2022-2023学年湖南省衡阳市衡山县八年级（下）期末数学试卷(含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市衡山县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 当为任意实数时，下列分式一定有意义的是( )
A. B. C. D.
2. 年月，中国迎来奥密克戎变异毒株的首波感染高峰已知该病毒的直径长纳米，纳米米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3. 添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，将函数的图象平移至图中虚线位置，则平移后得到的函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
5. 在菱形中，，，则该菱形的面积是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
7. 对于反比例函数，下列结论错误的是( )
A. 函数图象分布在第一、三象限
B. 函数图象经过点
C. 若点在其图象上，那么点也一定在其图象上
D. 若点，都在函数图象上，且，则
8. 如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
9. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成此项工程要比规定工期多用天；，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案中被墨水污染的部分应该是( )
A. 甲乙合作了天 B. 甲先做了天
C. 甲先做了工程的 D. 甲乙合作了工程的
10. 如图， 的对角线，相交于点，下列结论错误的是( )
A.
B. ，
C. ，
D. 是轴对称图形
11. 若分式方程无解，则的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
12. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 计算： ______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且若反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．
15. 写一个关于的一次函数，同时满足以下两个条件：图象经过点；随增大而减小，这个函数的表达式可以是______ ．
16. 若点在反比例函数图象上，则代数式 ．
17. 如图，已知：在中，，，，为边上一动点且点不与点、重合，于点，于点则的最小值为______．
18. 如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点点，不与线段，的端点重合且，连接，，在点，运动的过程中，有下列四个结论：是等腰直角三角形；面积的最小值是；至少存在一个，使得的周长是；四边形的面积是请写出正确结论的序号______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当，，时，求式子的值小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
20. 本小题分
解分式方程：．
21. 本小题分
某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八、八班各选取五名选手参赛两班参赛选手成绩依次如下：单位：分
八班：，，，，
八班：，，，，
学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：
班级 平均数 众数 中位数
八
八
根据以上信息，请解答下面的问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ．
已知八班比赛成绩的方差是，请你计算八班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定．
22. 本小题分
斑马线前“车让人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小林共用秒通过，其中通过段的速度是通过段速度的倍，求小林通过段和段时的速度．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点为直线位于第一象限内一点，已知点．
求的长；
设点的横坐标为．
直接写出的取值范围为：______ ；
若的面积与的面积相等，求的值．
24. 本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
求证：；
若，，求的长．
25. 本小题分
学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离米与时间分钟之间的函数关系如图所示．
点的坐标是______ ．
根据图象信息，甲的速度为______ 米分钟，当 ______ 分钟时甲乙两人相遇；
求点的坐标．
26. 本小题分
如图，在边长为的正方形中，点在边上移动不与端点重合连接，以为一边在其右侧作，其中，，点为的中点，过点作，垂足为点，连接，，．
求证：；
请判断线段和之间有何关系？写出你的结论并证明；
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
B.当时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
C.，
，
当为任意实数时，该分式一定有意义，故本选项符合题意；
D.当时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
故选：．
直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：纳米米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及菱形的判定；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解题的关键．根据矩形的判定和平行四边形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：、，
，
四边形是平行四边形，
是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
是菱形，故选项D符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由图象可知，将函数向上平移了个单位，
函数的解析式为．
故选：．
根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式．
本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
菱形的面积是．
故选：．
由菱形面积公式即可求得面积．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，熟练掌握菱形的面积是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解： 的顶点，，的坐标分别是，，，
，点纵坐标与点纵坐标相同，
顶点的坐标是，
故选：．
根据题意平行四边形的性质可知，点纵坐标与点纵坐标相同，进而得出点坐标．
此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，正确得出点的横坐标是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：、，图象分布在第一，三象限，此选项不符合题意；
B、，
函数图象经过点，此选项不符合题意；
C、反比例函数的图象关于原点对称，
若点在其图象上，那么点也一定在其图象上，此选项不符合题意；
D、虽然点，都在函数图象上，且，
但不知道，所在的象限，故，不能判断大小，此选项符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质和相应的取值得到正确选项即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出和的度数．
根据矩形的性质，可得，，根据折叠可得，最后根据进行计算即可．
【解答】
解：，，，
，，
由折叠可得，
，
故选A．
9.【答案】
【解析】解：某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，
甲工作了天，乙工作了天，
即甲乙合作了天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，
可知在应填入的内容为：甲乙合作了天，
故选：．
根据题意和方程，可知甲干了天，乙干了天，从而可以得到后面应填入的内容，本题得以解决．
本题考查分式方程的应用，解答此类题目的关键是明确题意，根据方程可以推测出空白处应填写的内容，注意要联系实际情况．
10.【答案】
【解析】解：、平行四边形的对角线、相交于点，
，．
．
，故此选项正确，不符合题意；
B、由即可得出选项正确，不符合题意；
C、平行四边形，
，，选项正确，不符合题意；
D、 是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误，符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质及中线的性质，轴对称图形的定义依次判断即可．
题目主要考查平行四边形的性质及中线的性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：方程去分母得，，
解得，，
当分母时方程无解，
即时，
也就是，
所以时，方程无解，
当时，
，
方程无解，
故当时，方程无解．
故选：．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．
本题考查了分式方程无解的知识，掌握分式方程无解的条件是关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键．
根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选A．
13.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
由正方形的性质得出，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意可知，所求函数为一次函数，
设该一次函数的解析式为，
随的增大而减小，
，则可取，
，
图象经过，
，
，
这个一次函数的解析式可以是．
故答案为：答案不唯一．
一次函数，若随的增大而减小，则；若图象经过，将其代入求得的值．
本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的相关性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，得，
，
故答案为：．
根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以得到所求式子的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接．
在中，，，，
，
．
又于点，于点．
，
四边形是矩形．
．
当最小时，也最小，
即当时，最小，
，即，
线段的最小值为．
故答案为：．
先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．
本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出时，取最小值是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，，
，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，故正确；
当时，最小，此时，
面积的最小值是，故正确；
，
，
设，则，
，
的周长是，
，
，
存在一个，使得的周长是，故正确；
≌，
，故正确；
故答案为：．
证明≌，可得，，可得到；再由当时，最小，此时，可得面积的最小值是，可得到正确；设，则，根据勾股定理可得，从而得到，得正确；再根据≌，可得，可得正确；即可求解．
此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
19.【答案】解：能，计算过程如下：
，
因此，不管取何值除外，这个式子的值都是．
【解析】根据分式的除法计算法则进行求解即可．
本题主要考查了分式的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
20.【答案】解：去分母，得
，
去括号，得，
整理，得
经检验，为原方程的解．
故原方程的解为．
【解析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键．
21.【答案】
【解析】解：，
八班：，，，，，
出现的次数最多，
众数为：，
即，，
故答案为：，，；
解：由可知，八班的平均数是，
方差为：
，
，
八班成绩更稳定．
根据中位数，平均数和众数的定义，即可求出、、的值；
根据题意求出八班比赛成绩的方差为，即可得．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差，解题的关键是理解题意，正确计算．
22.【答案】解：设通过段时的速度为每秒米，
根据题意得：，
解得：，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
通过段的速度为．
答：通过段时的速度为每秒，通过段时的速度为每秒米．
【解析】设通过段时的速度为每秒米，由题意：米，在绿灯亮时，共用秒通过，其中通过段的速度是通过段速度的倍，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：直线与轴交于点，
当时，，
，
，
；
解：直线与轴分别交于点，
点，
为直线位于第一象限内一点，点的横坐标为，
，
，
解得：；
故答案为：．
点的横坐标为，点在直线上，
点，
，，
的面积与的面积相等，
，
．
直线的解析式得到点的坐标，再利用平面直角坐标系内两点之间的距离即可解答；
根据点为直线位于第一象限内一点列不等式求解即可；根据坐标与图形得到与的面积列关于的方程即可解答．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平面直角坐标系内点的坐标特征，平面直角系内两点之间的距离，坐标与图形，掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
；
四边形是菱形，，，
，，，
根据勾股定理得：，
．
【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，从而证得四边形是矩形，即可证明；
根据菱形的性质可得和的长，根据勾股定理求出的长，据此即可求解．
本题考查了矩形的判定和性质以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质并灵活运用．
25.【答案】
【解析】解：根据函数图象可得，，
故答案为：．
根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为米分钟，
故答案为：，
甲、乙两人的速度和为米分钟，乙的速度为：米分钟．
乙从图书馆回学校的时间为分钟，，
点的坐标为．
根据函数图象即可求解；
根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，根据乙先到达目的地，得到点是甲到达图书馆，进而求得甲的时间，即可求得甲的速度；
根据相遇的路程得出速度和，进而求得乙的速度，然后得出乙所花的时间，即可求解．
本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．
26.【答案】证明：在边上截取，使得，连接．
四边形是正方形，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
．
解：结论：，．
理由：延长交于点．
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，．
【解析】在边上截取，使得，连接证明≌，推出，可得结论．
结论：，延长交于点证明≌，推出，，再证明，可得结论．
本题考查了四边形综合题，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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