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高中数学人教新课标A版 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性
一、选择题
1．下列函数中是奇函数的是（ ）
A．f（x）＝x2＋3 B．f（x）＝1－x3
C．f（x）＝ D．f（x）＝x＋1
2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋ ，则f（－1）＝（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．2
3．已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与直线 有4个交点，则方程 的所有实根之和是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－3x，则函数f（x）在R上的解析式是（ ）
A．f（x）＝－x（2x－3） B．f（x）＝x（2|x|－3）
C．f（x）＝|x|（2x－3） D．f（x）＝|x|（2|x|－3）
5．下面四个说法：
①奇函数的图象关于坐标原点对称；
②某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
其中正确说法的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A．f（π）＞f（－3）＞f（－2） B．f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C．f（π）＜f（－3）＜f（－2） D．f（π）＜f（－2）＜f（－3）
7．已知f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，若f（－4）＝10，则f（4）＝（ ）
A．16 B．－10 C．10 D．－16
8．已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2a＋3 B．2a＋6 C．6－2a D．6
9．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2018高一上·黑龙江期末）已知 是定义在 上的偶函数，且有 .则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
12．已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
13．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
14．奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式 的解集为（ ）
A．(﹣1，0)∪(1，+∞) B．(﹣∞，﹣1)∪(0，1)
C．(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞) D．(﹣1，0)∪(0，1)
15．设 是奇函数，对任意的实数 有 ，且当 时， ，则 在区间 上（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
二、填空题
16．设函数f（x）＝ 为奇函数，则实数a＝ .
17．若函数f（x）＝（2k－3）x2＋（k－2）x＋3是偶函数，则f（x）的递增区间是 ．
18．已知f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2＋5x＋1.若当x∈[1，3]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为 ．
19．若 为奇函数,则实数m= .
20．已知 是偶函数，当 时， ，则当 时， ．
21．已知函数 是定义在 上的奇函数，若 则 .
三、解答题
22．已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且当x 0时，f（x）＝3x－2，求函数f（x）的解析式．
23．判定下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝ ；
（2）f（x）＝ ；
（3）f（x）＝ ；
（4）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|.
24．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝－2x2＋4x＋3.
（1）求f（x）的表达式；
（2）画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间．
25．判断下列函数的奇偶性．
（1）f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；
（2）f(x)＝ ；
（3）f(x)＝ ；
（4）f(x)＝
26．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有 .
（1）若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
（2）若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
27．已知定义在 上的函数满足 ，当 时， .
（1）求证： 为奇函数；
（2）求证： 为 上的增函数；
（3）解关于 的不等式： (其中 且 为常数).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】由奇、偶函数的定义得f（x）＝x2＋3为偶函数，f（x）＝1－x3为非奇非偶函数，f（x）＝ 为奇函数，f（x）＝x＋1为非奇非偶函数．
故答案为:C.
【分析】由奇、偶函数的定义进行判断即可得到正确选项.
2．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】f（－1）＝－f（1）＝－2.
故答案为:A.
【分析】根据地奇函数的性质求函数值.
3．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的零点
【解析】【解答】偶函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）与直线 的四个交点也关于y轴对称．因此，设y轴右侧一交点的横坐标为x1，则它关于y轴对称的交点的横坐标为－x1；设y轴右侧另一交点的横坐标为x2，则它关于y轴对称的交点的横坐标为－x2.故 的四根之和为x1＋（－x1）＋x2＋（－x2）＝0.
故答案为:D.
【分析】由偶函数y＝f（x）的图象关于y轴对称,其图象与直线 y = 1 的个交点也关于y轴对称,从而可求出其和为0.
4．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】∵f（x）在R上是偶函数，且x≥0时，f（x）＝2x2－3x，
∴当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝2（－x）2＋3x＝2x2＋3x，
则f（x）＝f（－x）＝2x2＋3x＝－x（－2x－3）．
又当x≥0时，f（x）＝2x2－3x＝x（2x－3），因此f（x）＝|x|（2|x|－3）．
故答案为:D.
【分析】根据函数的奇偶性及函数在y轴一侧的解析式,利用偶函数的图象关于y轴对称,可求出函数在y轴另一偶的解析式.
5．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】根据奇函数性质知其图象一定关于坐标原点对称，故①正确；
函数f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，故②正确；
函数y＝ 是奇函数，但其图象不过原点，故③错；
函数y＝ 是偶函数，但不与y轴相交，故④错．故正确的有2个.
故答案为:B.
【分析】(1)(2)可由函数的奇偶性的性质作判断,(3)(4)可用实例说明不正确.
6．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵f（x）是奇函数，f（x）在[0，＋∞）上是增函数，
∴f（x）在R上为增函数，
又∵ ，
∴f（π）＞f（－2）＞f（－3）.
故答案为:B.
【分析】由奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数,可推出函数f(x)在R上是增函数,从而可比较三个函数值的大小.
7．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，
得f（x）＋3＝2x5＋ax3＋bx，令g（x）＝f（x）＋3，
则g（x）是奇函数．∴g（－4）＝－g（4），
即f（－4）＋3＝－f（4）－3.又f（－4）＝10，
∴f（4）＝－f（－4）－6＝－10－6＝－16.
故答案为：D.
【分析】将函数f(x)的一部分设为奇函数g(x)，利用奇函数的性质求函数值.
8．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6.
故答案为:D.
【分析】由奇函数f(x)的对称性得到F(x)的对称性,从而得到F(x)在区间是的最大值与最小值的和.
9．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】A中函数不是奇函数；B中函数不是奇函数；C中函数是奇函数，在定义域上不具有单调性；D中函数是奇函数并且是增函数.
故答案为:D.
【分析】对函数的偶性和单调性同时判断,找到正确选项.
10．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】∵ 是定义在 上的偶函数，∴
又
∴
故答案为：A
【分析】由偶函数的性质将函数值得转化,即可得到正确选项.
11．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】根据题意知F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
故答案为:B.
【分析】由奇偶函数的定义,判断复合函数的奇偶性.
12．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 是定义域上的奇函数，所以 ，所以 ，故答案为:B．
【分析】由函数的奇偶性结合条件可得f(6)=-f(0),从而可求f(6).
13．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；函数的图象
【解析】【解答】当 时， 在（0，+∞）内是减函数，过点（0，1），
又 是偶函数,当 时， 在（ ，0）内是增函数，
结合反比例函数的图象可知选C.
故答案为:C.
【分析】对于含有绝对值的函数,先分段得单调性,再结合奇偶性对图象作判断.
14．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由函数的奇偶性可知 即 ， ，
又∵奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，∴可画图如下，
由图可知： .
故答案为:C.
【分析】利用奇偶性结合函数图象求解.
15．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】设 ，由已知条件有 ，因为 ，所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递减，所以在区间 上函数 的最大值为 .
故答案为:C.
【分析】利用抽象函数所满足的条件,研究单调性,结合奇偶性求解.
16．【答案】
【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解法一：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即
＝ ，得a＝ .
解法二：由f（－1）＝－f（1），可得a＝ .
故答案为：
【分析】由奇函数就满足的条件得到关于参数a的方程，求a的值.
17．【答案】
【知识点】偶函数；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为f（x）是偶函数，所以k－2＝0，即k＝2.
∴f（x）＝x2＋3，则f（x）的图象是开口向上的抛物线．
∴f（x）的递增区间为 ．
故答案为: [ 0 , + ∞)
【分析】由偶函数应满足的条件求解.
18．【答案】
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】当x＜0时，f（x）＝2x2＋5x＋1，且f（x）是奇函数，
当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝2x2－5x＋1.
故当x＞0时，f（x）＝－f（－x）＝－2x2＋5x－1.
∴当x∈ 时，f（x）是增函数；
当x∈ 时，f（x）是减函数．
因此当x∈[1，3]时，f（x）max＝ ＝ ，f（x）min＝f（3）＝－4.
∴m＝ ，n＝－4.
故答案为:m－n＝ .
【分析】先由函数的奇偶性求出函数在y轴的另一侧的解析式,分别求出最值,刘到结果.
19．【答案】-2
【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】依题意得 .
又函数 是奇函数,于是有 ,即 ,则 .
故答案为:-2
【分析】结合奇函数的定义,得到关于m的方程求m.
20．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】设 ，则 ，由 时， ，得 ，又 是偶函数，则 .
故答案为: .
【分析】已知偶函数在y轴的一偶的解析式,由对称性可求另一偶的解析式.
21．【答案】-3
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
将 代入(1)式可得 .
所以
故答案为:-3
【分析】由奇函数的性质,将F(-2)和f(-2)互相表示,再用复合函数求f(0)的值.
22．【答案】解：当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝3（－x）－2＝－3x－2.
又∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x），
∴f（x）＝－3x－2.
∴所求函数的解析式为f（x）＝
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】已知偶函数在y轴一偶的解析式,由对称性求出在y轴另一偶的解析式.从而得到函数的解析式.
23．【答案】（1）解：f（x）的定义域是（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数
（2）解：f（x）的定义域是{－1,1}，关于原点对称，且f（－1）＝f（1）＝0，∴f（－1）＝f（1），且
f（－1）＝－f（1），
∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数
（3）解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称，
又 ，∴f（x）是奇函数
（4）解：f（x）的定义域为R，
又f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），
∴f（x）是偶函数
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【分析】判断函数的奇偶性,先观察定义是否关于原点对称,再结合定义进行判断.
24．【答案】（1）解：设x＜0，则－x＞0，
于是f（－x）＝－2（－x）2－4x＋3＝－2x2－4x＋3.
又∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．
因此f（x）＝2x2＋4x－3.
又∵f（0）＝0，
∴f（x）＝
（2）解：先画出y＝f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x＜0）的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1，0）和（0，1]，减区间为（－∞，－1]和[1，＋∞）．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】(1)由奇函数在y轴一偶的解析式,由对称性可求出在y轴另一偶的解析式;
(2)函数是分段函数,作出图象,由图象观察得到单调区间.
25．【答案】（1）解：虽然f(－x)＝f(x)，但定义域不关于原点对称，
故f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]是非奇非偶函数
（2）解：由 得－1≤x<0，或0故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
且有x＋2>0.从而有f(x)＝ ＝ ＝ ，
于是f(－x)＝－ ＝－f(x)．故函数f(x)为奇函数
（3）解：∵ ≥0，∴－1≤x<1.
∴定义域不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数
（4）解：当x>0时， x<0 ,f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x；
当x<0时， x>0,f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【分析】函数奇偶性的判断,先观察定义域是否关于原点对称,再由定义进行判断.
26．【答案】（1）解：∵a＞b，∴a－b＞0，
∵ ，∴ ，∴ f(a)＋f(－b)＞0.
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)
（2）解：由（1）可知f(x)为R上的单调递增函数，
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，
∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.
∴实数m的取值范围为(－∞，4]
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】(1)将条件不等式结合奇偶性转化为函数的单调性求解;
(2)将函数不等式结合奇偶性进行转化,由单调性脱去f得关于m的不等式求解.
27．【答案】（1）解：由题意知 ，令 ，得 ，即 .
再令 ，即 ，得 .
∴ ，
∴ 是奇函数
（2）解：设 ，且 ，则 .
由已知得： ，
∴ ，
∴ .
即 在 上是增函数
（3）解：∵ ，∴ ，
∴ .
即 .
∵ ，∴ .
当 ，即 时，所求不等式的解集为 或 .
当 ，即 时， 所求不等式的解集为 .
当 ，即 时， 所求不等式的解集为 或
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】(1)抽象函数的奇偶性判断，可由函数所满足的条件，取特殊值，得到f(x)与f(-x)的关系进行判断；
(2)抽象函数的单调性，用定义证明；
(3)将函数不等式进行转化为标准型，由单调性脱去f得到关于x的含参数a的不等式，分类讨论求解，得解集.
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高中数学人教新课标A版 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性
一、选择题
1．下列函数中是奇函数的是（ ）
A．f（x）＝x2＋3 B．f（x）＝1－x3
C．f（x）＝ D．f（x）＝x＋1
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】由奇、偶函数的定义得f（x）＝x2＋3为偶函数，f（x）＝1－x3为非奇非偶函数，f（x）＝ 为奇函数，f（x）＝x＋1为非奇非偶函数．
故答案为:C.
【分析】由奇、偶函数的定义进行判断即可得到正确选项.
2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋ ，则f（－1）＝（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】f（－1）＝－f（1）＝－2.
故答案为:A.
【分析】根据地奇函数的性质求函数值.
3．已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与直线 有4个交点，则方程 的所有实根之和是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的零点
【解析】【解答】偶函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）与直线 的四个交点也关于y轴对称．因此，设y轴右侧一交点的横坐标为x1，则它关于y轴对称的交点的横坐标为－x1；设y轴右侧另一交点的横坐标为x2，则它关于y轴对称的交点的横坐标为－x2.故 的四根之和为x1＋（－x1）＋x2＋（－x2）＝0.
故答案为:D.
【分析】由偶函数y＝f（x）的图象关于y轴对称,其图象与直线 y = 1 的个交点也关于y轴对称,从而可求出其和为0.
4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－3x，则函数f（x）在R上的解析式是（ ）
A．f（x）＝－x（2x－3） B．f（x）＝x（2|x|－3）
C．f（x）＝|x|（2x－3） D．f（x）＝|x|（2|x|－3）
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】∵f（x）在R上是偶函数，且x≥0时，f（x）＝2x2－3x，
∴当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝2（－x）2＋3x＝2x2＋3x，
则f（x）＝f（－x）＝2x2＋3x＝－x（－2x－3）．
又当x≥0时，f（x）＝2x2－3x＝x（2x－3），因此f（x）＝|x|（2|x|－3）．
故答案为:D.
【分析】根据函数的奇偶性及函数在y轴一侧的解析式,利用偶函数的图象关于y轴对称,可求出函数在y轴另一偶的解析式.
5．下面四个说法：
①奇函数的图象关于坐标原点对称；
②某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
其中正确说法的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】根据奇函数性质知其图象一定关于坐标原点对称，故①正确；
函数f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，故②正确；
函数y＝ 是奇函数，但其图象不过原点，故③错；
函数y＝ 是偶函数，但不与y轴相交，故④错．故正确的有2个.
故答案为:B.
【分析】(1)(2)可由函数的奇偶性的性质作判断,(3)(4)可用实例说明不正确.
6．设奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A．f（π）＞f（－3）＞f（－2） B．f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C．f（π）＜f（－3）＜f（－2） D．f（π）＜f（－2）＜f（－3）
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵f（x）是奇函数，f（x）在[0，＋∞）上是增函数，
∴f（x）在R上为增函数，
又∵ ，
∴f（π）＞f（－2）＞f（－3）.
故答案为:B.
【分析】由奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数,可推出函数f(x)在R上是增函数,从而可比较三个函数值的大小.
7．已知f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，若f（－4）＝10，则f（4）＝（ ）
A．16 B．－10 C．10 D．－16
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，
得f（x）＋3＝2x5＋ax3＋bx，令g（x）＝f（x）＋3，
则g（x）是奇函数．∴g（－4）＝－g（4），
即f（－4）＋3＝－f（4）－3.又f（－4）＝10，
∴f（4）＝－f（－4）－6＝－10－6＝－16.
故答案为：D.
【分析】将函数f(x)的一部分设为奇函数g(x)，利用奇函数的性质求函数值.
8．已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2a＋3 B．2a＋6 C．6－2a D．6
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6.
故答案为:D.
【分析】由奇函数f(x)的对称性得到F(x)的对称性,从而得到F(x)在区间是的最大值与最小值的和.
9．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】A中函数不是奇函数；B中函数不是奇函数；C中函数是奇函数，在定义域上不具有单调性；D中函数是奇函数并且是增函数.
故答案为:D.
【分析】对函数的偶性和单调性同时判断,找到正确选项.
10．（2018高一上·黑龙江期末）已知 是定义在 上的偶函数，且有 .则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】∵ 是定义在 上的偶函数，∴
又
∴
故答案为：A
【分析】由偶函数的性质将函数值得转化,即可得到正确选项.
11．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】根据题意知F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
故答案为:B.
【分析】由奇偶函数的定义,判断复合函数的奇偶性.
12．已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 是定义域上的奇函数，所以 ，所以 ，故答案为:B．
【分析】由函数的奇偶性结合条件可得f(6)=-f(0),从而可求f(6).
13．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；函数的图象
【解析】【解答】当 时， 在（0，+∞）内是减函数，过点（0，1），
又 是偶函数,当 时， 在（ ，0）内是增函数，
结合反比例函数的图象可知选C.
故答案为:C.
【分析】对于含有绝对值的函数,先分段得单调性,再结合奇偶性对图象作判断.
14．奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式 的解集为（ ）
A．(﹣1，0)∪(1，+∞) B．(﹣∞，﹣1)∪(0，1)
C．(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞) D．(﹣1，0)∪(0，1)
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由函数的奇偶性可知 即 ， ，
又∵奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，∴可画图如下，
由图可知： .
故答案为:C.
【分析】利用奇偶性结合函数图象求解.
15．设 是奇函数，对任意的实数 有 ，且当 时， ，则 在区间 上（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】设 ，由已知条件有 ，因为 ，所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递减，所以在区间 上函数 的最大值为 .
故答案为:C.
【分析】利用抽象函数所满足的条件,研究单调性,结合奇偶性求解.
二、填空题
16．设函数f（x）＝ 为奇函数，则实数a＝ .
【答案】
【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解法一：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即
＝ ，得a＝ .
解法二：由f（－1）＝－f（1），可得a＝ .
故答案为：
【分析】由奇函数就满足的条件得到关于参数a的方程，求a的值.
17．若函数f（x）＝（2k－3）x2＋（k－2）x＋3是偶函数，则f（x）的递增区间是 ．
【答案】
【知识点】偶函数；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为f（x）是偶函数，所以k－2＝0，即k＝2.
∴f（x）＝x2＋3，则f（x）的图象是开口向上的抛物线．
∴f（x）的递增区间为 ．
故答案为: [ 0 , + ∞)
【分析】由偶函数应满足的条件求解.
18．已知f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2＋5x＋1.若当x∈[1，3]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为 ．
【答案】
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】当x＜0时，f（x）＝2x2＋5x＋1，且f（x）是奇函数，
当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝2x2－5x＋1.
故当x＞0时，f（x）＝－f（－x）＝－2x2＋5x－1.
∴当x∈ 时，f（x）是增函数；
当x∈ 时，f（x）是减函数．
因此当x∈[1，3]时，f（x）max＝ ＝ ，f（x）min＝f（3）＝－4.
∴m＝ ，n＝－4.
故答案为:m－n＝ .
【分析】先由函数的奇偶性求出函数在y轴的另一侧的解析式,分别求出最值,刘到结果.
19．若 为奇函数,则实数m= .
【答案】-2
【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】依题意得 .
又函数 是奇函数,于是有 ,即 ,则 .
故答案为:-2
【分析】结合奇函数的定义,得到关于m的方程求m.
20．已知 是偶函数，当 时， ，则当 时， ．
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】设 ，则 ，由 时， ，得 ，又 是偶函数，则 .
故答案为: .
【分析】已知偶函数在y轴的一偶的解析式,由对称性可求另一偶的解析式.
21．已知函数 是定义在 上的奇函数，若 则 .
【答案】-3
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
将 代入(1)式可得 .
所以
故答案为:-3
【分析】由奇函数的性质,将F(-2)和f(-2)互相表示,再用复合函数求f(0)的值.
三、解答题
22．已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且当x 0时，f（x）＝3x－2，求函数f（x）的解析式．
【答案】解：当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝3（－x）－2＝－3x－2.
又∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x），
∴f（x）＝－3x－2.
∴所求函数的解析式为f（x）＝
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】已知偶函数在y轴一偶的解析式,由对称性求出在y轴另一偶的解析式.从而得到函数的解析式.
23．判定下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝ ；
（2）f（x）＝ ；
（3）f（x）＝ ；
（4）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|.
【答案】（1）解：f（x）的定义域是（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数
（2）解：f（x）的定义域是{－1,1}，关于原点对称，且f（－1）＝f（1）＝0，∴f（－1）＝f（1），且
f（－1）＝－f（1），
∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数
（3）解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称，
又 ，∴f（x）是奇函数
（4）解：f（x）的定义域为R，
又f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），
∴f（x）是偶函数
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【分析】判断函数的奇偶性,先观察定义是否关于原点对称,再结合定义进行判断.
24．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝－2x2＋4x＋3.
（1）求f（x）的表达式；
（2）画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间．
【答案】（1）解：设x＜0，则－x＞0，
于是f（－x）＝－2（－x）2－4x＋3＝－2x2－4x＋3.
又∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．
因此f（x）＝2x2＋4x－3.
又∵f（0）＝0，
∴f（x）＝
（2）解：先画出y＝f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x＜0）的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1，0）和（0，1]，减区间为（－∞，－1]和[1，＋∞）．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】(1)由奇函数在y轴一偶的解析式,由对称性可求出在y轴另一偶的解析式;
(2)函数是分段函数,作出图象,由图象观察得到单调区间.
25．判断下列函数的奇偶性．
（1）f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；
（2）f(x)＝ ；
（3）f(x)＝ ；
（4）f(x)＝
【答案】（1）解：虽然f(－x)＝f(x)，但定义域不关于原点对称，
故f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]是非奇非偶函数
（2）解：由 得－1≤x<0，或0故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
且有x＋2>0.从而有f(x)＝ ＝ ＝ ，
于是f(－x)＝－ ＝－f(x)．故函数f(x)为奇函数
（3）解：∵ ≥0，∴－1≤x<1.
∴定义域不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数
（4）解：当x>0时， x<0 ,f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x；
当x<0时， x>0,f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【分析】函数奇偶性的判断,先观察定义域是否关于原点对称,再由定义进行判断.
26．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有 .
（1）若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
（2）若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：∵a＞b，∴a－b＞0，
∵ ，∴ ，∴ f(a)＋f(－b)＞0.
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)
（2）解：由（1）可知f(x)为R上的单调递增函数，
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，
∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.
∴实数m的取值范围为(－∞，4]
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】(1)将条件不等式结合奇偶性转化为函数的单调性求解;
(2)将函数不等式结合奇偶性进行转化,由单调性脱去f得关于m的不等式求解.
27．已知定义在 上的函数满足 ，当 时， .
（1）求证： 为奇函数；
（2）求证： 为 上的增函数；
（3）解关于 的不等式： (其中 且 为常数).
【答案】（1）解：由题意知 ，令 ，得 ，即 .
再令 ，即 ，得 .
∴ ，
∴ 是奇函数
（2）解：设 ，且 ，则 .
由已知得： ，
∴ ，
∴ .
即 在 上是增函数
（3）解：∵ ，∴ ，
∴ .
即 .
∵ ，∴ .
当 ，即 时，所求不等式的解集为 或 .
当 ，即 时， 所求不等式的解集为 .
当 ，即 时， 所求不等式的解集为 或
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】(1)抽象函数的奇偶性判断，可由函数所满足的条件，取特殊值，得到f(x)与f(-x)的关系进行判断；
(2)抽象函数的单调性，用定义证明；
(3)将函数不等式进行转化为标准型，由单调性脱去f得到关于x的含参数a的不等式，分类讨论求解，得解集.
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