2022-2023学年河北省唐山十二中九年级（上）期末数学试卷(含解析）

2022-2023学年河北省唐山十二中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共22小题，共66.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列命题：长度相等的弧是等弧 任意三点确定一个圆 相等的圆心角所对的弦相等 外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
3. 设的半径为，圆心到直线的距离，且使得关于的方程有实数根，则直线与的位置关系为( )
A. 相离或相切 B. 相切或相交 C. 相离或相交 D. 无法确定
4. 已知反比例函数的图象经过点、，当时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将个大小重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中个白色的，个黄色的，个绿色的，个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为( )
A. B. C. D.
6. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，的直径为，弦的长为，是弦上的动点，则长的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，函数与的图象相交于点和点，当时，自变量的取值范围是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
9. 如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于( )
A. B. C. D.
10. 如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，动点同时从点出发，以的速度沿折线向点运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点的运动时间是时，的面积是，则能够反映与之间函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
11. 已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系( )
A. B. C. D.
12. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
13. 如图，圆心角都是的扇形与扇形叠放在一起，，，分别连接、，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
14. 如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为( )
A.
B. 或
C.
D. 或
15. 已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽接缝忽略不计，圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形铁皮的半径是( )
A. B. C. D.
16. 如图，把直角的斜边放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到的位置，设，，则顶点运动到点的位置时，点所经过的路线为( )
A. B. C. D.
17. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应( )
A. 不大于 B. 不小于 C. 不大于 D. 不小于
18. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：
；
；
；
一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是( )
A.
B.
C.
D.
19. 在平面直角坐标系的第一象限内，边长为的正方形的边均平行于坐标轴，点的坐标为如图，若曲线与此正方形的边有交点，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
20. 如图，在中，，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的长( )
A. B. C. D.
21. 如图，中，，分别交、于点、，，求：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
22. 如图，在中，是边上的中点，，垂直交于，与交于，若，，求的长( )
A. B. C. D.
二、解答题（本大题共3小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. 本小题分
用适当的方法解下列方程：
；
．
24. 本小题分
如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点，交边于点，作于点．
求证：是的切线；
若的边长为，求的长度．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与交于，两点点在点的左侧，顶点为．
当时，求点坐标和的长．
反比例函数的图象记作．
若点落在轴上，抛物线与图象的交点在第三象限，若点的横坐标为，且，求的取值范围．
若图象经过点，点，若抛物线与线段有唯一的公共点包括线段的端点，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查真命题的概念以及圆心角，弧，弦等概念．
等弧必须同圆中长度相等的弧；不在同一直线上任意三点确定一个圆；在等圆中相等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．
【解答】
解：等弧必须同圆中长度相等的弧，故错误；
不在同一直线上任意三点确定一个圆，故错误；
在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故正确．
所以只有一项正确．
故选B．

2.【答案】
【解析】解：点在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选D．
根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据所在象限即可作出判断．
本题考查了反比例函数的性质和图象．
3.【答案】
【解析】解：因为关于的方程有实数根，
所以，
即，
解这个不等式得，
又因为的半径为，
所以直线与圆相切或相交．
故选：．
欲求圆与的位置关系，关键是求出点到的距离，再与半径进行比较，即可求解．
若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
本题考查的是直线与圆的位置关系以及一元二次方程根的判别式．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判断．
4.【答案】
【解析】解：反比例函数关系式为图象经过点，
，
，
当时，，
当时，，
当时，．
故选：．
利用待定系数法可得反比例函数关系式，根据反比例函数的性质可得在图象的每一支上，随自变量的增大而减小，然后求出当、时所对应的的值．进而可得答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，对于反比例函数当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．
5.【答案】
【解析】解：
个球中只有个红球，所以任意摸出一个乒乓球是红色的概率是，
一次过关的概率为．
故选D．
将红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
6.【答案】
【解析】解：四边形内接于，
，
．
故选：．
由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，，由圆周角定理知，．
圆内接四边形的性质：
、圆内接四边形的对角互补；
、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】
【解析】解：由垂线段最短可知当时最短，即；
当是半径时最长，．
所以长的取值范围是．
故选：．
由垂线段最短可知当时最短，当是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
此题难点在明确什么时候最短．
8.【答案】
【解析】解：把代入得：，
把代入得：，
，，
解方程组得：，，
即的坐标是，
当时，自变量的取值范围是或，
故选：．
把的坐标代入函数的解析式求出函数的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，得出的坐标，根据、的坐标，结合图象即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数和一次函数的交点问题等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等也考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质．利用半径相等得到，则，根据三角形外角性质得，所以，同理得到，然后利用进行计算即可．
【解答】
解：连结，如图，
，，
，
，
，
，
而，
，
，
，
．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：当点在上运动时，，
；
当点在上运动时，，
；
当点在上运动时，，
，
故选：．
分在上运动、在上运动和在上运动三种情况分别列出函数解析式，据此可得．
本题主要考查动点问题的函数图象，根据题意分类讨论是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
，
，
故选：．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：时，开口向上，顶点坐标为，
位于第一、三象限，没有选项图象符合，
时，开口向下，顶点坐标为，
位于第二、四象限，选项图象符合．
故选：．
分和两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．
本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】通过分析图可知：经过旋转后能够和重合证全等也可，因此图中阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积，所以本题考查扇形面积的计算，图中阴影部分的面积可以看作是扇形与扇形的面积差，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
解：由图可知，将顺时针旋转后可与重合，
因此．
故选C．
14.【答案】
【解析】解：如图：
四边形、、、为矩形，
又为四边形的对角线，为四边形的对角线，
，，，
，
，
，
解得或．
故选：．
根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出，再解出的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设这个扇形铁皮的半径为，由题意得，
解得．
故这个扇形铁皮的半径为，
故选B．
利用底面周长展开图的弧长可得．
本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，
则，，；
由分析知：点经过的路程是由两段弧长所构成的：
段的弧长：，
段的弧长：，
点所经过的路线为，故选B．
点所经过的弧长有两段，以为圆心，长为半径，为圆心角的弧长；以为圆心，长为半径，为圆心角的弧长．分别求出两端弧长，然后相加即可得到所求的结论．
本题考查的是弧长的计算，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利的作答．
17.【答案】
【解析】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过，
，
当时，．
故选：．
根据题意有：当温度不变时，气球内的气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象过点，故可求其解析式；故当气球内的气压不大于时，气体体积应不小于．
本题考查反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系．然后再根据题意确定变量的取值范围．
18.【答案】
【解析】解：抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间．
当时，，
即，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，所以错误；
抛物线的顶点坐标为，
，
，所以正确；
抛物线与直线有一个公共点，
抛物线与直线有个公共点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，所以正确．
故选：．
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则当时，，于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线，即，则可对进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为得到，则可对进行判断；由于抛物线与直线有一个公共点，则抛物线与直线有个公共点，于是可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于：抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
19.【答案】
【解析】解：点的坐标为，
，
当在双曲线时，则，
解得；
当在双曲线时，则，
解得，
的取值范围是：，
故选：．
根据题意得出，然后分别把、的坐标代入求得的值，即可求得的取值范围．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数为常数，的图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
20.【答案】
【解析】解：如图连接、则由题意可知四边形是正方形，边长为．
的内切圆与、、分别相切于点、、，
可以假设，，
则，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接、则由题意可知四边形是正方形，边长为设，，则，，，由，由此即可解决问题．
本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】
【解析】解：过点作于，
，中边上的高与中边上的高相同，
与中，，
，
，
∽，相似比等于，
则：：，
故选：．
根据，可求出，从而求出，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
22.【答案】
【解析】解：是边上的中点，，
，，
≌，
，
，
，
∽，
过点作，垂足是，
∽，，
，
，
，
又，
，
，
，
，，，
，
，
故选：．
利用是边上的中点，，可以得到，而由，可以得到，证明∽，利用相似三角形的性质就可以求出三角形的面积，然后利用面积公式就求出了的长．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，也利用了三角形的面积公式求线段的长，添加辅助线，构造相似三角形是关键．
23.【答案】解：，
或，
解得，；
，
，
，，，
，
，
解得．
【解析】利用直接开平方法解方程即可；
利用公式法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
24.【答案】证明：如图所示，连接，
是等边三角形，
．
，
．
，
．
．
．
于点．
点在上，
是的切线；
解：如图所示，连接，，
为直径，
．
，．
是等边三角形，
，．
，
．
．

【解析】连接，根据等边三角形的性质求出，根据切线的判定定理证明即可；
连接，，根据等边三角形的性质求出、，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
25.【答案】解：当时，抛物线为，
所以抛物线顶点的坐标为，
当时，，解得：，，
所以，，
所以；
点落在轴上，
，
，
联立方程组，
，
点的横坐标为，
，
，
当时，，
当时，，
；
图象经过点，点，
，解得，
，，
，
，
当抛物线经过时，，解得，
当抛物线经过时，，解得，
如图，当时，抛物线与线段有唯一的公共点；
如图，当时，抛物线与线段有唯一的公共点；
综上所述：当或时，抛物线与线段有唯一的公共点．
【解析】当时，把抛物线化为顶点式即可求出点的坐标，再求出抛物线与轴的交点即可求出的长；
求出，由题意可得，再由的范围求的范围即可；
由题意可求出，，再结合图象求解即可．
本题考查二次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，数形结合讨论是解题的关键．
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