第21章 一元二次方程单元测试题（含解析）

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第21章 一元二次方程 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．5（x﹣1）＝3x B．+x2＝0 C．3x2﹣x＝0 D．x（x﹣1）＝y
2．关于x的一元二次方程x2＝5x﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1，﹣5，﹣1 B．﹣1，﹣5，﹣1 C．1，﹣5，1 D．1，5，1
3．若方程x2+kx﹣3＝0有一个根是1，则另一个根是（　　）
A．1 B． C．﹣3 D．2
4．将方程3x2﹣9x+2＝0配方成（x+m）2＝n的形式为（　　）
A． B．
C．（x﹣3）2＝ D．
5．若关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值不可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．某公司去年10月份的营业额为2500万元，后来公司改变营销策略，12月份的营业额达到3780万元，已知12月份的增长率是11月份的1.3倍，求11月份的增长率，设11月份的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．2500（1+x）（1+1.3x）＝3780
B．2500（1+x）2＝3780
C．2500（1+1.3x）2＝3780
D．2500（1+2.3x）＝3780
7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．已知实数m，n满足（m2+n2）2﹣2（m2+n2）＝3，则m2+n2的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
9．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
10．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　）
A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．当a＝　 　时，xa﹣1﹣5x＝3是关于x的一元二次方程．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
13．某单位要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），计划安排36场比赛，应邀请 　 　支球队参加比赛．
14．新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为　 　．
15．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则该菱形的面积为 　 　．
16．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为　 　．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+5＝0； （2）（x+2）2﹣3（x+2）＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．
20．（9分）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；（不要写自变量取值范围）
（2）商店销售这种商品是否能获得1080元利润？如果可以，求出该商品销售单价；如果不行，请说明理由．
21．（9分）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？
（2）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A．方程5（x﹣1）＝3x是一元一次方程，不符合题意；
B．方程+x2＝0是分式方程，不符合题意；
C．方程3x2﹣x＝0是一元二次方程，符合题意；
D．方程x（x﹣1）＝y是二元二次方程，不符合题意．
故选：C．
2．【解答】解：由原方程得到：x2﹣5x+1＝0，则该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣5，1．
故选：C．
3．【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1×t＝﹣3，
解得t＝﹣3，
即方程的另一个根为﹣3．
故选：C．
4．【解答】解：3x2﹣9x+2＝0，
x2﹣3x+＝0，
x2﹣3x＝﹣，
x2﹣3x+（）2＝﹣+（）2，
（x﹣）2＝，
故选：A．
5．【解答】解：根据题意得，Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤2，
∴k的取值不可以是3．
故选：D．
6．【解答】解：设11月份的增长率为x，则12月份的增长率是1.3x，故11月份的营业额为2500（1+x），12月份的营业额为2500（1+x）（1+1.3x），
依题意可列方程为：2500（1+x）（1+1.3x）＝3780．
故选：A．
7．【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．
则x的值是12．
故选：B．
8．【解答】解：m2+n2＝y，则原方程换元为 y2﹣2y﹣3＝0，
∴（y﹣3）（y+1）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1，
即 m2+n2＝3或 m2+n2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴m2+n2＝3．
故选：A．
9．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的根，
∴m2+m﹣2023＝0，
∴m2＝﹣m+2023，
∴m2+2m+n＝﹣m+2023+2m+n＝m+n+2023，
∵m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝﹣1+2023＝2022．
故选：D．
10．【解答】解：分两种情况：
当x＞﹣x时，即x＞0时，
∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，
∴x＝x2﹣3x﹣5，
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1（舍去）；
当x＜﹣x时，即x＜0时，
∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，
∴﹣x＝x2﹣3x﹣5，
整理得：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+（舍去），x2＝1﹣；
综上所述：x＝5或x＝1﹣，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：由题意，得a﹣1＝2，
解得a＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，
解得：k＜9，
故答案为：k＜9．
13．【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛，由题意得：，
整理得x2﹣x﹣72＝0（x+8）（x﹣9）＝0，
解得：x1＝﹣8（舍），x2＝9，
∴应邀请9支球队参加比赛，
故答案为：9．
14．【解答】解：草坪可整理为一个矩形，长为（40﹣2x）米，宽为（26﹣x）米，
即列的方程为（40﹣2x）（26﹣x）＝800，
故答案为（40﹣2x）（26﹣x）＝800．
15．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得到x＝4或5，
∴菱形的对角线长分别为4和5，
∴菱形的面积＝×4×5＝10，
故答案为：10．
16．【解答】解：
∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝4，mn＝﹣3，
∴+＝＝﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝0，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣5+4，即（x﹣2）2＝﹣1，
∴方程没有实数根；
（2）（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣3）＝0，
x+2＝0或x+2﹣3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1．
18．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
19．【解答】解：（1）（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0，
整理得：x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+k）＝1＞0；
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∴x1＝k，x2＝k+1，
∵x2＝k+1＞k＝x1，
∴x2＝k+1为对角线，
（k+1）2＝k2+52，
解得：k＝12．
20．【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
根据函数图象知，该直线经过点（30，100），（40，50），将其分别代入y＝kx+b，
得，
解得．
即：y与x之间的函数解析式为y＝﹣5x+250；
（2）若商店销售这种商品能获得1080元利润，
则（x﹣20）（﹣5x+250）＝1080，
解得x1＝32，x2＝38．
答：商店销售这种商品能获得1080元利润，销售单价为32元或38元．
21．【解答】解：（1）设x2＝y，
则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣1，
当y1＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝﹣1，x2＝﹣1，此方程无解．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，
∴（m+3n）（m+3n﹣2）＝2（m+3n）﹣4，
设m+3n＝t，
则t（t﹣2）＝2t﹣4，
整理得：t2﹣4t+4＝（t﹣2）2＝0，
解得：t＝2，
∴m+3n＝2，
∴4m+12n﹣3＝4（m+3n）﹣3＝4×2﹣3＝5．
22．【解答】解：（1）经过x秒钟，四边形APQC的面积等于16cm2，
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．
∴
∴，
∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，
∴BP＝AB﹣AP＝5﹣x，BQ＝2x，
∴，
∴x2﹣5x+4＝0，
解得x＝1或x＝4（舍去），
∴经过1秒钟，四边形APQC的面积等于16cm2；
（2）△PQB的面积不能等于9cm2，理由如下：
同（1）得，
∴x2﹣5x+9＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×9×1＝﹣11＜0，
∴此方程无解，
∴△PQB的面积不能等于9cm2．