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第十七章 勾股定理
第2课时17.2勾股定理的逆定理
一、温故知新（导）
你还记得勾股定理和它的逆定理吗
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
学习重难点
重点：应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
二、自我挑战（思）
1、如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
（1）题目已知了哪些信息？
“远航”、“海天”号的速度，运行时间，QR30，“远航”号的航向.
（2）由题目信息，可以得出什么？
PQ，PR， QR的长度，QPN45°(即下图中∠145°).
（3）需要解决的问题是什么？
求出两艘船航向所成的角∠QPR，结合图形，∠1已知，所以求∠QPR就可以转化为求∠2.
（4）已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？
勾股定理的逆定理
2、请同学们尝试写出解题过程.
解：由题意得：
PQ161.524，PR121.518，QR30
∵242182302，即PQ2PR2QR2
∴QPR90°
由“远航”号沿东北方向航行可知145°
∴245°
即“海天”号沿西北方向航行.
三、互动质疑（议、展）
1、除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？
如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格.
2、
解：∵ABDC8，ADBC6，
∴AB2BC28262100
又∵AC29281
∴AB2BC2AC2
∴ABC90°
∴该农民挖的不合格.
2、归纳总结：
解决实际问题的步骤：
（1）标注有用信息，明确已知和所求；
（2）构建几何模型——从整体到局部；
（3）应用数学知识求解.
3、实例：
例2 工厂生产一批零件，如图所示，当BAD、BDC均为直角时才合格，经测量AD3，AB4，BD5，DC12，BC13，这批零件是否合格？
解：∵AD3，AB4，BD5 ，
易得AD2AB2BD2，
∴由勾股定理的逆定理得，△ABD是直角三角形BAD90°.
又∵BD5，DC12，BC13
可得BD2DC2BC2 ，
∴△BCD为直角三角形，BAD90°.
∴这批零件合格.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（ ）
A．4cm,5cm,8cm B．3cm,4cm,5cm
C．3cm,4cm,8cm D．3cm,5cm,8cm
1、解：∵42+52=41≠82，故A不符合题意；
∵42+32=25=52，故B符合题意；
∵3+4＜8，不能组成三角形，故C不符合题意；
∵3+5=8，不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：B．
2、如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余
2、解：若AB2+BC2=AC2，
则△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
故选：C．
3、李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm,40cm和50cm,则这个教具 （填“合格”或“不合格”）．
3、解：合格，
理由是：∵302+402=502，
∴三边为30cm,40cm和50cm的三角形是直角三角形，
所以合格，
故答案为：合格．
4、明明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，则∠A+∠B的度数是 ．
4、解：∵从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，
∴AB=41，BC=40，AC=9，
由勾股定理的逆定理得：412=402+92，
∴△ACB是直角三角形，AB是斜边，
∴∠A+∠B=90°．
故答案为：90°．
5、在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB=6.5千米，CD=6千米，BD=2.5千米．求证：CD⊥AB．
5、证明：由题知BD=2.5，CD=6，BC=6.5，
在三角形BCD中，BD2+CD2=BC2，
∴三角形BCD是直角三角形，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB．
六、用
（一）必做题
1、古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于180° D．勾股定理
1、解：设相邻两个结点的距离为m,则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m,
∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故选：B．
2、如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点 构成直角三角形（请填“能”或“不能”）
2、解：能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2．
3、如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接AC，测出CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，AD⊥CD，求需要绿化部分的面积 ．
3、解：∵∠ADC=90°，
∴AC2=AD2+CD2=16+9=25，
∵AC2+BC2=25+144=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
需要绿化部分的面积=S△ACB-S△ACD=×AC BC-AD×CD=×5×12-×4×3=24（m2）．
故答案为：24m2．
4、某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是 米2．
4、解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，
∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米，
∵CD=12米，DA=13米，
∴△ACD为直角三角形，
∴草坪的面积等于=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36米2．
故答案为36．
5、如图，小圆家（点C）和小方家（点B）相距2.6km,他们同时从学校（点A）放学回家，5分钟后同时到家．已知小方沿东北方向每分钟骑车480m,小圆每分钟步行200m,请求出小圆家在学校的什么方位．
5、解：由题意得：AB=5×480=2400=2.4km,AC=5×200=1000=1km,
∵BC=2.6km,
∴2.42+12=2.62，
即AC2+AB2=BC2，
∴小西家在学校北偏西45°方向上．
（二）选做题
6、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
解：∵42+32=52，52+122=132，
即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，
同理，∠ACD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=×3×4+×5×12
=6+30
=36．
7、如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
7、解：设MN与AC相交于E，则∠BEC=90°
∵AB2+BC2=52+122=132=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，
由S△ABC=AB×BC=AC×BE，得BE=（海里），
由CE2+BE2=122，得CE=（海里），
∴÷13=≈0.85（h）=51（min）
9时50分+51分=10时41分．
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．
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第2课时17.2勾股定理的逆定理
一、温故知新（导）
你还记得勾股定理和它的逆定理吗
我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
学习重难点
重点：应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
二、自我挑战（思）
1、如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
（1）题目已知了哪些信息？
（2）由题目信息，可以得出什么？
（3）需要解决的问题是什么？
（4）已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？
2、请同学们尝试写出解题过程.
三、互动质疑（议、展）
1、除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？
如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格.
2、归纳总结：
解决实际问题的步骤：
（1）标注有用信息，明确已知和所求；
（2）构建几何模型——从整体到局部；
（3）应用数学知识求解.
3、实例：
例2 工厂生产一批零件，如图所示，当BAD、BDC均为直角时才合格，经测量AD3，AB4，BD5，DC12，BC13，这批零件是否合格？
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（ ）
A．4cm,5cm,8cm B．3cm,4cm,5cm
C．3cm,4cm,8cm D．3cm,5cm,8cm
2、如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余
3、李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm,40cm和50cm,则这个教具 （填“合格”或“不合格”）．
4、明明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，则∠A+∠B的度数是 ．
5、在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB=6.5千米，CD=6千米，BD=2.5千米．求证：CD⊥AB．
六、用
（一）必做题
1、古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于180° D．勾股定理
2、如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点 构成直角三角形（请填“能”或“不能”）
3、如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接AC，测出CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，AD⊥CD，求需要绿化部分的面积 ．
4、某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是 米2．
5、如图，小圆家（点C）和小方家（点B）相距2.6km,他们同时从学校（点A）放学回家，5分钟后同时到家．已知小方沿东北方向每分钟骑车480m,小圆每分钟步行200m,请求出小圆家在学校的什么方位．
（二）选做题
6、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
7、如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
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