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第6章 实数
第2课时6.1平方根
一、温故知新（导）
1、什么是算术平方根？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
2、求下列各式的值.
（1）的算术平方根是 ；
（2）的算术平方根是 ；
你知道有多大吗？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.会用计算器求一个数的算术平方根；
2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值；
3.理解无限不循环小数的概念.
学习重难点
重点：夹逼法及估计一个(无理)数的大小.
难点：会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律.
二、自我挑战（思）
1、能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
图6.1-1
如图6.1-1，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
（1）你知道这个大正方形的边长是多少吗？
（2）小正方形的对角线的长是多少呢？
2、有多大呢？
因为 12=1，22=4，所以 ＜＜ ；
因为 1.42=1.96，1.52=2.25，所以 ＜＜ ；
因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 ＜＜ ；
因为 1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以 ＜＜ ；
……
如此下去，可以得到的更精确的近似值.事实上，=1.414213562373…，它是一个 小数.(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.)
实际上，许多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循环小数.
3、在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术平方根(或其近似值).
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
三、互动质疑（议、展）
1、如何估计一个正数算术平方根的大小？
2、你能估算出的近似值吗(精确到0.01)？
3、实例：
例2.用计算器求下列各式的值:
(1) (2) (精确到0.001)
注：计算器上显示的1.4142135623731是的近似值.
4、下面我们来看引言中提出的问题：
由=gR，=2gR，得=，=，其中g9.8，R6.4.
用计算器求v1和v2（用科学计数法把结果写成a的形式，其中a保留小数点后一位），得
7.9，
.
因此，第一宇宙速度大约是7.9m/s，第二宇宙速度大约是1.1m/s.
5、用计算器计算下列算术平方根，你发现了什么规律？
规律：
被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;
被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
6、 用计算器计算≈ (精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说≈ ，≈ ，≈ 的近似值.
你能根据的值说出是多少吗？
例3 小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3 : 2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（ ）
A． B． C． D．
2、估计的值（ ）
A．在4到5之间 B．在3到4之间
C．在2到3之间 D．在5到6之间
3、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（ ）
A．12.17 B．±1.868 C．1.868 D．-1.868
4、比较下列两实数的大小：-2 -．
5、若利用计算器求得≈2.573，≈8.136，则根据此值估计6619的算术平方根是 ．
6、已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求a2+（b+3）2．
六、用
（一）必做题
1、利用计算器求的值，正确的按键顺序为（ ）
A． B．
C． D．
2、利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
3、利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根据以上规律，若=1.30，≈4.11，则=（ ）
A．13.0 B．130 C．41.1 D．411
4、比较大小： 1．（填“＞”，“=”或“＜”）
5、利用计算器，得≈0.2236，≈0.7071，≈2.236，≈7.071，按此规律，可得的值约为 ．
数学课上老师要同学们用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．小红不知道能否裁得出来，正在发愁．小华说：“别愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小华的说法吗？小红能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
（二）选做题
7、（1）用计算器计算：=
=
=
=
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想：= ，并通过计算器验证你的猜想．
8、数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为＞4，所以-2 2，所以 （填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：=，因为19＞42=16，所以-4 0，所以 0，所以 （填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
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第6章 实数
第2课时6.1平方根
一、温故知新（导）
1、什么是算术平方根？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
2、求下列各式的值.
（1）的算术平方根是 2 ；
（2）的算术平方根是 ；
你知道有多大吗？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.会用计算器求一个数的算术平方根；
2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值；
3.理解无限不循环小数的概念.
学习重难点
重点：夹逼法及估计一个(无理)数的大小.
难点：会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律.
二、自我挑战（思）
1、能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
图6.1-1
如图6.1-1，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
（1）你知道这个大正方形的边长是多少吗？
解：设大正方形的边长为x dm，则
x2 = 2
由算术平方根的意义可知
x =
所以大正方形的边长是 dm.
（2）小正方形的对角线的长是多少呢？
解： x =
小正方形的对角线的长即为大正方形的边长.
2、有多大呢？
因为 12=1，22=4，所以 1 ＜＜ 2 ；
因为 1.42=1.96，1.52=2.25，所以 1.4 ＜＜ 1.5 ；
因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 1.41 ＜＜ 1.42 ；
因为 1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以 1.414 ＜＜ 1.415 ；
……
如此下去，可以得到的更精确的近似值.事实上，=1.414213562373…，它是一个 无限不循环 小数.(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.)
实际上，许多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循环小数.
3、在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术平方根(或其近似值).
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
三、互动质疑（议、展）
1、如何估计一个正数算术平方根的大小？
对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.
2、你能估算出的近似值吗(精确到0.01)？
解：∵ 22=4，32=9，∴ 2<<3.
∵ 2.2 =4.84，2.3 =5.29，
∴ 2.2<<2.3.
∵ 2.23 =4. 9729，2.24 =5. 0176，
∴ 2.23 <<2.24.
∵ 2.2362 =4.999696，2.2372 =5.004169，
∴ 2.236<<2.237，
∴ ≈2.24.
3、实例：
例2.用计算器求下列各式的值:
(1) (2) (精确到0.001)
解：(1)依次按键3136=，显示：56，∴ =56
(2)依次按键2=，显示：1.4142135623731，∴ ≈1.414
注：计算器上显示的1.4142135623731是的近似值.
4、下面我们来看引言中提出的问题：
由=gR，=2gR，得=，=，其中g9.8，R6.4.
用计算器求v1和v2（用科学计数法把结果写成a的形式，其中a保留小数点后一位），得
7.9，
.
因此，第一宇宙速度大约是7.9m/s，第二宇宙速度大约是1.1m/s.
5、用计算器计算下列算术平方根，你发现了什么规律？
规律：
被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 1 位;
被开方数的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 1 位.
6、 用计算器计算≈ 1.732 (精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说≈ 0.1732 ，≈ 17.32 ，≈ 173.2 的近似值.
你能根据的值说出是多少吗？
不能
例3 小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3 : 2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为 3x cm ，宽为 2x cm，根据边长与面积的关系得
3x 2x = 300，
6x2 = 300 ，
x2 = 50，
x = ，
因此长方形纸片的长为 3 cm .
∵50 > 49，∴ > 7.
由上可知 3 > 21，
则长方形纸片的长应该大于 21 cm.
∵ = 20，∴正方形纸片的边长只有 20 cm.
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（ ）
A． B． C． D．
1、解：根据计算器的相关知识，可知答案为A．
故选：A．
2、估计的值（ ）
A．在4到5之间 B．在3到4之间
C．在2到3之间 D．在5到6之间
2、解：∵16＜20＜25，
∴4＜＜5，
即的值在4到5之间，
故选：A．
3、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（ ）
A．12.17 B．±1.868 C．1.868 D．-1.868
3、解：利用计算器开方求=1.868．
故选：C．
4、比较下列两实数的大小：-2 -．
4、解：∵2=＜，
∴-2＞-．故答案为：＞．
5、若利用计算器求得≈2.573，≈8.136，则根据此值估计6619的算术平方根是 ．
5、解：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
∵≈8.136，
∴≈81.36．
故答案为：81.36．
6、已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求a2+（b+3）2．
6、解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部是3，即a=3，则b=-3．
∴a2+（b+3）2=32+（-3+3）2=9+10=19．
六、用
（一）必做题
1、利用计算器求的值，正确的按键顺序为（ ）
A． B．
C． D．
1、解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是D选项中的顺序．
故选：D．
2、利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
2、解：∵≈2.646，
∴与最接近的是2.6，
故选：B．
3、利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根据以上规律，若=1.30，≈4.11，则=（ ）
A．13.0 B．130 C．41.1 D．411
3、解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
∵16.9×100=1690，≈4.11，
∴=41.1．
故选：C．
4、比较大小： 1．（填“＞”，“=”或“＜”）
4、解：∵2＜＜3，
∴+1＞3，
∴＞1．
故答案为：＞．
5、利用计算器，得≈0.2236，≈0.7071，≈2.236，≈7.071，按此规律，可得的值约为 ．
5、解：由题意知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
∵≈2.236，
∴≈22.36，
故答案为：22.36．
数学课上老师要同学们用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．小红不知道能否裁得出来，正在发愁．小华说：“别愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小华的说法吗？小红能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
6、解：∵正方形纸片的面积为900cm2，
∴正方形的边长为30cm,
设长方形纸片的长和宽分别为：5a、4a,
∴5a 4a=800，即a2=40，
∴a＝，
∴5a＝5＞30，
4a＝4×，
∴不能裁剪出符合要求的纸片．
（二）选做题
7、（1）用计算器计算：= 3
= 33
= 333
= 3333
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想：= 33333 ，并通过计算器验证你的猜想．
7、解：（1）= 3
= 33
= 333
= 3333 故答案为：3，33，333，3333；
（2）根据以上可以得出：根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3；
（3）试运用发现的规律可得：= 33333．
故答案为：33333．
8、数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为＞4，所以-2 ＞ 2，所以 ＞ （填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：=，因为19＞42=16，所以-4 ＞ 0，所以 ＞ 0，所以 ＞ （填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
解：（1）小华的方法是：
因为＞4，所以-2＞2，所以＞，
小英的方法是：=，因为19＞42=16，所以-4＞0，所以＞0，所以＞，故答案为：＞，＞，＞，＞，＞；
（2）如果选择小华的方法，
∵＜3，
∴ 1＜2，
∴＜，
如果选择小英的方法，
==，
∵6＜9，
∴＜3，
∴-3＜0，
∴＜0，
∴＜．
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