2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第26章《二次函数》章末测试
一、选择题
1．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：依题意设抛物线解析式y=ax2，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得﹣4=a×52，
解得a=﹣ ，
所以y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】由题意可设抛物线解析式y=ax2，因为点B（5，﹣4），所以将点B（5，﹣4）代入解析式计算即可求解。
2．把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=﹣x2+50x B．y=x2﹣50x C．y=﹣x2+25x D．y=﹣2x2+25
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设这个长方形的一边长为xcm，则另一边长为（25﹣x）cm，
以面积y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．
故选C．
【分析】由长方形的面积=长×宽可求解．
3．二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为二次函数y=kx
2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=﹣
＞0，
观察图象可知，符合上述条件的只有C．故答案为：C．
【分析】由题意可得抛物线的对称轴为直线x=
=
，而 k＜0 ，所以
，即对称轴在y轴右侧，又因为c=1
，所以抛物线交于y轴的负半轴，所以选项C符合题意。
4．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2
C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），
因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，
此时，﹣4＜x＜2．
故答案为：B．
【分析】先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一个交点，再根据开口方向，结合图形，求出y>0,时，x的取值范围。
5．抛物线y=x2﹣4x﹣7的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣11） B．（﹣2，7） C．（2，11） D．（2，﹣3）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵ =2， =﹣11，
∴顶点坐标为（2，﹣11）．
故答案为：A．
【分析】根据顶点坐标公式（）即可求解。
6．（2017八下·东营期末）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为4
D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c中得c=﹣3，
抛物线为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），
所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，
当x=1时，y的最小值为﹣4，
与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；C错误．
故选C．
【分析】把（0，﹣3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．
7．（2016九上·涪陵期中）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+ ，由题意，得
10=a+ ，
a=﹣ ．
∴抛物线的解析式为：y=﹣ （x﹣1）2+ ．
当y=0时，
0=﹣ （x﹣1）2+ ，
解得：x1=﹣1（舍去），x2=3．
OB=3m．
故选：B．
【分析】由题意可以知道M（1， ），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
8．如图，有一座抛物线拱桥，当水位在AB位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽CD为（ ）
A．5m B．6m C． m D．2 m
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设抛物线方程为y=ax
2，
将A（2，﹣2）代入y=ax2，
解得：a=﹣
，
∴y=﹣
x2，
代入B（x0，﹣3）得x0=
，
∴水面宽CD为2
，
故答案为：D．
【分析】由题意可设抛物线方程为y=ax2，由题意可知点A的坐标为（2，﹣2），用待定系数法即可求解析式；再把y=-3代入解析式计算可求得点B的横坐标，则水面宽CD=点B的横坐标的绝对值的2倍。
二、填空题
9．函数 与 的图象及交点如图所示，则不等式x2＜x+2的解集是 ．
【答案】﹣1＜x＜2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】利用图象得出函数 与 的图象交点坐标分别为：（﹣1，1）和（2，4），
∴不等式 的解集为：﹣1＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜2．
【分析】利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图象上方时，不等式x2＜x+2，进而得出答案．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是 ．
【答案】﹣1＜x＜5
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图可知，二次函数图象为直线x=2，
所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），
所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．
故答案为：﹣1＜x＜5．
【分析】根据二次函数图象的对称性可求得该图像与x轴的另一交点，即而可得该图象在x轴上部分的x的取值范围。
11．抛物线y= x2﹣4x+3的顶点坐标和对称轴分别是 ．
【答案】（4，﹣5），x=4
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y= x2﹣4x+3= （x﹣4）2﹣5，
∴顶点坐标为（4，﹣5），对称轴为x=4．
故答案为（4，﹣5），x=4．
【分析】将抛物线的解析式由公式y=配成顶点式可得y= （x﹣4）2﹣5，则顶点坐标和对称轴可求解。
12．抛物线y=x2﹣（m2﹣3m+2）x+m2﹣4的图象的对称轴是y轴，且顶点在原点，则m的值为 ．
【答案】2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据题意得m
2﹣3m+2=0且m
2﹣4=0，
解m2﹣3m+2=0得m=1或2，解m2﹣4=0得m=2或﹣2，
所以m的值为2．
故答案为：2．
【分析】因为抛物线的对称轴x=
，而已知对称轴是y轴 ，所以可得关于m的方程m2﹣3m+2=0，又因为 顶点在原点 ，所以m2﹣4=0，解方程即可求解。
13．若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a= ．
【答案】4或﹣1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，
∴ =3，
整理得出：a2﹣3a﹣4=0，
解得：a1=4，a2=﹣1，
检验：当a=4或﹣1时，都是方程的根，
故答案为：4或﹣1．
【分析】根据顶点的纵坐标是3可得=3，解方程即可求解。
14．如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．
【答案】解：依题意得把两条路分别进行平移，
长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，
∴草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，
∴y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800，
自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即0＜x＜60．
故填空答案：y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】由题意可得，除去道路后，
草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，所以可得y=（80﹣x）（60﹣x） ，整理即可求解。
三、解答题
15．已知正方形的面积为y（cm2），周长为x（cm）．
（1）请写出y与x的函数关系式．
（2）判断y是否为x的二次函数．
【答案】（1）解：∵正方形的周长为x（cm），
∴正方形的边长为： xcm，
∴y与x的函数关系式为：y= x× x= x2
（2）解：利用二次函数的定义得出y是x的二次函数
【知识点】二次函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据正方形的周长为x（cm），即可得出边长，进而得出正方形的面积为y与x之间的函数关系式；（2）利用函数的定义判断得出即可．
16．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】解：由题意得：y=x× =﹣ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】由长方形的性质可将AB表示成AB=
，则长方形的面积=长
× 宽=AB
× BC；易得
自变量x的取值范围是0＜x≤25．
17．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，
∴S= PB BQ= PB （BE+EQ）
= （6﹣t）（6+t）
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18（0≤t＜6）．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】由题意可得，
PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，所以S= PB BQ= PB （BE+EQ） ，将相关式子代入计算即可。
18．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，﹣5），B（1，﹣3），C（﹣1，11）三点，求抛物线的顶点坐标及对称轴．
【答案】解：由题意得
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y=9x2﹣7x﹣5；
∴，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】由题意用待定系数法即可求得抛物线的解析式；直接代入对称轴及顶点坐标公式可求解。
19．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；
设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
由题意得：
，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．
（3）解：由题意得：x2﹣2x﹣3=m，
即x2﹣2x﹣3﹣m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣4．
即当m＞﹣4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）
由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）； 用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）根据公式
将解析式配成顶点式，可求得 此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3） 由题意得：x2﹣2x﹣3=m， 化为一般形式后，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则
可得关于m的不等式，解不等式即可求解。
20．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且经过点（1，﹣ ）．
（1）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象；
（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2﹣3，
把x=1，y=﹣ 代入得：﹣ =a﹣3，即a= ，
则抛物线解析式为y= x2﹣2x﹣1
（2）解：当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）
根据题意可设抛物线解析式为顶点式，即y=a（x﹣2）2﹣3，再将点（1，﹣ ）代入解析式可求得a的值；
（2）由二次函数的性质和题意可得，
当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵直线y=2x﹣1与y轴交于点C，
∴C的坐标（0，﹣1），
∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），
∴对称轴为y轴，
∴C点就是抛物线的顶点，
设把A（﹣1，0）代入得，a﹣1=0，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣1．
（2）解：解 得 或 ，
所以D的坐标为（2，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由
直线y=2x﹣1与y轴交于点C可求得点C的坐标，由题意可知，C点就是抛物线的顶点， 用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可将抛物线和直线的解析式联立解方程组即可求得点D的坐标。
22．根据下列条件求二次函数解析式：
（1）二次函数的图象过点（0，﹣1），对称轴是直线x=﹣1，且二次函数有最大值2．
（2）二次函数的图象过点（5，6），与x轴交于（﹣1，0），（2，0）两点．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象的对称轴为x=﹣1，函数的最大值为2，
∴可设函数解析式为：y=a（x+1）2+2，
∵函数图象经过点（0，﹣1），
∴a×1+2=﹣1，
∴a=﹣3，
∴二次函数的表达式为：y=﹣3（x+1）2+2，
即y=﹣3x2﹣6x﹣1；
（2）解：∵二次函数的图象交x轴于（﹣1，0）、（2，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．
将x=5，y=6代入，得6=a（5﹣2）（5+1），
解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= （x﹣2）（x+1），
即y= x2﹣ x﹣ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）因为
二次函数的图象的对称轴为x=﹣1，函数的最大值为2， 所以可知抛物线的顶点坐标为（-1,2），可设抛物线的解析式为顶点式，
y=a（x+1）2+2， 再将
点（0，﹣1） 代入解析式即可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可设抛物线的解析式为交点式， 二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）． 再将 点（5，6） 代入解析式即可求解。
23．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y= x2+bx+c上．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线y= x2+bx+c的解析式；
（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y= x2+bx+c上，求平移的距离．
【答案】（1）解：由图象，得B（1，3）．
（2）解：由题意，得A（0，2）
∴ ，解得：
，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（3）解：当y=1时，
∴ 解得：
x= 或 （不符合题意应舍去），
∴F′（ ，1），
∴E′（ ，0），
∴OE′= ，
∴平移的距离为： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由正方形的性质易得
点B的坐标为（1,3）；
（2）
由正方形的性质易得
点A的坐标为（0，2）；因为A、B都在抛物线上，所以将点A、B的坐标代入解析式可得关于c、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（3）
由正方形的性质易得平移后
点F的纵坐标为1，于是把y=1代入（2）中求得的解析式可求出x的值，则根据平移的方向可求得平移后点F的横坐标，则平移的距离 可求解
。
24．如图，已知二次函数y=﹣ x2+ x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；
（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，4）；（8，0）
（2）解：∵点A的坐标为（0，4），
∴AO=4，
∵点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0），
∴BO=2，CO=8，∴BC=10，
∴AC= =4 ，
∴AB= =2 ，
∴AB2+AC2=100，
∵BC2=100，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：易得D（3，0），CD=5，
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
，
解得 ；
∴y=﹣ x+4；
①当DE=DC时，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE= =4，
∴E1（0，4）；
②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+ = ，
进而将x= 代入y=﹣ x+4，得出y= ，
可得E2（ ， ）；
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴ ，
即EG= ，CG=2 ，
∴E3（8﹣2 ， ）；
综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（ ， ）、E3（8﹣2 ， ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y=0得：﹣
x2+
x+4=0，
即：x2﹣6x﹣16=0，
∴x=﹣2和x=8，
∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．
故答案为：A（0，4），C（8，0）；
【分析】（1）因为抛物线与y轴相较于点A，所以当x=0时，y=4，即点A（0,4）；抛物线与x轴相较于点B、C，当y=0时，可得关于x的方程，解方程可得点B、C的坐标；
（2）由（1）中求得的点A、B、C的坐标可求得AB、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC的形状；
（3）由题意易得点D的坐标，用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可设点E的坐标，分3种情况求解： ①当DE=DC时，②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上 ； ③当DC=EC时 ，根据这三种情况求解即可。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第26章《二次函数》章末测试
一、选择题
1．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
2．把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=﹣x2+50x B．y=x2﹣50x C．y=﹣x2+25x D．y=﹣2x2+25
3．二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2
C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
5．抛物线y=x2﹣4x﹣7的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣11） B．（﹣2，7） C．（2，11） D．（2，﹣3）
6．（2017八下·东营期末）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为4
D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
7．（2016九上·涪陵期中）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
8．如图，有一座抛物线拱桥，当水位在AB位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽CD为（ ）
A．5m B．6m C． m D．2 m
二、填空题
9．函数 与 的图象及交点如图所示，则不等式x2＜x+2的解集是 ．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是 ．
11．抛物线y= x2﹣4x+3的顶点坐标和对称轴分别是 ．
12．抛物线y=x2﹣（m2﹣3m+2）x+m2﹣4的图象的对称轴是y轴，且顶点在原点，则m的值为 ．
13．若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a= ．
14．如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．
三、解答题
15．已知正方形的面积为y（cm2），周长为x（cm）．
（1）请写出y与x的函数关系式．
（2）判断y是否为x的二次函数．
16．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
17．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
18．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，﹣5），B（1，﹣3），C（﹣1，11）三点，求抛物线的顶点坐标及对称轴．
19．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
20．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且经过点（1，﹣ ）．
（1）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象；
（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标．
22．根据下列条件求二次函数解析式：
（1）二次函数的图象过点（0，﹣1），对称轴是直线x=﹣1，且二次函数有最大值2．
（2）二次函数的图象过点（5，6），与x轴交于（﹣1，0），（2，0）两点．
23．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y= x2+bx+c上．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线y= x2+bx+c的解析式；
（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y= x2+bx+c上，求平移的距离．
24．如图，已知二次函数y=﹣ x2+ x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；
（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：依题意设抛物线解析式y=ax2，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得﹣4=a×52，
解得a=﹣ ，
所以y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】由题意可设抛物线解析式y=ax2，因为点B（5，﹣4），所以将点B（5，﹣4）代入解析式计算即可求解。
2．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设这个长方形的一边长为xcm，则另一边长为（25﹣x）cm，
以面积y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．
故选C．
【分析】由长方形的面积=长×宽可求解．
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为二次函数y=kx
2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=﹣
＞0，
观察图象可知，符合上述条件的只有C．故答案为：C．
【分析】由题意可得抛物线的对称轴为直线x=
=
，而 k＜0 ，所以
，即对称轴在y轴右侧，又因为c=1
，所以抛物线交于y轴的负半轴，所以选项C符合题意。
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），
因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，
此时，﹣4＜x＜2．
故答案为：B．
【分析】先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一个交点，再根据开口方向，结合图形，求出y>0,时，x的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵ =2， =﹣11，
∴顶点坐标为（2，﹣11）．
故答案为：A．
【分析】根据顶点坐标公式（）即可求解。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c中得c=﹣3，
抛物线为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），
所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，
当x=1时，y的最小值为﹣4，
与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；C错误．
故选C．
【分析】把（0，﹣3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+ ，由题意，得
10=a+ ，
a=﹣ ．
∴抛物线的解析式为：y=﹣ （x﹣1）2+ ．
当y=0时，
0=﹣ （x﹣1）2+ ，
解得：x1=﹣1（舍去），x2=3．
OB=3m．
故选：B．
【分析】由题意可以知道M（1， ），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设抛物线方程为y=ax
2，
将A（2，﹣2）代入y=ax2，
解得：a=﹣
，
∴y=﹣
x2，
代入B（x0，﹣3）得x0=
，
∴水面宽CD为2
，
故答案为：D．
【分析】由题意可设抛物线方程为y=ax2，由题意可知点A的坐标为（2，﹣2），用待定系数法即可求解析式；再把y=-3代入解析式计算可求得点B的横坐标，则水面宽CD=点B的横坐标的绝对值的2倍。
9．【答案】﹣1＜x＜2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】利用图象得出函数 与 的图象交点坐标分别为：（﹣1，1）和（2，4），
∴不等式 的解集为：﹣1＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜2．
【分析】利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图象上方时，不等式x2＜x+2，进而得出答案．
10．【答案】﹣1＜x＜5
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图可知，二次函数图象为直线x=2，
所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），
所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．
故答案为：﹣1＜x＜5．
【分析】根据二次函数图象的对称性可求得该图像与x轴的另一交点，即而可得该图象在x轴上部分的x的取值范围。
11．【答案】（4，﹣5），x=4
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y= x2﹣4x+3= （x﹣4）2﹣5，
∴顶点坐标为（4，﹣5），对称轴为x=4．
故答案为（4，﹣5），x=4．
【分析】将抛物线的解析式由公式y=配成顶点式可得y= （x﹣4）2﹣5，则顶点坐标和对称轴可求解。
12．【答案】2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据题意得m
2﹣3m+2=0且m
2﹣4=0，
解m2﹣3m+2=0得m=1或2，解m2﹣4=0得m=2或﹣2，
所以m的值为2．
故答案为：2．
【分析】因为抛物线的对称轴x=
，而已知对称轴是y轴 ，所以可得关于m的方程m2﹣3m+2=0，又因为 顶点在原点 ，所以m2﹣4=0，解方程即可求解。
13．【答案】4或﹣1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，
∴ =3，
整理得出：a2﹣3a﹣4=0，
解得：a1=4，a2=﹣1，
检验：当a=4或﹣1时，都是方程的根，
故答案为：4或﹣1．
【分析】根据顶点的纵坐标是3可得=3，解方程即可求解。
14．【答案】解：依题意得把两条路分别进行平移，
长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，
∴草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，
∴y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800，
自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即0＜x＜60．
故填空答案：y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】由题意可得，除去道路后，
草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，所以可得y=（80﹣x）（60﹣x） ，整理即可求解。
15．【答案】（1）解：∵正方形的周长为x（cm），
∴正方形的边长为： xcm，
∴y与x的函数关系式为：y= x× x= x2
（2）解：利用二次函数的定义得出y是x的二次函数
【知识点】二次函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据正方形的周长为x（cm），即可得出边长，进而得出正方形的面积为y与x之间的函数关系式；（2）利用函数的定义判断得出即可．
16．【答案】解：由题意得：y=x× =﹣ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】由长方形的性质可将AB表示成AB=
，则长方形的面积=长
× 宽=AB
× BC；易得
自变量x的取值范围是0＜x≤25．
17．【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，
∴S= PB BQ= PB （BE+EQ）
= （6﹣t）（6+t）
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18（0≤t＜6）．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】由题意可得，
PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，所以S= PB BQ= PB （BE+EQ） ，将相关式子代入计算即可。
18．【答案】解：由题意得
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y=9x2﹣7x﹣5；
∴，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】由题意用待定系数法即可求得抛物线的解析式；直接代入对称轴及顶点坐标公式可求解。
19．【答案】（1）解：由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；
设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
由题意得：
，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．
（3）解：由题意得：x2﹣2x﹣3=m，
即x2﹣2x﹣3﹣m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣4．
即当m＞﹣4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）
由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）； 用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）根据公式
将解析式配成顶点式，可求得 此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3） 由题意得：x2﹣2x﹣3=m， 化为一般形式后，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则
可得关于m的不等式，解不等式即可求解。
20．【答案】（1）解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2﹣3，
把x=1，y=﹣ 代入得：﹣ =a﹣3，即a= ，
则抛物线解析式为y= x2﹣2x﹣1
（2）解：当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）
根据题意可设抛物线解析式为顶点式，即y=a（x﹣2）2﹣3，再将点（1，﹣ ）代入解析式可求得a的值；
（2）由二次函数的性质和题意可得，
当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．
21．【答案】（1）解：∵直线y=2x﹣1与y轴交于点C，
∴C的坐标（0，﹣1），
∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），
∴对称轴为y轴，
∴C点就是抛物线的顶点，
设把A（﹣1，0）代入得，a﹣1=0，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣1．
（2）解：解 得 或 ，
所以D的坐标为（2，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由
直线y=2x﹣1与y轴交于点C可求得点C的坐标，由题意可知，C点就是抛物线的顶点， 用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可将抛物线和直线的解析式联立解方程组即可求得点D的坐标。
22．【答案】（1）解：∵二次函数的图象的对称轴为x=﹣1，函数的最大值为2，
∴可设函数解析式为：y=a（x+1）2+2，
∵函数图象经过点（0，﹣1），
∴a×1+2=﹣1，
∴a=﹣3，
∴二次函数的表达式为：y=﹣3（x+1）2+2，
即y=﹣3x2﹣6x﹣1；
（2）解：∵二次函数的图象交x轴于（﹣1，0）、（2，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．
将x=5，y=6代入，得6=a（5﹣2）（5+1），
解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= （x﹣2）（x+1），
即y= x2﹣ x﹣ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）因为
二次函数的图象的对称轴为x=﹣1，函数的最大值为2， 所以可知抛物线的顶点坐标为（-1,2），可设抛物线的解析式为顶点式，
y=a（x+1）2+2， 再将
点（0，﹣1） 代入解析式即可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可设抛物线的解析式为交点式， 二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）． 再将 点（5，6） 代入解析式即可求解。
23．【答案】（1）解：由图象，得B（1，3）．
（2）解：由题意，得A（0，2）
∴ ，解得：
，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（3）解：当y=1时，
∴ 解得：
x= 或 （不符合题意应舍去），
∴F′（ ，1），
∴E′（ ，0），
∴OE′= ，
∴平移的距离为： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由正方形的性质易得
点B的坐标为（1,3）；
（2）
由正方形的性质易得
点A的坐标为（0，2）；因为A、B都在抛物线上，所以将点A、B的坐标代入解析式可得关于c、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（3）
由正方形的性质易得平移后
点F的纵坐标为1，于是把y=1代入（2）中求得的解析式可求出x的值，则根据平移的方向可求得平移后点F的横坐标，则平移的距离 可求解
。
24．【答案】（1）（0，4）；（8，0）
（2）解：∵点A的坐标为（0，4），
∴AO=4，
∵点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0），
∴BO=2，CO=8，∴BC=10，
∴AC= =4 ，
∴AB= =2 ，
∴AB2+AC2=100，
∵BC2=100，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：易得D（3，0），CD=5，
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
，
解得 ；
∴y=﹣ x+4；
①当DE=DC时，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE= =4，
∴E1（0，4）；
②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+ = ，
进而将x= 代入y=﹣ x+4，得出y= ，
可得E2（ ， ）；
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴ ，
即EG= ，CG=2 ，
∴E3（8﹣2 ， ）；
综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（ ， ）、E3（8﹣2 ， ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y=0得：﹣
x2+
x+4=0，
即：x2﹣6x﹣16=0，
∴x=﹣2和x=8，
∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．
故答案为：A（0，4），C（8，0）；
【分析】（1）因为抛物线与y轴相较于点A，所以当x=0时，y=4，即点A（0,4）；抛物线与x轴相较于点B、C，当y=0时，可得关于x的方程，解方程可得点B、C的坐标；
（2）由（1）中求得的点A、B、C的坐标可求得AB、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC的形状；
（3）由题意易得点D的坐标，用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可设点E的坐标，分3种情况求解： ①当DE=DC时，②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上 ； ③当DC=EC时 ，根据这三种情况求解即可。
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