2022-2023学年河北省唐山市曹妃甸新城重点学校高二（下）期末数学试卷(含解析）

2022-2023学年河北省唐山市曹妃甸新城重点学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“，，使得”的否定形式是( )
A. ，，使得 B. ，，都有
C. ，，使得 D. ，，都有
3. 设，则对任意实数、，“”是“”的条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4. 函数在上的图像大致为( )
A. B. C. D.
5. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )
A. B. C. D.
6. 已知，则等于( )
A. B. C. D.
7. 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布，若的值在内的概率约为，则的值约为( )
参考数据：若，则．
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若和是两个互斥事件，则
D. 当时，
10. 某社区派出，，，，五名志愿者全部安排到甲、乙、丙、丁四个社区协助开展防护排查工作，每名志愿者只能到一个社区工作，则下列结论中正确的是( )
A. 所有不同的分派方案共种
B. 若甲社区不安排志愿者，其余三个社区至少安排一个志愿者，则所有不同的分派方案共种
C. 若每个社区至少派名志愿者，且志愿者必须到甲社区，则所有不同分派方案共种
D. 若每个社区至少派名志愿者，且志愿者、不安排到同一社区，则所有不同分派方案共种
11. 已知正数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12. 对于定义域为的函数，若存在区间使得同时满足：在上是单调函数，当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”( )
A. 函数有个“和谐区间”
B. 函数，存在“和谐区间”
C. 若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为
D. 若函数“和谐区间”，则实数的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知的展开式中各项系数和为，则展开式中不含的所有项系数和等于______ ．
14. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如，等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有______ 个用数字作答
15. 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在以下，至少要测量的次数为______ ．
16. 已知函数，设，若，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数为常数，且，．
Ⅰ当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
Ⅱ当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
18. 本小题分
请从下列两个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题，
第项与第项的二项式系数之比是；第项与第项的系数之比的绝对值为；
已知在的展开式中，_____．
求展开式中的常数项，并指出是第几项；
求展开式中的所有有理项．
求展开式中系数绝对值最大的项．
19. 本小题分
现有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有个红球和个白球乙袋中有个红球和个白球从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验若多次试验直到摸出红球，则试验结束假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为．
求首次试验结束的概率；
在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整．
求选到的袋子为甲袋的概率；
将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
20. 本小题分
某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示将分数不低于分的学生称为“高分选手”．
求的值；
现采用分层随机抽样的方式从分数落在、内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
若样本中属于“高分选手”的女生有人，试完成下列列联表，依据的独立性检验，能否认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关联？
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
参考公式：，其中
21. 本小题分
某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业如图所示为某农户近年种植药材的平均收入单位：千元与年份代码的折线图并计算得到，，，，，，，其中．
根据折线图判断，与哪一个适宜作为平均收入关于年份代码的回归方程类型？并说明理由；
根据的判断结果及数据，建立关于的回归方程，并预测年该农户种植药材的平均收入．
附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，．
22. 本小题分
第届世界杯于年月日到月日在卡塔尔举办在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
扑点球的难度一般比较大假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
证明：为等比数列；
设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于，故A，
，
，即，故B，
因此，即．
故选：．
首先分别求解出、两个集合，然后再根据集合交集的定义进行运算即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：“，，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题，
故否定形式是，，都有．
故选：．
根据全称命题的否定是特称命题，即可求解．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
为奇函数，
时，，递增，
为增函数，
，，
，
，
，
反之也成立，
“”是“”的充要条件，
故选：．
已知函数，根据可知它是奇函数，然后由题意看命题“”与命题”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
此题主要考查利用函数的导数判断函数的单调性，还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
在上，，
有且，函数既不是奇函数也不是偶函数，排除，
，排除，
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除，再分析的符号，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象，涉及函数值的符号，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于基础题．
根据所给材料的公式列出方程，即可得解．
【解答】
解：由已知，，当时，标志着已初步遏制疫情，
可得，解得，
两边取对数有，
解得，
故选C．

6.【答案】
【解析】解：由二项式定理得，
即，所以，所以，
故选：．
逆用二项式定理建立方程求出的值，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：体温服从正态分布，
，，
的值在内的概率约为，，
，
，解得，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
即，
所以，
所以函数的周期为，
又为偶函数，
则，
所以，
所以函数也为偶函数，
又，
所以，，
所以，
又，即，所以，
又，，，
所以．
故选：．
由可得函数的周期为，再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，所以A正确．
，B错误．
若和是两个互斥事件，则，C正确．
因为，所以．
，D正确．
故选：．
根据条件概率的公式和性质逐一判断即可．
本题主要考查条件概率与独立事件，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，每名志愿者都有种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确；
对于，先将个人分成组，分两类：第一类，一组人，另组各一人，有种；
第二类，一组人，一组人，一组人，有种，
故共有种分组方法，
再将分好的三组分配到三个社区，共有种分派方案，故 B正确；
对于，分两类：
第一类，甲社区分人，只能是，另外人有种，
第二类，甲社区分人，共有种，
根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C不正确；
对于，若每个社区至少派名志愿者，则有种，
其中志愿者，安排到同一社区时，有种，
故若每个社区至少派名志愿者，且志愿者，不安排到同一社区时，
共有种不同分派方案，故D正确．
故选：．
对于，根据分步乘法计数原理计数可知A正确；对于，按照先分组再分配的方法计数可知B正确；不正确；对于，由间接法求解可知D正确．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，正数，满足，当且仅当时取等号，
解得，A正确；
对于，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于，，当且仅当时成立，C正确；
对于，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误．
故选：．
利用基本不等式结合条件逐项分析即得．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，，均在上单调递增，
函数在上单调递增，
，，是的两个根，
解得的可能取值为，，，
函数有个和谐区间：，，，故A正确；
对于，，，解得，只有一个解，
不存在和谐区间，故B错误；
对于，在区间上有和谐区间，
存在区间，使函数的值域为，
的两个实根，
方程在上有两个不等的实根，
即在上有两个不等的实根，
令与，
问题转化为函数与的图象在存在两个不同的交点．
，，
令，解得，
由对勾函数的性质得函数在单调递减，在单调递增，
，且，，
要想在上有两个不等的实根，
则需，解得，故C正确；
对于，函数在定义域单调递减，
当的定义域为时，的值域为，
，，，
两式相减得，
即，
将代入，，
令，得，
，，
，，
，实数的取值范围为，故D正确．
故选：．
对于，由的单调性得到，为的两个根，解出的可能取值，确定个“和谐区间”；对于，只有一个解，不合题意；对于，分离常数后，得到的单调性，问题转化为函数与的图象交点问题，求出的单调性和最值情况；对于，由函数的单调性，确定，，转化为，换元后得到，由的范围能求出的取值范围．
本题考查函数的单调性、和谐区间、对勾函数的性质、分离变量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：已知的展开式中各项系数和为，
令，整理得，解得；
故的展开式满足，
令时，的展开式满足，令，解得，
故含的所有项系数为，
由于的所有项的系数和满足当，时，所有项的系数和为，
故不含的所有项系数和等于．
故答案为：．
直接利用二项式的展开式和项的系数及赋值法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】．
【解析】解：依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为；
千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：
最多个，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，
不同“回文数”的个数是个；
最少个，取奇数字有种，占万位和个位，两个占位有种，取偶数字占百位有种，
不同“回文数”的个数是个；
由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个．
故答案为：．
根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由出现的次数分类求解作答．
本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理的综合运用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，，则，
即，
而，则，，可得，得．
为使的概率控制在以下，至少要测量的次数为次．
故答案为：．
由，得到，再结合正态分布的概率求法求得答案．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：易知函数在上单调递增，在上单调递增，
，
，，
，，
，
又，，
，，
故，
，
令，则，
则在上单调递增，
，
即，
的取值范围是．
故答案为：．
易知函数在上单调递增，在上单调递增，则由题意可得，进而求出，又，所以，再利用换元法，结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了二次函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ当时，在上单调递增，
当时，，
对任意的都有成立，转化为恒成立，
即对恒成立，
令，则恒成立，即，
由对勾函数的性质知：在上单调递增，故，
的取值范围是．
Ⅱ当为偶函数时，对都有，
即恒成立，即恒成立，
，解得，则，
此时，由可得：有实数解
令当时取等号，
则，
方程，即在上有实数解，
而在上单调递增，
．
的取值范围是．
【解析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的奇偶性，不等式恒成立问题，属于拔高题．
Ⅰ判断函数的单调性，求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元法即可确定的取值范围；
Ⅱ先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解．
18.【答案】解：选，，则，，
则，
令，得，
即：为常数项，所以常数项为，为第项．
选，，
，则，
即，，
，
令，得；
即：为常数项，所以常数项为，为第项．
由知，，
，则，，，，
，，，，
，，，，
故有理项为，，，．
假设系数绝对值最大，
则，
解得：，又，，
．
【解析】先选条件可求出，再由二项式展开式通项求解即可；
由展开通项，求出依次代入即可；
假设系数绝对值最大，则它的系数的绝对值不小于前一项的系数的绝对值，并且不小于后一项的系数的绝对值，利用不等式组求解即可．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，
“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，
“试验结果为白球”为事件，
，
所以试验一次结果为红球的概率为．
因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为．
由得，，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大．
【解析】根据全概率公式，解决抽签问题；
利用条件概率公式计算，根据数据下结论．
本题考查全概率公式的应用，条件概率公式的应用，属中档题．
20.【答案】解：由题意知，解得，
由题意，从中抽取人，从中抽取人，
随机变量的所有可能取值有，，，．
所以随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望．
由题可知，样本中男生人，女生人属于“高分选手”的人，其中女生人；
得出以下列联表：
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
，
所以有的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关．
【解析】根据频率和为，列方程可求解的值；
由题意，从中抽取人，从中抽取人，随机变量服从超几何分布，确定的取值，求对应概率即可得到分布列，求出期望即可；
由题可知，样本中男生人，女生人属于“高分选手”的人，其中女生人，列出列联表计算出与临界值作比较即可判断．
本题考查频率分布直方图的相关知识，离散型随机变量的分布列与期望的求解，独立性检验原理，属中档题．
21.【答案】解：由折线图可知，适宜作为平均收入关于年份代码的回归方程．
理由如下：
，
．
对于模型，相关系数，
对于模型，相关系数．
，适宜作为平均收入关于年份代码的回归方程；
由可知回归方程类型为．
，．
关于的回归方程为．
又年对应年份代码为，代入可得千元．
预测年该农户种植药材的平均收入为千元．
【解析】由折线图得结论，结合相关系数加以验证；
由已知数据求得与的值，得到线性回归方程，取求解值即可．
本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：的所有可能取值为，，，，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，，，，
所以的分布列如下：
．
证明：第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
由可知，所以，
所以，
故．
【解析】先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
记第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定，的关系，结合等比数列定义完成证明；
由求出，，比较其大小即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
第1页，共1页