2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若是的算术平方根，则( )
A. B. C. D.
2. 下列判断不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3. 分式可变形为( )
A. B. C. D.
4. 如图，中，是线段的垂直平分线，且分别交，于点，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 小明网购了一本好玩的数学，同学们想知道书的价格，小明让他们猜甲说：“至多元”乙说：“至少元”丙说：“至少元”小明说：“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”则这本书的价格元所在的范围为( )
A. B. C. D.
7. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是( )
A. B. C. D.
8. 已知，均为有理数，且，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 用反证法证明：，至少有一个为，应该假设( )
A. ，没有一个为 B. ，只有一个为
C. ，至多一个为 D. ，两个都为
10. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为( )
A. B.
C. 且 D. 且
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在实数范围内分解因式： ______ ．
12. 若有意义，则的取值范围为______ ．
13. 据央视网报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为______ ．
14. 如图，在中，，平分，若，，则 ______ ．
15. 不等式的解集为，则的取值范围是______ ．
16. 已知，，，若为整数且，则的值是______．
17. 如图，为内一点，，平分，且如果，，那么______．
18. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21. 本小题分
如图，在中，是边上一点，是边的中点，过点作，交的延长线于点．
求证：≌；
若，，，求的长．
22. 本小题分
先化简，再求值：，其中满足不等式组，且为整数．
23. 本小题分
已知分式方程有解，其中“”表示一个数．
若“”表示的数为，求分式方程的解；
小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“”是或，试确定“”表示的数．
24. 本小题分
在疫情期间，某药店用元购进若干包医用口罩，很快售完，该店又用元钱购进第二批这种口罩，购进的包数是第一批的倍，但每包的进价比第一批进价多元，请解答下列问题：
求购进第一批医用口罩有多少包？
若两批医用口罩按相同的价格售出，且售完后总利润不高于元，那么每包口罩的最高售价是多少元？
25. 本小题分
对于任意两个非零实数，，定义运算如下：，如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
______ ， ______ ；
如果，那么 ______ ；
如果，求的值．
26. 本小题分
如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿射线移动，点、点同时出发并且运动速度相同连接、．
如图，当点移动到线段的中点时，求度数．
如图，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由．
如图，当点移动到线段的延长线上时，中的结论是否仍然成立？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是的算术平方根，
，
故选：．
根据算术平方根的定义进行求解即可．
本题主要考查了一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、若，则，此选项正确；
B、若，则，此选项正确；
C、若，则，没有注明，此选项错误；
D、若，则，此选项正确．
故选：．
利用不等式的性质，注意判定得出答案即可．
此题考查不等式的性质：性质、不等式的两边都加上或减去同一个数或同一个式，不等号的方向不变．
性质、不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
性质、不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向改变改变．
3.【答案】
【解析】解：可变形为，
故选：．
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零数，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式基本性质，分子、分母、分式任意改变两项的符号，分式的值不变．
4.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线且分别交，于点和，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项中计算错误，不符合题意；
B.，故此选项中计算错误，不符合题意；
C.，故此选项中计算正确，符合题意；
D.，故此选项中计算错误，不符合题意，
故选：．
根据二次根式的运算法则和二次根式的性质逐项计算判断即可．
本题考查二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的性质和相关运算的运算法则是解答的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意可得：，
可得：，
这本书的价格元所在的范围为．
故选：．
根据“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”得出不等式组解答即可．
此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组．
7.【答案】
【解析】解：由作法易得，，，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应角相等．
故选：．
由作法易得，，，依据定理得到≌，由全等三角形的对应角相等得到．
本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
，均为有理数，
，，
．
故选：．
先求出，再根据，均为有理数得到，，由此代值计算即可．
本题考查的是实数的混合运算，涉及到代数式求值，负整数指数幂，正确根据题意求出，是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由于命题：“、至少有一个为”的反面是：“、没有一个为”，
故用反证法证明：“、至少有一个为”，应假设“、没有一个为”，
故选：．
根据命题：“、至少有一个为”的反面是：“、没有一个为”，可得假设内容．
此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数且列式求出的范围即可．
【解答】
解：去分母得：，
解得：，
由方程的解为正数且，得到，且，
解得且，
故选：
11.【答案】
【解析】解：
故答案为：
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键．
12.【答案】且
【解析】解：由题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
利用二次根式有意义的条件可得，再利用分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
13.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
绝对值小于的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．
14.【答案】
【解析】解：平分，，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的定义求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：不等式的解集为，
，
，
故答案为：．
根据不等式的性质，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的解集，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于．
16.【答案】
【解析】解：，，
又，
，
为整数且，
，
故答案为：．
估算出的值即可解答．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，延长交于，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
延长交于，证明是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得，再由等角对等边得，进而可得答案．
本题考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是关键．
18.【答案】
【解析】解：由数轴可得，，则，，
，
故答案为：．
根据在数轴上的位置判断出其符号及和的符号，再化简绝对值和二次根式即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及．
19.【答案】解：
．
【解析】先分别化简每一项，再求和即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式的运算是解题的关键．
20.【答案】解：由得：，
解得，
由得：，
解得，
故原不等式组的解集为，
把解集在数轴上表示出来，如下图：

【解析】首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，即可求得该不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在数轴上表示解集时，“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
21.【答案】证明：是边的中点，
，
，
，
在和中，
≌；
解：≌，
，
是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据平行可知角，再根据中点和对顶角相等可知全等三角形；
根据全等三角形的性质可知，再根据线段的和差关系可以求出的长．
本题考查了全等三角形的性质和判定，中点的定义等相关知识点，熟记全等三角形的性质和判定是解题的关键．
22.【答案】解：
，
由不等式组组，得，
为整数，，
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，再由满足不等式组且为整数，确定的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
23.【答案】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，分式方程的解为；
解：当“”是时，，解得，此时方程无解；
当“”是时，，解得，经检验：是分式方程的解，符合题意，
“”表示的数是．
【解析】根据题意列出分式方程，求出解即可；
把和分别代入方程，求出解判断即可．
本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
24.【答案】解：设第一批购进医用口罩包，
依题意得，
解得，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批购进医用口罩包．
设每包口罩的售价为元，
依题意得，
解得，
答：每包口罩的最高售价为元．
【解析】设第一批购进医用口罩包，根据题意列方程计算即可；
设每包口罩的售价为元，根据题意列不等式计算即可．
本题考查了分式方程和不等式的实际应用，正确列出方程式，求出解后注意要检验是解题关键．
25.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：，；
，
，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：；
当时，
由原式可得：，
得，
解得，
经检验：是原方程的解，但不符合，
应舍去．
当时，，
得，
解得或，
经检验：或是原方程的解，且符合，
综上，或．
根据题目已知的定义运算，进行计算，即可分别求得；
根据题意可知，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可求解；
分两种情况，和，根据新定义运算法则列分式方程求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键．
26.【答案】解：根据题意，点和点分别从点和点同时出发并且运动速度相同，
，
点为的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
结论：，理由如下：
如图，过点作交于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
成立，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
同理可得，是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】根据题意可知，又点为的中点，进而得到，再利用等角对等边得到，根据等边三角形性质得到，利用三角形外角的性质即可求出度数；
过点作，根据等边三角形的性质和平行线的性质可知是等边三角形，从而推出，，利用“”证明≌，即可得出结论；
过点作，同理可得是等边三角形，进而推出，，利用“”证明≌，即可证明结论成立．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，准确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
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