2022-2023学年河北省石家庄市晋州市八年级（上）期末数学试卷(含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市晋州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如果是最简二次根式，则的值可能是( )
A. B. C. D.
5. 等腰三角形的顶角为，则底角的度数为( )
A. B. C. D.
6. 下列各数中，与的和为有理数的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，≌，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板其中心有一个小孔和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是( )
A. B.
C. D.
9. 用反证法证明“若，则”时，应首先假设( )
A. B. C. D.
10. 下列说法错误的是( )
A. 若点是线段的垂直平分线上的点，则
B. 若，，则直线是线段的垂直平分线
C. 若，则点在线段的垂直平分线上
D. 若，则过点的直线是线段的垂直平分线
11. 一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米时，下山速度为千米时．则货车上、下山的平均速度为千米时．( )
A. B. C. D.
12. 使代数式有意义的整数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
13. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是( )
A. B. C. D.
14. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
15. 如图所示，，分别是等边三角形的边，的中点，，点是上的一个动点，则周长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
16. 如图所示，四边形的对角线，互相垂直，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码如，对于二次根式，计算结果为，中间加一个大写字母，就得到一个六位密码“”按照这种产生密码的方法，则利用二次根式产生的六位密码是______ ．
18. 如图所示，中，，，，分别延长，到点，，点在的内部、的外部即图中阴影部分若点到三条边所在直线的距离相等，则的大小为______ 度，点到边所在直线的距离为______ ．
19. 如图所示，图中所有的三角形都是等边三角形若其中最小的等边三角形的边长为，则图中涂有阴影的等边三角形的边长为______ ，周长为______ ，面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
计算：；
计算：．
21. 本小题分
求值：，其中．
22. 本小题分
如图所示，是的边上的一点，且，，试求的大小．
23. 本小题分
如图所示，和都是直角三角形，且，，，是的中点，连接，，．
判断的形状，并给出证明过程；
求出的长．
24. 本小题分
我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且据此，解决下列问题：
如果，其中，为有理数，那么 ______ ， ______ ；
如果，其中，为有理数，求的平方根．
25. 本小题分
如图和图所示，是等腰三角形，，点是底边上的一个动点不与，重合，连接．
如图所示，当平分时，求证：．
如图所示，当时，结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
26. 本小题分
【背景】如图所示，点在线段上，分别以，为一边，在线段的上方，作等边三角形和等边三角形，连接，，它们交于点．
容易判断，与的数量关系为______ ，它们所夹锐角的大小为______ 度
【探究】把图中的等边三角形绕点逆时针旋转一定角度，变成图，线段的延长线与交于点请你判断与的数量关系及的大小，并给出证明过程．
【应用】如图所示，点在线段上，，，在的上方作等边三角形的大小和位置可以改变，连接，请直接写出的最小值，不用表述理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形的定义，要知道“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”．
根据轴对称图形的定义解答．
【解答】
解：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，符合这一要求的只有．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：；
故选B．
先把分解为，再把开方即可．
此题考查了二次根式的性质的应用，关键是把进行分解，比较简单．
3.【答案】
【解析】解： ，计算正确，故选项符合题意；
B. ，计算错误，故该选项不符合题意；
C. ，计算错误，故该选项不符合题意；
D. ，计算错误，故该选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：是二次根式，，解得，
A、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、当时，，确定是最简二次根式，该选项符合题意；
C、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案．
本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：等腰三角形的顶角为，
底角的度数为：，
故选：．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案．
本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确理解题意是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，不是有理数，故选项A不符合题意；
，是有理数，故选项B符合题意；
，不是有理数，故选项C不符合题意；
，不是有理数，故选项D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法法则以及有理数的定义判断即可．
本题考查了二次根式的加法和有理数的概念，熟练掌握二次根式的加法法则是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：≌，，，
，，
，
故选：．
根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解．
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，
A、是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
故选：．
抓住一点：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判断即可．
本题考查了中心对称图形，利用旋转设计图案，注意抓住解题的关键：风车的特点．
9.【答案】
【解析】解：“若，则”的结论是，
用反证法时应先假设，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查了反证法，熟记反证法的证明步骤是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：若点是线段的垂直平分线上的点，则，故该说法正确，不符合题意；
B.若，，则直线是线段的垂直平分线，故该说法正确，不符合题意；
C.若，则点在线段的垂直平分线上，故该说法正确，不符合题意；
D.若，则过点的直线不一定是线段的垂直平分线，故该说法错误，符合题意；
故选：．
根据线段垂直平分线的判定方法，即可一一判定．
本题考查了线段垂直平分线的判定方法，熟练掌握和运用线段垂直平分线的判定方法是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
平均速度总路程总时间，设单程的路程为，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．
本题考查了列代数式分式，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．
【解答】
解：设上山的路程为千米，
则上山的时间为小时，下山的时间为小时，
则上、下山的平均速度为千米时．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由题意，得，
解不等式组得，
符合条件的整数有：、、共三个．
故选：．
根据代数式有意义的条件，得不等式组，解不等式组确定的范围，从而确定满足条件的整数．
本题考查了二次根式有意义的条件．当式子含有分母时，需满足分母不等于，当式子含有二次根式时，需满足被开方数是非负数．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
的整数部分为，小数部分为，
，
．
故选：．
先估算出的取值范围，从而求出和，然后代入计算即可．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
14.【答案】
【解析】解：根据尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
不是的垂直平分线，故不能证明，
综上所述：，，D正确，不符合题意，符合题意，
故选：．
由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断，根据角平分线的性质可判断，证得≌可判定，由于不是的垂直平分线，不能证明．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线．
15.【答案】
【解析】解：如图：
连接，交于点，连接，
三角形为等边三角形，，分别是边，的中点，
，，，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
又为定值，
、、三点共线时，的周长最小，
由勾股定理得，
周长．
故选：．
连接，交于点，连接，根据等边三角形的性质、三线合一、中线的定义求出，，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线时，最小，故周长的最小，最后由勾股定理求出的长，即可求解．
本题考查了等边三角形的性质、三线合一、中线的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点并能够综合运用是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在中，，
在中，，
，
，
故选：．
在中，，在中，，再根据即可得出答案．
本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
产生的六位数密码是，
故答案为：．
先求出的值，再根据题意即可得出结论．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知算术平方根的意义是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：点到三条边所在直线的距离相等，
点是，和的角平分线的交点，
过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，，
，
，，
，
同理可得，
，，，
四边形是正方形，
，
；
，，
，
同理可得，
设，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
点到边所在直线的距离为．
故答案为：，．
过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，，首先根据角平分线的逆定理得到点是，和的角平分线的交点，然后证明出四边形是正方形，根据角平分线的概念即可求出的大小；用勾股定理求出，设，则，然后根据正方形的性质列方程求解即可．
此题考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19.【答案】
【解析】解：如图所示：
设与、的边长为，
则的边长为，与的边长为，的边长为，与的边长为，的边长为，
根据题意得：，即，
解得：，
即阴影等边三角形的边长为，
周长为，
作，
，
，
，
，
阴影等边三角形的面积为：．
故答案为：，，．
因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，设与、的边长为，则的边长为，与的边长为，的边长为，与的边长为，的边长为，根据题意得：，即，求出边长再计算周长、面积即可．
此题考查等边三角形的问题，结合等边三角形的性质，勾股定理，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．
20.【答案】解：
；
．
【解析】根据二次根式的混合运算计算即可；
利用平方差公式，二次根式的混合运算计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键．
21.【答案】解：
；
当时，
原式．
【解析】根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将的值代入，根据二次根式的混合运算计算．
本题考查分式的加减乘除混合运算，分式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
22.【答案】解：设．
因为，
所以．
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
在中，有，
即，
．
所以．
【解析】设，由等腰三角形的性质得，由外角的性质得，然后在中，利用三角形内角和定理列方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：是等腰直角三角形，且．
理由：在和中，
因为是斜边的中点，
所以．
由，得．
所以．
同理，可得．
所以．
所以是等腰直角三角形，且．
在中，
由勾股定理得．
【解析】先由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再由等边对等角及三角形外角的性质得出，即可求解；
直接根据勾股定理计算即可．
本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质及三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：，其中，为有理数，
，
，
故答案为：，；
整理，
得．
因为，为有理数，为无理数，
所以，
解得，．
则．
所以，的平方根是．
根据，为有理数，由已知等式求出与的值即可；
已知等式右边化为，根据，为有理数，求出与的值，即可确定出的值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.【答案】证明：，平分，
，．
在中，；
解：成立，
证明如下：如图所示，过点作，垂足为点．
，
．
在和中，有，．
．
【解析】根据等腰三角形的性质及勾股定理，即可证得结论；
过点作，垂足为点，根据等腰三角形的性质及勾股定理，即可证得结论．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握和运用等腰三角形的三线合一是解决本题的关键．
26.【答案】
【解析】解：背景：
和是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；．
探究：；．
证明：和是等边三角形，
，，．
，即．
≌，
，且．
设与交于点，则，
，
即，
，
应用：
将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于点，则，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
当且仅当点在线段上时等号成立，
，
的最小值，
，，
，
，
，，
，
的最小值为．
背景：根据等边三角形的性质可得，，，进而得到，证明即可得到结论，根据全等三角形的性质可以得到，推出，即可得出锐角的大小；
探究：和是等边三角形，得出，，，推出，即，进而证明≌，得到，；设与交于点，则，得到，即可得出结论；
应用：将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于点，则，，先证明，进一步证明，得到，再根据当且仅当点在线段上时等号成立得到的最小值，最后依次计算、、和即可．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
第1页，共1页