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第十七章 勾股定理
第1课时17.2勾股定理的逆定理
一、温故知新（导）
1.直角三角形有哪些性质
(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.
2.一个三角形，满足什么条件是直角三角形
(1)有一个角是直角；(2)有两个角的和是90°.
上面的方法是从角的角度考虑，能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗 这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
学习重难点
重点：探究并证明勾股定理的逆定理及定理的应用.
难点：用同一法证明勾股定理的逆定理.
二、自我挑战（思）
1、据说，古埃及人曾用这样的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
（1）上述三角形的三边满足什么数量关系？
（2）你认为这个结论正确吗？
2、以下面各组数为边长的三角形，是直角三角形吗？(单位：cm)
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（1）画一画：分别以这些数为三边长画出三角形；
（2）算一算：每组中较小两个数的平方和与较大数的平方之间有什么关系？
（3）量一量：用量角器分别测量三角形中最大角的度数；
（4）想一想：试着判断这些三角形的形状，并提出猜想.
猜想：命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
（5）这个命题是真命题吗？
【证明猜想】
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
分析：在△ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助全等三角形的性质来说明∠C是直角.
证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.
由勾股定理可得A'B'2=a2+b2.
∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2.
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).
即△ABC是直角三角形.
（6）互逆命题
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1与命题2的题设、结论正好相反. 我们把像这样的两个命题叫做 .
如果我们把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
如：把命题1叫做原命题，那么命题2就是命题1的逆命题.
（7）互逆定理
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
总结归纳：
勾股定理的逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
这个命题是真命题，也是一个定理，可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形.
3、下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a5，b12，c13；(2) a6，b7，c8；(3) a1，b2，c.
4、勾股数：像5，12，13这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为 勾股数 .
三、互动质疑（议、展）
1、原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？
原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（ ）
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ）
原命题：如果两直线平行，那么同位角相等.（ ）
逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行.（ ）
结论：原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
2、命题1与命题2的关系
3、实例：
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a15，b8，c17；(2) a13，b14，c15.
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15
2、下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5
3、下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A．三角形中有两个角互为余角
B．三角形中三个内角之比为3：4：5
C．三角形中的三边之比为5：12：13
D．三角形中有两个内角的差等于第三个内角
4、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
5、测得一块三角形麦田的三边长分别为5m,12m,13m,则这块麦田的面积为 m2．
6、如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由．
六、用
（一）必做题
1、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠C=∠A-∠B B．a：b：c=5：12：13
C．（c-a）（c+a）=b2 D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
2、以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=2：3：5
C．AB：BC：AC=3：4：5 D．AB=13，BC=5，AC=12
3、下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6
C．5，12，13 D．，，
4、在△ABC中，AC=2，BC=3，当AB= 时，△ABC是直角三角形．
5、下列各组数：①1、2、3；②6、8、10；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41；其中是勾股数的有 （填序号）．
（二）选做题
6、像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m2-1，c=m2+1，那么a,b,c为勾股数．你认为对吗？请说明理由．
7、如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AC=4，BC=3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
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第十七章 勾股定理
第1课时17.2勾股定理的逆定理
一、温故知新（导）
1.直角三角形有哪些性质
(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.
2.一个三角形，满足什么条件是直角三角形
(1)有一个角是直角；(2)有两个角的和是90°.
上面的方法是从角的角度考虑，能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗 这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
学习重难点
重点：探究并证明勾股定理的逆定理及定理的应用.
难点：用同一法证明勾股定理的逆定理.
二、自我挑战（思）
1、据说，古埃及人曾用这样的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
（1）上述三角形的三边满足什么数量关系？
324252
（2）你认为这个结论正确吗？
正确
2、以下面各组数为边长的三角形，是直角三角形吗？(单位：cm)
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（1）画一画：分别以这些数为三边长画出三角形；
（2）算一算：每组中较小两个数的平方和与较大数的平方之间有什么关系？
2.52626.52， 6282102.
（3）量一量：用量角器分别测量三角形中最大角的度数；
900.
（4）想一想：试着判断这些三角形的形状，并提出猜想.
猜想：命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
（5）这个命题是真命题吗？
【证明猜想】
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
分析：在△ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助全等三角形的性质来说明∠C是直角.
证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.
由勾股定理可得A'B'2=a2+b2.
∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2.
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).
即△ABC是直角三角形.
（6）互逆命题
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1与命题2的题设、结论正好相反. 我们把像这样的两个命题叫做 互逆命题 .
如果我们把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
如：把命题1叫做原命题，那么命题2就是命题1的逆命题.
（7）互逆定理
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
总结归纳：
勾股定理的逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
这个命题是真命题，也是一个定理，可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形.
3、下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a5，b12，c13；(2) a6，b7，c8；(3) a1，b2，c.
答：(1) 52+122132，是直角三角形.
(2) 62+7282，不是直角三角形.
(3) 12+()222，是直角三角形.
4、勾股数：像5，12，13这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为 勾股数 .
三、互动质疑（议、展）
1、原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？
原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（ 真命题 ）
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ 假命题 ）
原命题：如果两直线平行，那么同位角相等.（ 真命题 ）
逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行.（ 真命题 ）
结论：原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
2、命题1与命题2的关系
3、实例：
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a15，b8，c17；(2) a13，b14，c15.
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.
解：(1)∵1528222564289
172289
∴15282172
∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)∵132142169196365
152225
∴132142152
∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15
1、解：A、，2， 中，， 不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
B、，， 不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵12+12≠22，∴不能构成勾股数，不符合题意；
D、∵92+122=152，∴能构成勾股数，符合题意．
故选：D．
2、下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5
2、解A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+（）2=7，（）2=5，
∴（）2+（）2（）2，
∴不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵42+62=52，92=81，
∴42+62≠92，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵42+32=25，52=25，
∴42+32=52，
∴能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
3、下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A．三角形中有两个角互为余角
B．三角形中三个内角之比为3：4：5
C．三角形中的三边之比为5：12：13
D．三角形中有两个内角的差等于第三个内角
3、解：A、三角形中有两个角互为余角，则另一个为90°，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、∵三角形中三个内角之比为3：4：5，
∴最大内角为180°×＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、设三角形3个内角分别是∠A，∠B，∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠B=∠C，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
4、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
4、解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，
又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x,第三个数为x+1，
根据勾股定理的逆定理，得：112+x2=（x+1）2，
解得x=60．
则得第5组数是：11，60，61．
故答案为：11，60，61．
5、测得一块三角形麦田的三边长分别为5m,12m,13m,则这块麦田的面积为 m2．
5、解：∵52+122=132，
∴三边长分别为5m、12m、13m的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5m、12m,
∴此三角形的面积为×5×12=30m2．
故答案为：30．
6、如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由．
6、解：∵每个小正方形的边长都是1，
∴AB2=32+22=13，BC2=62+42=52，AC2=12+82=65，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
六、用
（一）必做题
1、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠C=∠A-∠B B．a：b：c=5：12：13
C．（c-a）（c+a）=b2 D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
1、解：A、∵∠C=∠A-∠B，∴∠A=90°，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、（5x）2+（12x）2=（13x）2，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、∵（c-a）（c+a）=b2，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
2、以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=2：3：5
C．AB：BC：AC=3：4：5 D．AB=13，BC=5，AC=12
2、解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
3x+4x+5x=180，
解得：x=15，
则5x°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，
∴设∠A=2x°，∠B=3x°，∠C=5x°，
2x+3x+5x=180，
解得：x=18，
则5x°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵32+42=52，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵52+122=132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
3、下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6
C．5，12，13 D．，，
3、解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不合题意；
B、52+42≠62，不能构成直角三角形，不合题意；
C、52+122=132，能构成直角三角形，符合题意；
D、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
故选：C．
4、在△ABC中，AC=2，BC=3，当AB= 时，△ABC是直角三角形．
4、解：在△ABC中，AC=2，BC=3，
当BC为直角三角形的直角边时，
AB==；
当BC为直角三角形的斜边时，
AB==．
故答案为：或．
5、下列各组数：①1、2、3；②6、8、10；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41；其中是勾股数的有 （填序号）．
5、解：①1、2、3不属于勾股数；
②6、8、10属于勾股数；
③0.3、0.4、0.5不属于勾股数；
④9、40、41属于勾股数；
∴勾股数只有2组．
故答案为：②④.
（二）选做题
6、像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m2-1，c=m2+1，那么a,b,c为勾股数．你认为对吗？请说明理由．
6、解：a,b,c为勾股数，理由如下：
∵a2+b2
=（2m）2+（m2-1）2
=m4+2m2+1．
又c2=（m2+1）2=m4+2m2+1，
∴a2+b2=c2．
即：a,b,c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．
∴a,b,c为勾股数．
7、如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AC=4，BC=3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
7、解：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵BC=3，DB=，
∴CD===，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵AC=4，
∴AD==；∵BD=，∴AB=5，
∵AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
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