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广东省揭阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·揭阳期末）已知集合，，则（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意弦求集合B，进而结合交集运算求解.
2．（2023高二下·揭阳期末）已知空间向量，，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】若，则，解得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求，进而可得结果.
3．（2023高二下·揭阳期末）的展开式中的系数为（ ）
A．200 B．210 C．220 D．240
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为，
则其展开式为，
令，可得，
所以的系数为210.
故答案为：210.
【分析】根据题意可得，结合二项展开式的通项公式运算求解.
4．（2023高二下·揭阳期末）已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知：椭圆过点，且，
可得，解得，
所以的方程为.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：椭圆过点，且，代入方程运算求解即可.
5．（2023高二下·揭阳期末）已知变量x，y的一组相关数据如下表：
x 1 2 3 4 5
y 2.1 a 1.5a 9 10.9
若x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则实数（ ）
A．4.9 B．5 C．5.1 D．5.2
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程
【解析】【解答】由题意可得：，
则，可得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据题意求，结合经验回归方程过样本中心点，运算求解即可.
6．（2023高二下·揭阳期末）已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．6 B．7 C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为，解得，
可得数列的公差为，则 ，
即，且，解得.
故答案为：6.
【分析】根据题意结合等差数列的性质可求，进而可得结果.
7．（2023高二下·揭阳期末）已知圆锥SA的轴截面是边长为的等边三角形，顶点S和底面圆周上的所有点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意可知：圆锥SA的底面半径，母线，高，
设球的半径为，则，解得，
所以 球O的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据圆锥的结构特征以及球的性质列式可求球的半径，再结合球的体积公式运算求解.
8．（2023高二下·揭阳期末）公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】C
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得：
所以 .
故答案为：C.
【分析】由题意可知，结合三角恒等变换运算求解.
二、多选题
9．（2023高二下·揭阳期末）已知直线l：，圆C：，则下列说法错误的是（ ）
A．若或，则直线l与圆C相切
B．若，则圆C关于直线l对称
C．若圆E：与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则
D．若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则
【答案】A,C
【知识点】点到直线的距离公式；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】因为圆C：，圆心，半径，
对A：若直线l与圆C相切 ，等价于，解得：或，故A错误；
对B：若圆C关于直线l对称 ，等价于，解得，故B正确；
对C：若圆E：与圆C相交，则两圆方程之差即为公共弦的方程，
整理得，则，解得，
此时圆心到直线l：的距离，符合题意，故C错误；
对D：若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则，
解得： ，故D正确；
故选：AC.
【分析】对A：根据直线与圆的位置关系列式求解；对B：根据直线过圆心运算求解；对C：根据相交弦的求法运算求解；对D：根据题意分析可得，进而求解即可.
10．（2023高二下·揭阳期末）在中，内角所对的边分别为，，，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为或
【答案】A,D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】对A：由正弦定理，可得，故A正确；
对B：因为，则，即角为锐角，所以，故B错误；
对C：由余弦定理，即，解得或，故C错误；
对D：若，则的面积为；
若，则的面积为；
综上所述：的面积为或，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】对A：利用正弦定理运算求解；对B：根据同角三角关系运算求解，注意大边对大角的应用；对C：利用余弦定理运算求解；对D：利用面积公式运算求解.
11．（2023高二下·揭阳期末）某商场同时销售编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯，一年中销售这三家公司该产品的数量之比为．为更好地做好今后的销售工作，该商场对这一年中购买紫外线消毒灯的顾客进行了电话调查，统计得到购买编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯的顾客满意度分别为93%，90%，90%．现从这些顾客中随机抽取一名顾客进行详细回访，记“顾客购买编号为i的公司生产的紫外线消毒灯”， “顾客对紫外线消毒灯满意”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】由题意可得：，
，
对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对于A、D：根据题意直接可得；对B：根据全概率公式运算求解；对C：根据条件概率公式运算求解.
12．（2023高二下·揭阳期末）已知定义在上的函数的导函数为，，，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数的导数
【解析】【解答】因为为奇函数，则，即关于对称，
可得，则关于对称；
又因为为偶函数，则，即关于对称；
可得，所以是以4为周期的周期函数，
对A：令，则，解得，故A正确；
对B：令，则，故B错误；
对C：因为，故C正确；
对D：因为，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据题意分析可得关于对称，关于对称，且是以4为周期的周期函数.利用赋值法结合相关性质逐项分析判断.
三、填空题
13．（2023高二下·揭阳期末）已知命题p：对，，若p为真命题，则实数a的最小值是 ．
【答案】
【知识点】全称量词命题；一元二次不等式的应用
【解析】【解答】由题意可得：对恒成立，
则，解得，
所以实数a的最小值是.
故答案为：.
【分析】由题意可得对恒成立，根据二次不等式恒成立以及判别式列式求解.
14．（2023高二下·揭阳期末）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义运算求解.
15．（2023高二下·揭阳期末）为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有 种．（用数字作答）
【答案】9
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】将这6名选手平均分为三组，分组方案有种，
自A学校的选手不在同一组，分组方案有种，
所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有种．
故答案为：9.
【分析】利用间接法，结合分堆法运算求解.
16．（2023高二下·揭阳期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】由双曲线的定义可得：，可得，
因为，可得，
又因为，由余弦定理可得，
即，整理得，
则，即，所以的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义可得，由向量运算可得，解析余弦定理可得，即可得结果.
四、解答题
17．（2023高二下·揭阳期末）飞盘起源于上世纪50年代，是一项融合了足球、篮球、美式橄榄球等多个项目的运动．某大学生俱乐部为了了解该市大学生对飞盘运动的喜爱程度，在该市所有高等院校中进行问卷调查，并从中随机抽取了200份，整理得到如下列联表：
飞盘运动
喜欢 不喜欢
性别 男生 70 50
女生 35 45
附：．
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
（1）分别求出该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢飞盘运动与性别有关联？
【答案】（1）解：由样本知男大学生中喜欢飞盘运动的频率为，
女大学生中喜欢飞盘运动的频率为，
由样本频率估计总体概率得男大学生中喜欢飞盘运动的概率为，女大学生中喜欢飞盘运动的概率为，
所以估计该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率分别为.
（2）解：零假设为：喜欢飞盘运动与性别无关联，
完善列联表如下：
飞盘运动 合计
喜欢 不喜欢
性别 男生 70 50 120
女生 35 45 80
合计 105 95 200
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢飞盘运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【知识点】独立性检验的应用；等可能事件的概率
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用频率估计概率，运算求解即可；
(2)根据列联表求，并与临界值对比分析.
18．（2023高二下·揭阳期末）已知数列的各项均为正数，，给出以下三个条件：
①；②为等比数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
（1）从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：若将①②作为条件，③作为结论：
设数列的公比为，由，得，
因为数列的各项均为正数，所以，解得，
又，所以，
所以.
若将①③作为条件，②作为结论：
联立，解得，所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以当时，，所以为等比数列.
若将②③作为条件，①作为结论：
设数列的公比为，因为，所以，
则，
又数列的各项均为正数，所以，所以，
所以，即.
（2）解：由（1）得，所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【知识点】等比数列；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】 (1) 根据等比数列的定义和性质分析证明；
(2)由（1）可得，利用错位相减法运算求解.
19．（2023高二下·揭阳期末）为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：
（1）若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为元，求的分布列；；
（2）已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由．
【答案】（1）解：依题意可知产量为190千克的概率为，产量为210千克的概率为，
市场售价是2.5元/千克的概率为，售价是2.7元/千克的概率为，
所以的所有可能取值为475，513，525，567，
所以，
，
则的分布列为：
475 513 525 567
0.16 0.24 0.24 0.36
（2）解：由（1）可得预计明年A品种黄豆收入的均值为
因为，
所以预测后年能大面积推广种植A品种黄豆.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用独立事件概率乘法公式求分布列；
(2) 根据(1)中的分布列求期望，并结合题意分析判断.
20．（2023高二下·揭阳期末）如图，在四棱锥中，，，，，，．
（1）证明：平面平面PBD；
（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：，，
，，
，即：.
且，平面，
平面，即两两垂直.
以为原点，建立如图所示直角坐标系，
易得：，
所以，
所以，
所以，平面，平面，
，且平面，
所以平面PAC，且平面PBD，
所以平面平面PBD；
（2）解：因为，
设平面PBC的法向量为，
则，令，则；
又，
设平面PCD的法向量为
则，令，则；
所以，
所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用向量证明垂直；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证平面，建系，利用空间向量证明面面垂直；
(2) 分别求平面PBC与平面PCD的法向量，利用空间向量求面面夹角.
21．（2023高二下·揭阳期末）已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若，函数，证明：的极小值恒大于．
【答案】（1）解：，
当时，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）解：当时，，
所以.令，则，
所以在上单调递增，
又，
由函数零点存在定理可知存在唯一实数，使得，
即，即.
当时，，即，则单调递减；
当时，，即，则单调递增，
所以.
因为，所以，
所以的极小值恒大于.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，分和两种情况讨论 ，进而可得原函数单调性；
(2) 求导，利用导数判断原函数的单调性，根据零点存在性定理结合零点代换分析判断.
22．（2023高二下·揭阳期末）已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
（1）求的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）解：直线恒过定点，定点坐标为，
由题意可知直线斜率不为0，设直线，
联立，得，
则，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线，与联立得，
则，又，则，解得，
所以直线，即，
同理直线，
又点在上，所以，
消去得，即，
所以，
又，所以，所以，解得，
所以直线，故直线恒过定点.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据抛物线的方程直接运算求解；
(2) 联立直线可得，结合相切关系可得，化简整理即可.
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广东省揭阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·揭阳期末）已知集合，，则（ ）
A． B．且
C． D．
2．（2023高二下·揭阳期末）已知空间向量，，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2023高二下·揭阳期末）的展开式中的系数为（ ）
A．200 B．210 C．220 D．240
4．（2023高二下·揭阳期末）已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·揭阳期末）已知变量x，y的一组相关数据如下表：
x 1 2 3 4 5
y 2.1 a 1.5a 9 10.9
若x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则实数（ ）
A．4.9 B．5 C．5.1 D．5.2
6．（2023高二下·揭阳期末）已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．6 B．7 C． D．
7．（2023高二下·揭阳期末）已知圆锥SA的轴截面是边长为的等边三角形，顶点S和底面圆周上的所有点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·揭阳期末）公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（ ）
A． B． C．4 D．8
二、多选题
9．（2023高二下·揭阳期末）已知直线l：，圆C：，则下列说法错误的是（ ）
A．若或，则直线l与圆C相切
B．若，则圆C关于直线l对称
C．若圆E：与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则
D．若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则
10．（2023高二下·揭阳期末）在中，内角所对的边分别为，，，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为或
11．（2023高二下·揭阳期末）某商场同时销售编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯，一年中销售这三家公司该产品的数量之比为．为更好地做好今后的销售工作，该商场对这一年中购买紫外线消毒灯的顾客进行了电话调查，统计得到购买编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯的顾客满意度分别为93%，90%，90%．现从这些顾客中随机抽取一名顾客进行详细回访，记“顾客购买编号为i的公司生产的紫外线消毒灯”， “顾客对紫外线消毒灯满意”，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高二下·揭阳期末）已知定义在上的函数的导函数为，，，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023高二下·揭阳期末）已知命题p：对，，若p为真命题，则实数a的最小值是 ．
14．（2023高二下·揭阳期末）曲线在点处的切线方程为 ．
15．（2023高二下·揭阳期末）为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有 种．（用数字作答）
16．（2023高二下·揭阳期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ．
四、解答题
17．（2023高二下·揭阳期末）飞盘起源于上世纪50年代，是一项融合了足球、篮球、美式橄榄球等多个项目的运动．某大学生俱乐部为了了解该市大学生对飞盘运动的喜爱程度，在该市所有高等院校中进行问卷调查，并从中随机抽取了200份，整理得到如下列联表：
飞盘运动
喜欢 不喜欢
性别 男生 70 50
女生 35 45
附：．
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
（1）分别求出该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢飞盘运动与性别有关联？
18．（2023高二下·揭阳期末）已知数列的各项均为正数，，给出以下三个条件：
①；②为等比数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
（1）从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；
（2）求数列的前n项和．
19．（2023高二下·揭阳期末）为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：
（1）若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为元，求的分布列；；
（2）已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由．
20．（2023高二下·揭阳期末）如图，在四棱锥中，，，，，，．
（1）证明：平面平面PBD；
（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
21．（2023高二下·揭阳期末）已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若，函数，证明：的极小值恒大于．
22．（2023高二下·揭阳期末）已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
（1）求的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意弦求集合B，进而结合交集运算求解.
2．【答案】A
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】若，则，解得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求，进而可得结果.
3．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为，
则其展开式为，
令，可得，
所以的系数为210.
故答案为：210.
【分析】根据题意可得，结合二项展开式的通项公式运算求解.
4．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知：椭圆过点，且，
可得，解得，
所以的方程为.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：椭圆过点，且，代入方程运算求解即可.
5．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程
【解析】【解答】由题意可得：，
则，可得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据题意求，结合经验回归方程过样本中心点，运算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为，解得，
可得数列的公差为，则 ，
即，且，解得.
故答案为：6.
【分析】根据题意结合等差数列的性质可求，进而可得结果.
7．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意可知：圆锥SA的底面半径，母线，高，
设球的半径为，则，解得，
所以 球O的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据圆锥的结构特征以及球的性质列式可求球的半径，再结合球的体积公式运算求解.
8．【答案】C
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得：
所以 .
故答案为：C.
【分析】由题意可知，结合三角恒等变换运算求解.
9．【答案】A,C
【知识点】点到直线的距离公式；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】因为圆C：，圆心，半径，
对A：若直线l与圆C相切 ，等价于，解得：或，故A错误；
对B：若圆C关于直线l对称 ，等价于，解得，故B正确；
对C：若圆E：与圆C相交，则两圆方程之差即为公共弦的方程，
整理得，则，解得，
此时圆心到直线l：的距离，符合题意，故C错误；
对D：若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则，
解得： ，故D正确；
故选：AC.
【分析】对A：根据直线与圆的位置关系列式求解；对B：根据直线过圆心运算求解；对C：根据相交弦的求法运算求解；对D：根据题意分析可得，进而求解即可.
10．【答案】A,D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】对A：由正弦定理，可得，故A正确；
对B：因为，则，即角为锐角，所以，故B错误；
对C：由余弦定理，即，解得或，故C错误；
对D：若，则的面积为；
若，则的面积为；
综上所述：的面积为或，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】对A：利用正弦定理运算求解；对B：根据同角三角关系运算求解，注意大边对大角的应用；对C：利用余弦定理运算求解；对D：利用面积公式运算求解.
11．【答案】A,B,D
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】由题意可得：，
，
对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对于A、D：根据题意直接可得；对B：根据全概率公式运算求解；对C：根据条件概率公式运算求解.
12．【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数的导数
【解析】【解答】因为为奇函数，则，即关于对称，
可得，则关于对称；
又因为为偶函数，则，即关于对称；
可得，所以是以4为周期的周期函数，
对A：令，则，解得，故A正确；
对B：令，则，故B错误；
对C：因为，故C正确；
对D：因为，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据题意分析可得关于对称，关于对称，且是以4为周期的周期函数.利用赋值法结合相关性质逐项分析判断.
13．【答案】
【知识点】全称量词命题；一元二次不等式的应用
【解析】【解答】由题意可得：对恒成立，
则，解得，
所以实数a的最小值是.
故答案为：.
【分析】由题意可得对恒成立，根据二次不等式恒成立以及判别式列式求解.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义运算求解.
15．【答案】9
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】将这6名选手平均分为三组，分组方案有种，
自A学校的选手不在同一组，分组方案有种，
所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有种．
故答案为：9.
【分析】利用间接法，结合分堆法运算求解.
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】由双曲线的定义可得：，可得，
因为，可得，
又因为，由余弦定理可得，
即，整理得，
则，即，所以的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义可得，由向量运算可得，解析余弦定理可得，即可得结果.
17．【答案】（1）解：由样本知男大学生中喜欢飞盘运动的频率为，
女大学生中喜欢飞盘运动的频率为，
由样本频率估计总体概率得男大学生中喜欢飞盘运动的概率为，女大学生中喜欢飞盘运动的概率为，
所以估计该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率分别为.
（2）解：零假设为：喜欢飞盘运动与性别无关联，
完善列联表如下：
飞盘运动 合计
喜欢 不喜欢
性别 男生 70 50 120
女生 35 45 80
合计 105 95 200
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢飞盘运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【知识点】独立性检验的应用；等可能事件的概率
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用频率估计概率，运算求解即可；
(2)根据列联表求，并与临界值对比分析.
18．【答案】（1）解：若将①②作为条件，③作为结论：
设数列的公比为，由，得，
因为数列的各项均为正数，所以，解得，
又，所以，
所以.
若将①③作为条件，②作为结论：
联立，解得，所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以当时，，所以为等比数列.
若将②③作为条件，①作为结论：
设数列的公比为，因为，所以，
则，
又数列的各项均为正数，所以，所以，
所以，即.
（2）解：由（1）得，所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【知识点】等比数列；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】 (1) 根据等比数列的定义和性质分析证明；
(2)由（1）可得，利用错位相减法运算求解.
19．【答案】（1）解：依题意可知产量为190千克的概率为，产量为210千克的概率为，
市场售价是2.5元/千克的概率为，售价是2.7元/千克的概率为，
所以的所有可能取值为475，513，525，567，
所以，
，
则的分布列为：
475 513 525 567
0.16 0.24 0.24 0.36
（2）解：由（1）可得预计明年A品种黄豆收入的均值为
因为，
所以预测后年能大面积推广种植A品种黄豆.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用独立事件概率乘法公式求分布列；
(2) 根据(1)中的分布列求期望，并结合题意分析判断.
20．【答案】（1）证明：，，
，，
，即：.
且，平面，
平面，即两两垂直.
以为原点，建立如图所示直角坐标系，
易得：，
所以，
所以，
所以，平面，平面，
，且平面，
所以平面PAC，且平面PBD，
所以平面平面PBD；
（2）解：因为，
设平面PBC的法向量为，
则，令，则；
又，
设平面PCD的法向量为
则，令，则；
所以，
所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用向量证明垂直；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证平面，建系，利用空间向量证明面面垂直；
(2) 分别求平面PBC与平面PCD的法向量，利用空间向量求面面夹角.
21．【答案】（1）解：，
当时，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）解：当时，，
所以.令，则，
所以在上单调递增，
又，
由函数零点存在定理可知存在唯一实数，使得，
即，即.
当时，，即，则单调递减；
当时，，即，则单调递增，
所以.
因为，所以，
所以的极小值恒大于.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，分和两种情况讨论 ，进而可得原函数单调性；
(2) 求导，利用导数判断原函数的单调性，根据零点存在性定理结合零点代换分析判断.
22．【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）解：直线恒过定点，定点坐标为，
由题意可知直线斜率不为0，设直线，
联立，得，
则，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线，与联立得，
则，又，则，解得，
所以直线，即，
同理直线，
又点在上，所以，
消去得，即，
所以，
又，所以，所以，解得，
所以直线，故直线恒过定点.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据抛物线的方程直接运算求解；
(2) 联立直线可得，结合相切关系可得，化简整理即可.
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