吉林省长春市11高中2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

长春市11高中2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知全集，设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．某物体做直线运动，其运动规律是，则它在第4秒末的瞬时速度为（ ）
A．米/秒 B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒
3．已知函数，则的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．随着疫情结束，自行车市场逐渐回暖，通过调查，收集了5家商家对某个品牌的自行车的售价x（百元）和月销售量y（百辆）之间的一组数据，如下表所示：
价格x 9.6 9.9 10 10.2 10.3
销售y 10.2 9.3 m 8.4 8.0
根据计算可得y与x的经验回归方程是：，则m的值为（ ）
A．8.8 B．8.9 C．9 D．9.1
5．已知，，，的夹角为．如图所示，若，，且D为BC的中点，则的长度为（ ）
A． B． C．7 D．8
6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）
（附：若，则，，）
A．0.1587 B．0.02275 C．0.0027 D．0.0014
7．己知定义在R上的函数满足，，当时，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．若数列满足，，且对于都有，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题“，”的否定为“，”
B．若，，则
C．若幂函数在区间上是减函数，则或
D．方程有一个正实根，一个负实根，则．
10．已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．xy的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11．深州蜜桃是河北省特产，已有近两千年的栽培史，其主要特点是个头大，每个重约250克，果型秀美，色泽淡黄中又衬有鲜红色，皮薄肉细，汁既多又甜，古时就有“北国之桃，深州最佳”之说．假设某种植园成熟的深州蜜桃单果质量M（单位：g）服从正态分布，且，．（ ）
A．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选1个，则这个蜜桃的质量小于248g的概率为0.45
B．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选1个，则这个蜜桃的质量在的概率为0.25
C．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，则这2个蜜桃的质量都小于248g的概率为0.16
D．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，则这2个中至少有1个蜜桃的质量在的概率为0.8775
12．已知函数，，则下列结论中正确的有（ ）
A．必有唯一极值点
B．若，则在上极小值1
C．若，对有恒成立，则
D．若存在，使得成立，则
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若向量，，则在上的投影向量的坐标为______．
14．如图，在小地图中，一机器人从点出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点，已知每次向上移动1格的概率是．向右移动1格的概率是，则该机器人6秒后到达点的概率为______．
15．某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为5%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，，，…，为数列的前n项和，则______（，答案精确到1）．
16．己知不等式恰有1个整数解，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18－22题每题12分，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列的首项为，且满足，数列满足，且．
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求．
18．己知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）在上的最大值记作，求的表达式．
19．为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下2×2列联表：
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 20 20
不优秀 10 50
合计
（1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；
（2）用样本频率估计每一位同学数学成绩优秀的概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少？（注：必须有求解演算过程）
参考公式：，其中．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分．全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立．
（1）记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差；
（2）若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
（3）在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望．
21．已知等比数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
22．已知函数，．（为自然对数的底数）
（1）当时，求函数的极大值；
（2）已知，，且满足，求证：．
长春市11高中2022-2023学年高二下学期期末考试
数学答案
1．C
2．B
3．B 【详解】因为，，
所以由零点存在性定理知，的零点所在的区间为（1，2）．故选：B．
4．D 【详解】价格平均，则，
销售量，解得．故选：D．
5．A 【详解】在中，D为BC的中点，所以，
又，，所以，
所以
即的长度为．故选：B．
6．B 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为X，则，
所以，，
由题意，，且，，
因为，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为
，故选：B．
7．D 【详解】由可得为奇函数，又，则，故，故周期为2．
故
．故选：D
8．B 【详解】因为对于都有，
，令，所以，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
所以，所以，
所以，，……，，，
将这项累加，则，，
所以，，
则，
所以
．故选：B．
9．AD 【详解】A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，A选项正确．
B选项，若，，如，，，，则，B选项错误．
C选项，函数是幂函数，
所以，，解得或，不符合减函数
所以C选项错误．
D选项，设，则有两个零点，
且两个一正一负，则，所以D选项正确，故选：AD
10．ABD 【详解】A选项，因为，，所以，即，解得，
当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，因为，，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，B正确；
C选项，由基本不等式得，
故，故，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C错误；
D选项，因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，D正确．故选：ABD
11．BC 【详解】因为，所以，所以A错误．
因为，
所以，所以B正确．
因为，所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，
则这2个蜜桃的质量都小于248g的概率为，所以C正确．
因为，所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，
则这2个中至少有1个蜜桃的质量在的概率为
，所以D错误．故选：BC
12．BC 【详解】对于A选项，当时，，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递增，则函数无极值点，A错；
对于B选项，当时，，则，
令可得，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，当时，在上有极小值，B对；
对于C选项，当时，有恒成立，即恒成立．
当时，则有，此时，，
当时，由可得，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，故．综上所述，，C对；
对于D选项，若存在，使得，可得，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，所以，，
所以，，解得，D错．故选：BC．
13． 【详解】，，所以，
在上的投影向量为，
14． 【详解】由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次
则所求概率为：
15．9920 【详解】由题知，，，，…，，
由得，
则，解得，
所以，
则是以800为首项，1.05为公比的等比数列，
因，
所以．
16． 【详解】原不等式等价于，
设，，令，得
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，取极大值，又，且时，，
因此的图像如下．
直线恒过点．
当有无数个整数解，不满足条件；
当时，只需要满足，即，解得．
则实数的取值范围为．故答案为．
17．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，
∴，
当时，上式成立，∴
又因为，，所以，
所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列，所以，
所以．
（2）由（1），，②
所以，①（或者直接列）
，②（或者列）
所以①－②得，
所以．所以（或者直接错位相减求）
18．【详解】（1）解：函数的定义域为，
则．
当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；
当时，由，可得，由，可得．
此时，函数的增区间为，减区间为．
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为．
（2）解：由（1）知，当时，函数在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，此时，．
综上所述，．
19．【详解】（1）零假设：数学成绩与物理成绩无关联， ．卡方代入式子
算出
和比较
根据小概率值的独立性检验，有充分证据证明推断不成立，
故能认为数学成绩与物理成绩有关联，这个推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）由频率估计概率可得，
任取一个学生数学成绩优秀的概率为，
设12个学生中数学成绩优秀的人数为，随机变量，
人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值．
，
设最大，则，即
解得，因，则，故时，
取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．
20．【详解】（1）由题设，X服从参数为的两点分布，
，．
，．（期望、方差分别得1分）
（2）记A表示事件：“甲投完第一个三分点位的五个球得到了2分”；记B表示事件：“甲投中花球”，则
，于是．
（2）由题设Y值可取5，6，7，则
；；．
于是
21．【详解】（1）设等比数列的公比为q，
当时，有，则①
当时，，两式相减可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比数列的通项公式为．
（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，
所以，
则，
设，则是递增数列，
当n为偶数时，恒成立，即，所以；
当n为奇函数时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是．
22．【详解】（1）当时，，定义域为，
则，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为
（2）由题意知，，由可得，
所以，令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，
令，，又，，所以，，则
①若，则，即，所以；
②若，设，且满足，如图所示，
则，所以，下证：．
令，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
又因为，所以，，，
所以，即，
又因为，所以，即．
由①②可知，得证.