一道找规律的题目，中考中经常出现，对于找规律的题目，首先找出哪些部分发生的变化，是按照什么规律变化的．
27.【答案】解：令，则，
，
，
，
，
将点代入，，
解得，
直线解析式为；
沿翻折得到，
≌，
，
，
四边形为正方形，
如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
如图，过点作，垂足为点，连接和，在上取一点，使，连接，
，
，
，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
，即，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
设则，
，
解得或，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
≌，
，
，
，
直线和直线的交点为，
根据题意列方程组，
解得，
．
【解析】求出点坐标，将点代入直线解析式即可求的值，从而确定函数解析式；
由折叠可知四边形为正方形，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，证明≌，得到，再由，可求；
过点作，垂足为点，连接和，在上取一点，使，连接，先证明≌，再证明≌，≌，得到，设则，根据三角形面积求出的值，从而确定，，由待定系数法求出直线的解析式，再通过证≌，求出，从而确定直线的解析式，由直线和直线的交点为，根据题意列方程组，即可求点坐标．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
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