黑龙江省牡丹江市2023年中考数学试题
1．（2023·牡丹江）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
B、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．（2023·牡丹江）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得：x+1≥0，
解得x≥-1.
故答案为：B.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x+1≥0，求解即可.
3．（2023·牡丹江）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2·a4=a6，故错误；
B、3a3-a3=a3，故错误；
C、(ab2)3=a3b6，故正确；
D、(a+b)2=a2+b2+2ab，故错误.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；根据完全平方公式可判断D.
4．（2023·牡丹江）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．12°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°.
∵∠AOB=4∠BOC，
∴∠BOC=30°，
∴∠BAC=∠BOC=15°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=120°，结合∠AOB=4∠BOC可得∠BOC的度数，根据圆周角定理可得∠BAC=∠BOC，据此计算.
5．（2023·牡丹江）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，
∴(x+5)÷2=6，
∴x=7，
∴该组数据为1、5、7、7，
∴平均数为=5.
故答案为：B.
【分析】根据有唯一众数，且中位数是6可得x的值，然后根据平均数的计算方法进行计算.
6．（2023·牡丹江）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图、左视图可得：该几何体有2层3列，最底层最多有6个正方体，第二层有1个正方体，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是6+1=7个.
故答案为：B.
【分析】由主视图、左视图可得：该几何体有2层3列，然后确定出每层正方体的个数，据此解答.
7．（2023·牡丹江）观察下面两行数：取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92 B．87 C．83 D．78
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加法
【解析】【解答】解：观察可得：第二行的第7个数为1+2+3+4+5+6+7=28，则第一行的第7个数为28×2-1=55，
∴55+28=83.
故答案为：C.
【分析】观察可得：第二行的第7个数为1+2+3+4+5+6+7=28，则第一行的第7个数为28×2-1=55，然后求和即可.
8．（2023·牡丹江）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：设C（2，a），则E（1，a+2），
∴2×a=1×(a+2)，
∴a=2，
∴C（2，2），
∴k=2×2=4.
故答案为：B.
【分析】设C（2，a），则E（1，a+2），根据点C、E在反比例函数图象上可得2×a=1×(a+2)，求出a的值，得到点C的坐标，进而可得k的值.
9．（2023·牡丹江）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，
∴x=a+1.
∵方程的解为负数，
∴a+1<0且a+1≠-2，
解得a<-1且a≠-3.
故答案为：D.
【分析】给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，则x=a+1，由方程的解为负数可得a+1<0且a+1≠-2，求解即可.
10．（2023·牡丹江）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面直径为r，则πr=，
解得r=4.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的底面直径为r，然后根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出底面圆的直径.
11．（2023·牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图①，∵四边形ABCD为矩形，AB=8，AD=12，
∴AB=CD=8，BC=AD=12，∠BAD=∠B=90°.
由折叠可得∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF为矩形.
∵AF=AB=8，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=EF=AB=8，∠BEF=90°.
如图②，由折叠可得FM=CM，
∵EM2+EF2=FM2且EM=8-BM，FM=CM=12-BM，
∴(8-BM)2+82=(12-BM)2，
∴BM=2.
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，BC=AD=12，∠BAD=∠B=90°，由折叠可得∠AFE=∠B=90°，AF=AB，则四边形ABEF为正方形，BE=EF=AB=8，∠BEF=90°，由折叠可得FM=CM，然后利用勾股定理计算即可.
12．（2023·牡丹江）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，
∴a<0，b>0，c>0，
∴<0，故①错误；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴对称轴为直线x=，
∴b=-a.
∵4a-2b+c=0，
∴-4b-2b+c=0，
∴c=6b，故②错误；
∵|--|<|-|<|-3-|，
∴y3>y1>y2，故③正确；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，
∴=-6，
∴cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，但不能求出x1、x2，故④错误.
故答案为：D.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由题意可得对称轴为直线x=，则b=-a，根据图象过点（-2，0）可得4a-2b+c=0，将b=-a代入即可判断②；根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大可判断③；由题意可得ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，则=-6，cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，据此判断④.
13．（2023·牡丹江）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共余册．数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：16000000=1.6×107.
故答案为：1.6×107.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
14．（2023·牡丹江）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可）
【答案】或或
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C.
由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，
故应添加一组对应边相等，即AB=CD或AO=DO或BO=CO.
故答案为：AB=CD或AO=DO或BO=CO.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠D，∠B=∠C，由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
15．（2023·牡丹江）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BD⊥OA，过C作CE⊥OA，
∵∠AOB=45°，B的读数为2cm，
∴OD=BD=2.
∵∠AOC=22.5°，
∴=tan22.5°=-1，
∴OD==，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm.
故答案为：.
【分析】过B作BD⊥OA，过C作CE⊥OA，易得OD=BD=2，利用三角函数的概念求出OE的值，据此可得C在尺上的读数.
16．（2023·牡丹江）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有9种情况，其中甲获胜的情况数为3，
∴甲获胜的概率为=.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及甲获胜的情况数，然后利用概率公式进行计算.
17．（2023·牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，由题意可得5000(1+x)2=7200，
解得x=20%.
故答案为：20%.
【分析】设平均增长率为x，则4月份盈利5000(1+x)元，5月份盈利5000(1+x)2元，然后根据5月份盈利达到7200元建立方程，求解即可.
18．（2023·牡丹江）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线
为y=(x+3-m)2-1.
将（0，0）代入可得(3-m)2=1，
解得m=2或4，
∴应向右平移2或4个单位长度.
故答案为：2或4.
【分析】将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线
为y=(x+3-m)2-1，然后将（0，0）代入求出m的值即可.
19．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，AB=2，A（1，0），∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边上的高为2×sin60°=，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴C1的坐标为（1-，3）或（1+，-3）.
故答案为：（1-，3）或（1+，-3）.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD=2，根据三角函数的概念可得AB边上的高为2×sin60°=，据此不难得到点C1的坐标.
20．（2023·牡丹江）如图，在正方形中，E在边上，交对角线于点F，于M，的平分线所在直线分别交，于点N，P，连接．下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是 ．
【答案】①④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：记N到PC的距离为h，则.
∵CM⊥BE，四边形ABCD为正方形，
∴∠CME=90°，∠PCN=45°.
∵MN平分∠CME，
∴∠CMN=∠EMN=∠PMF=45°=∠PCN.
∵∠MPF=∠NPC，
∴△MPF∽△PCN，
∴，∠PFM=∠PNC，
∴.
同理可得△NCM∽△NPC，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵∠PMF=45°=∠PCE，
∴∠PCE+∠EMN=180°，
∴M、F、C、N四点共圆，
∴∠FNC=∠FMC=90°，
∴FN∥BC，
∴△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN·CD=EC·FN，故③错误；
∵EM=1，BM=4，
∴BE=5.
∵正方形ABCD，CM⊥BE，
∴∠BCD=∠BMC=∠EMC=90°，
∴∠MEC=∠BCM，
∴△CME∽△BMC，
∴CM2=BM·ME=4，
∴CM=2，
∴CE=，BC==AB，
同理可得△CEF∽△ABF，
∴，
∴EF=BF，
∴EF=BE=，BF=，
∴FM=BM-BF=.
∵△PMF=∠ACB=45°，∠PFM=∠BFC，
∴△PMF∽△BCF，
∴.
∵△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN=EC=，
∴CN=EC-EN=，
∴CF=CN=，
∴，
∴PM=，故④正确；
同理可得△EMN∽△ECF，
∴，
∴MN=，
∴PN=PM+MN=+=，
∴CM≠PN，故②错误.
故答案为：①④.
【分析】记N到PC的距离为h，则，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△MPF∽△PCN，△NCM∽△NPC，结合相似三角形的性质即可判断①；易证△EFN∽△EBC，根据相似三角形的性质即可判断③；根据正方形的性质以及同角的余角相等可得∠MEC=∠BCM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CME∽△BMC，根据相似三角形的性质可得CM，然后求出CE、BC，同理可得△CEF∽△ABF，得到EF=BF，则EF=BE=，然后求出BF、FM的值，证明△PMF∽△BCF，△EFN∽△EBC，根据相似三角形的性质可得EN，然后求出CN，CF，PM，据此判断④；证明△EMN∽△ECF，根据相似三角形的性质可得MN，然后求出PN，据此判断②.
21．（2023·牡丹江）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母利用平方差公式分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得x的值，接下来代入计算即可.
22．（2023·牡丹江）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求的面积．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【答案】（1）抛物线经过点，，
，
解这个方程组，得．
抛物线对应的解析式．
点的坐标为 ．
（2）如图，连接OP．
，，，，
，
，
．
，
．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（1） 点是抛物线的顶点坐标，
，即：，，
．
【分析】（1）将A（-1，0）、B（4，0）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式，然后根据顶点坐标公式就可得到顶点P的坐标；
（2）连接OP，然后根据S△BCP=S△OCP+S△OBP-S△BOC结合三角形的面积公式进行计算.
23．（2023·牡丹江）在中，，，，D为的中点，以为直角边作含角的，，且点E与点A在的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段的长．
【答案】解：作图如下，
满足条件的线段的长为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，当时，
∵在中，，，
∴，又，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
如图，当时，
∵，
∴
在中，，则，
在中，，则，
综上，满足条件的线段的长为或．
【分析】当∠CED=90°时，由余角的性质可得∠BAC=30°，根据三角函数的概念可得AB、AC的值，由直角三角形斜边上中线的性质可得OD=BD=AD=AB=2，推出△BCD为等边三角形，得到∠BCD=∠BDC=60°，∠ACD=30°，进而求出CE的值，推出△ACE是等边三角形，据此求解；当∠CDE=30°时，∠ADE=90°，然后根据三角函数的概念求解即可.
24．（2023·牡丹江）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：．“龙江奶”；．“龙江肉”；．“龙江米”；．“龙江杂粮”；．“龙江菜”；．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中类的百分比是 ▲ ；
（3）如果该社区有人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
【答案】（1）解：∵项关注的人数为人，项关注占总人数的百分数为，
∴本次参与调查的总人数有（人）；
（2）解：∵本次参与调查的总人数是人，项关注人数所占百分数为，
∴项关注的人数为（人），
∴项关注的人数为（人），
∴项所占百分数为；
∴如图所示，
故答案为；
（3）解：∵项关注人数为人，本次调查的总人数为人，
∴该社区关注关注“龙江杂粮”的居民有（人）；
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用E的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数乘以B所占的比例求出对应的人数，然后求出C的人数，利用C的人数除以总人数，然后乘以100%可得所占的比例，根据B、C的人数即可补全条形统计图；
（3）利用D的人数除以调查的总人数，然后乘以4000即可.
25．（2023·牡丹江）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 ，乙车行驶的速度是 ．
（2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
【答案】（1）120；80
（2）解：设线段所在直线的解析式为．
将，代入，得．
解得．
线段所在直线的解析式为．
（3）解：在中，当时，，
∴，
由（1）可得乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地，
则乙到达目的地时，甲距离A地的距离为，
∴，，
设乙车出发时，两车距各自出发地路程的差是，
当时，此时甲在到达C地前，
由，
解得，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在C地休息，则，
解得，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在返回B地中，则
解得，（不合题意，舍去）
综上，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是．
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可得D（3，360），即甲出发3h后与A地相距360km，故甲的速度为360÷3=120km/h；
由题意可得：乙出发1.5h行驶了120km，故乙车的速度为120÷1.5=80km/h.
故答案为：120，80.
【分析】（1）由图可得D（3，360），即甲出发3h后与A地相距360km，由题意可得：乙出发1.5h行驶了120km，然后根据路程÷时间=速度进行求解；
（2）设直线MN所在直线的解析式为y=kx+b，将（1.5，360）、（3，240）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数关系式；
（3）令（2）关系式中的y=0，求出x的值，得到点N的坐标，易得乙到达目的地时，甲距离A地的距离为360-120×(6-3-1)=120km，则P（6，120），B（4，360），然后分026．（2023·牡丹江）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
（1）当点E在线段上，时，如图①，求证：；
（2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，则 ．
【答案】（1）证明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，
同（1），，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即；
如图③，当点E在线段延长线上，时，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即
（3）1或7
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）解：如图①：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BC=AD=4，
∴CE=BC-BE=4-3=1.
如图②：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BF=AD=4. ∵AE-EC=BF，
∴EC=AE-EF=3-4=-1（舍去）.
如图③：∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°-∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BC=AD=4，
∴CE=BC+BE=4+3=7.
故答案为：1或7.
【分析】（1）由垂直的定义可得∠AEB=90°，根据同角的余角相等可得∠BEF=∠AED，利用SAS证明△BEF≌△AED，得到BF=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，据此证明；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，由全等三角形的性质可得AD=BF，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，然后根据线段的和差关系进行解答；当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，∠ABE=∠BAE=45°，则AE=BE，利用SAS证明△BEF≌△AED，得到BF=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，据此解答；
（3）如图①：根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB=90°，由勾股定理可得AD的值，然后根据CE=BC-BE进行计算；
如图②：根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB=90°，由勾股定理可得AD=4，则BF=AD=4，然后根据AE-EC=BF进行计算；
如图③：由平行线的性质可得∠DAE=180°-∠AEB=90°，根据勾股定理可得AD =4，则BC=AD=4，然后根据CE=BC+BE进行计算.
27．（2023·牡丹江）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
【答案】（1）解：设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元．
根据题意，得
．
解得．
经检验是原分式方程的解．
．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）解：设购进A种家电a件，购进B种家电件．
根据题意，得．
解得．
，．
为正整数，，则，
共有三种购买方案，
方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，
方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，
方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，
根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电66件，B种家电34件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电67件，B种家电33件时，得：
，
整理得：，
解得：，符合实际；则B种家电拿出件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为(x+100)元，用1万元购进A种家电的件数为，用1.2万元购进B种家电的件数为，然后根据件数相同列出方程，求解即可；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电(100-a)件，根据A的进价×件数+B的进价×件数=总费用以及 A种家电不超过67件结合题意可得关于a的不等式，求出a的范围，进而可得购买方案；
（3）设A种家电拿出b件，则B种家电拿出(10-b)件，根据(售价-进价)×件数-b件A的价钱-(10-b)件B的价钱=总利润结合题意可得关于b的方程，求解即可.
28．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若，直线分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：解方程，得，．
，
，．
；
（2）解：，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，．
是AD中点，
．
．
将代入，得．
．
，．
．
过点C作于H，过点N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：存在点Q，使△NPQ为腰长为5的等腰三角形.理由如下：
由（2）可知N（3，-2），
设P（0，m），Q（t，-t+1），
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2.
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=-6；
当QN=5时，2(t-3)2=25，解得t=；
△P′NQ1、△PNQ2、△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，故Q1（-4，5），Q2（，）.
△P′NQ3、△P′NQ4、△PNQ4是腰长为5的等腰三角形，故Q3（4，-3），Q4（，）.
△PQ5N、△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，故Q5（，）.
综上可得：点Q的坐标为（-4，5）或（4，-3）或（，）或（，）.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，据此可得OC、OB的值，进而可得点B的坐标；
（2）易得OD=4，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=6，由中点的概念可得MD，表示出点M的坐标，代入y=-x+b中求出b的值，进而可得点E、F的坐标，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，则△DOC∽△NKC，根据相似三角形的性质可得NK-2CK，易得EC=CK=1，NK=2，EK=2，由三角函数的概念可得EN、CH、然后求出NH，再利用三角函数的概念计算即可；
（3）由（2）可知N（3，-2），设P（0，m），Q（t，-t+1），根据两点间距离公式可得PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2，令PN=5、QN=5，求出t的值，然后画出相应的图形，据此不难得到点Q的坐标.
1 / 1黑龙江省牡丹江市2023年中考数学试题
1．（2023·牡丹江）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·牡丹江）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·牡丹江）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·牡丹江）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．12°
5．（2023·牡丹江）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2023·牡丹江）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2023·牡丹江）观察下面两行数：取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92 B．87 C．83 D．78
8．（2023·牡丹江）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023·牡丹江）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
10．（2023·牡丹江）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（2023·牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
12．（2023·牡丹江）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2023·牡丹江）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共余册．数据用科学记数法表示为 ．
14．（2023·牡丹江）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可）
15．（2023·牡丹江）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．
16．（2023·牡丹江）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 ．
17．（2023·牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
18．（2023·牡丹江）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
19．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
20．（2023·牡丹江）如图，在正方形中，E在边上，交对角线于点F，于M，的平分线所在直线分别交，于点N，P，连接．下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是 ．
21．（2023·牡丹江）先化简，再求值：，其中．
22．（2023·牡丹江）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求的面积．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
23．（2023·牡丹江）在中，，，，D为的中点，以为直角边作含角的，，且点E与点A在的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段的长．
24．（2023·牡丹江）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：．“龙江奶”；．“龙江肉”；．“龙江米”；．“龙江杂粮”；．“龙江菜”；．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中类的百分比是 ▲ ；
（3）如果该社区有人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
25．（2023·牡丹江）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 ，乙车行驶的速度是 ．
（2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
26．（2023·牡丹江）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
（1）当点E在线段上，时，如图①，求证：；
（2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，则 ．
27．（2023·牡丹江）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
28．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若，直线分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
B、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得：x+1≥0，
解得x≥-1.
故答案为：B.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x+1≥0，求解即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2·a4=a6，故错误；
B、3a3-a3=a3，故错误；
C、(ab2)3=a3b6，故正确；
D、(a+b)2=a2+b2+2ab，故错误.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；根据完全平方公式可判断D.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°.
∵∠AOB=4∠BOC，
∴∠BOC=30°，
∴∠BAC=∠BOC=15°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=120°，结合∠AOB=4∠BOC可得∠BOC的度数，根据圆周角定理可得∠BAC=∠BOC，据此计算.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，
∴(x+5)÷2=6，
∴x=7，
∴该组数据为1、5、7、7，
∴平均数为=5.
故答案为：B.
【分析】根据有唯一众数，且中位数是6可得x的值，然后根据平均数的计算方法进行计算.
6．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图、左视图可得：该几何体有2层3列，最底层最多有6个正方体，第二层有1个正方体，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是6+1=7个.
故答案为：B.
【分析】由主视图、左视图可得：该几何体有2层3列，然后确定出每层正方体的个数，据此解答.
7．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加法
【解析】【解答】解：观察可得：第二行的第7个数为1+2+3+4+5+6+7=28，则第一行的第7个数为28×2-1=55，
∴55+28=83.
故答案为：C.
【分析】观察可得：第二行的第7个数为1+2+3+4+5+6+7=28，则第一行的第7个数为28×2-1=55，然后求和即可.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：设C（2，a），则E（1，a+2），
∴2×a=1×(a+2)，
∴a=2，
∴C（2，2），
∴k=2×2=4.
故答案为：B.
【分析】设C（2，a），则E（1，a+2），根据点C、E在反比例函数图象上可得2×a=1×(a+2)，求出a的值，得到点C的坐标，进而可得k的值.
9．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，
∴x=a+1.
∵方程的解为负数，
∴a+1<0且a+1≠-2，
解得a<-1且a≠-3.
故答案为：D.
【分析】给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，则x=a+1，由方程的解为负数可得a+1<0且a+1≠-2，求解即可.
10．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面直径为r，则πr=，
解得r=4.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的底面直径为r，然后根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出底面圆的直径.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图①，∵四边形ABCD为矩形，AB=8，AD=12，
∴AB=CD=8，BC=AD=12，∠BAD=∠B=90°.
由折叠可得∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF为矩形.
∵AF=AB=8，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=EF=AB=8，∠BEF=90°.
如图②，由折叠可得FM=CM，
∵EM2+EF2=FM2且EM=8-BM，FM=CM=12-BM，
∴(8-BM)2+82=(12-BM)2，
∴BM=2.
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，BC=AD=12，∠BAD=∠B=90°，由折叠可得∠AFE=∠B=90°，AF=AB，则四边形ABEF为正方形，BE=EF=AB=8，∠BEF=90°，由折叠可得FM=CM，然后利用勾股定理计算即可.
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，
∴a<0，b>0，c>0，
∴<0，故①错误；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴对称轴为直线x=，
∴b=-a.
∵4a-2b+c=0，
∴-4b-2b+c=0，
∴c=6b，故②错误；
∵|--|<|-|<|-3-|，
∴y3>y1>y2，故③正确；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，
∴=-6，
∴cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，但不能求出x1、x2，故④错误.
故答案为：D.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由题意可得对称轴为直线x=，则b=-a，根据图象过点（-2，0）可得4a-2b+c=0，将b=-a代入即可判断②；根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大可判断③；由题意可得ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，则=-6，cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，据此判断④.
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：16000000=1.6×107.
故答案为：1.6×107.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
14．【答案】或或
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C.
由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，
故应添加一组对应边相等，即AB=CD或AO=DO或BO=CO.
故答案为：AB=CD或AO=DO或BO=CO.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠D，∠B=∠C，由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
15．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BD⊥OA，过C作CE⊥OA，
∵∠AOB=45°，B的读数为2cm，
∴OD=BD=2.
∵∠AOC=22.5°，
∴=tan22.5°=-1，
∴OD==，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm.
故答案为：.
【分析】过B作BD⊥OA，过C作CE⊥OA，易得OD=BD=2，利用三角函数的概念求出OE的值，据此可得C在尺上的读数.
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有9种情况，其中甲获胜的情况数为3，
∴甲获胜的概率为=.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及甲获胜的情况数，然后利用概率公式进行计算.
17．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，由题意可得5000(1+x)2=7200，
解得x=20%.
故答案为：20%.
【分析】设平均增长率为x，则4月份盈利5000(1+x)元，5月份盈利5000(1+x)2元，然后根据5月份盈利达到7200元建立方程，求解即可.
18．【答案】2或4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线
为y=(x+3-m)2-1.
将（0，0）代入可得(3-m)2=1，
解得m=2或4，
∴应向右平移2或4个单位长度.
故答案为：2或4.
【分析】将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线
为y=(x+3-m)2-1，然后将（0，0）代入求出m的值即可.
19．【答案】或
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，AB=2，A（1，0），∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边上的高为2×sin60°=，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴C1的坐标为（1-，3）或（1+，-3）.
故答案为：（1-，3）或（1+，-3）.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD=2，根据三角函数的概念可得AB边上的高为2×sin60°=，据此不难得到点C1的坐标.
20．【答案】①④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：记N到PC的距离为h，则.
∵CM⊥BE，四边形ABCD为正方形，
∴∠CME=90°，∠PCN=45°.
∵MN平分∠CME，
∴∠CMN=∠EMN=∠PMF=45°=∠PCN.
∵∠MPF=∠NPC，
∴△MPF∽△PCN，
∴，∠PFM=∠PNC，
∴.
同理可得△NCM∽△NPC，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵∠PMF=45°=∠PCE，
∴∠PCE+∠EMN=180°，
∴M、F、C、N四点共圆，
∴∠FNC=∠FMC=90°，
∴FN∥BC，
∴△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN·CD=EC·FN，故③错误；
∵EM=1，BM=4，
∴BE=5.
∵正方形ABCD，CM⊥BE，
∴∠BCD=∠BMC=∠EMC=90°，
∴∠MEC=∠BCM，
∴△CME∽△BMC，
∴CM2=BM·ME=4，
∴CM=2，
∴CE=，BC==AB，
同理可得△CEF∽△ABF，
∴，
∴EF=BF，
∴EF=BE=，BF=，
∴FM=BM-BF=.
∵△PMF=∠ACB=45°，∠PFM=∠BFC，
∴△PMF∽△BCF，
∴.
∵△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN=EC=，
∴CN=EC-EN=，
∴CF=CN=，
∴，
∴PM=，故④正确；
同理可得△EMN∽△ECF，
∴，
∴MN=，
∴PN=PM+MN=+=，
∴CM≠PN，故②错误.
故答案为：①④.
【分析】记N到PC的距离为h，则，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△MPF∽△PCN，△NCM∽△NPC，结合相似三角形的性质即可判断①；易证△EFN∽△EBC，根据相似三角形的性质即可判断③；根据正方形的性质以及同角的余角相等可得∠MEC=∠BCM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CME∽△BMC，根据相似三角形的性质可得CM，然后求出CE、BC，同理可得△CEF∽△ABF，得到EF=BF，则EF=BE=，然后求出BF、FM的值，证明△PMF∽△BCF，△EFN∽△EBC，根据相似三角形的性质可得EN，然后求出CN，CF，PM，据此判断④；证明△EMN∽△ECF，根据相似三角形的性质可得MN，然后求出PN，据此判断②.
21．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母利用平方差公式分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得x的值，接下来代入计算即可.
22．【答案】（1）抛物线经过点，，
，
解这个方程组，得．
抛物线对应的解析式．
点的坐标为 ．
（2）如图，连接OP．
，，，，
，
，
．
，
．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（1） 点是抛物线的顶点坐标，
，即：，，
．
【分析】（1）将A（-1，0）、B（4，0）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式，然后根据顶点坐标公式就可得到顶点P的坐标；
（2）连接OP，然后根据S△BCP=S△OCP+S△OBP-S△BOC结合三角形的面积公式进行计算.
23．【答案】解：作图如下，
满足条件的线段的长为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，当时，
∵在中，，，
∴，又，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
如图，当时，
∵，
∴
在中，，则，
在中，，则，
综上，满足条件的线段的长为或．
【分析】当∠CED=90°时，由余角的性质可得∠BAC=30°，根据三角函数的概念可得AB、AC的值，由直角三角形斜边上中线的性质可得OD=BD=AD=AB=2，推出△BCD为等边三角形，得到∠BCD=∠BDC=60°，∠ACD=30°，进而求出CE的值，推出△ACE是等边三角形，据此求解；当∠CDE=30°时，∠ADE=90°，然后根据三角函数的概念求解即可.
24．【答案】（1）解：∵项关注的人数为人，项关注占总人数的百分数为，
∴本次参与调查的总人数有（人）；
（2）解：∵本次参与调查的总人数是人，项关注人数所占百分数为，
∴项关注的人数为（人），
∴项关注的人数为（人），
∴项所占百分数为；
∴如图所示，
故答案为；
（3）解：∵项关注人数为人，本次调查的总人数为人，
∴该社区关注关注“龙江杂粮”的居民有（人）；
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用E的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数乘以B所占的比例求出对应的人数，然后求出C的人数，利用C的人数除以总人数，然后乘以100%可得所占的比例，根据B、C的人数即可补全条形统计图；
（3）利用D的人数除以调查的总人数，然后乘以4000即可.
25．【答案】（1）120；80
（2）解：设线段所在直线的解析式为．
将，代入，得．
解得．
线段所在直线的解析式为．
（3）解：在中，当时，，
∴，
由（1）可得乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地，
则乙到达目的地时，甲距离A地的距离为，
∴，，
设乙车出发时，两车距各自出发地路程的差是，
当时，此时甲在到达C地前，
由，
解得，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在C地休息，则，
解得，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在返回B地中，则
解得，（不合题意，舍去）
综上，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是．
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可得D（3，360），即甲出发3h后与A地相距360km，故甲的速度为360÷3=120km/h；
由题意可得：乙出发1.5h行驶了120km，故乙车的速度为120÷1.5=80km/h.
故答案为：120，80.
【分析】（1）由图可得D（3，360），即甲出发3h后与A地相距360km，由题意可得：乙出发1.5h行驶了120km，然后根据路程÷时间=速度进行求解；
（2）设直线MN所在直线的解析式为y=kx+b，将（1.5，360）、（3，240）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数关系式；
（3）令（2）关系式中的y=0，求出x的值，得到点N的坐标，易得乙到达目的地时，甲距离A地的距离为360-120×(6-3-1)=120km，则P（6，120），B（4，360），然后分026．【答案】（1）证明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，
同（1），，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即；
如图③，当点E在线段延长线上，时，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即
（3）1或7
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）解：如图①：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BC=AD=4，
∴CE=BC-BE=4-3=1.
如图②：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BF=AD=4. ∵AE-EC=BF，
∴EC=AE-EF=3-4=-1（舍去）.
如图③：∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°-∠AEB=90°.
∵AE=BE=3，DE=5，
∴AD==4，
∴BC=AD=4，
∴CE=BC+BE=4+3=7.
故答案为：1或7.
【分析】（1）由垂直的定义可得∠AEB=90°，根据同角的余角相等可得∠BEF=∠AED，利用SAS证明△BEF≌△AED，得到BF=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，据此证明；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，由全等三角形的性质可得AD=BF，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，然后根据线段的和差关系进行解答；当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，∠ABE=∠BAE=45°，则AE=BE，利用SAS证明△BEF≌△AED，得到BF=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC=BF，据此解答；
（3）如图①：根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB=90°，由勾股定理可得AD的值，然后根据CE=BC-BE进行计算；
如图②：根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB=90°，由勾股定理可得AD=4，则BF=AD=4，然后根据AE-EC=BF进行计算；
如图③：由平行线的性质可得∠DAE=180°-∠AEB=90°，根据勾股定理可得AD =4，则BC=AD=4，然后根据CE=BC+BE进行计算.
27．【答案】（1）解：设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元．
根据题意，得
．
解得．
经检验是原分式方程的解．
．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）解：设购进A种家电a件，购进B种家电件．
根据题意，得．
解得．
，．
为正整数，，则，
共有三种购买方案，
方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，
方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，
方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，
根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电66件，B种家电34件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电67件，B种家电33件时，得：
，
整理得：，
解得：，符合实际；则B种家电拿出件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为(x+100)元，用1万元购进A种家电的件数为，用1.2万元购进B种家电的件数为，然后根据件数相同列出方程，求解即可；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电(100-a)件，根据A的进价×件数+B的进价×件数=总费用以及 A种家电不超过67件结合题意可得关于a的不等式，求出a的范围，进而可得购买方案；
（3）设A种家电拿出b件，则B种家电拿出(10-b)件，根据(售价-进价)×件数-b件A的价钱-(10-b)件B的价钱=总利润结合题意可得关于b的方程，求解即可.
28．【答案】（1）解：解方程，得，．
，
，．
；
（2）解：，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，．
是AD中点，
．
．
将代入，得．
．
，．
．
过点C作于H，过点N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：存在点Q，使△NPQ为腰长为5的等腰三角形.理由如下：
由（2）可知N（3，-2），
设P（0，m），Q（t，-t+1），
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2.
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=-6；
当QN=5时，2(t-3)2=25，解得t=；
△P′NQ1、△PNQ2、△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，故Q1（-4，5），Q2（，）.
△P′NQ3、△P′NQ4、△PNQ4是腰长为5的等腰三角形，故Q3（4，-3），Q4（，）.
△PQ5N、△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，故Q5（，）.
综上可得：点Q的坐标为（-4，5）或（4，-3）或（，）或（，）.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，据此可得OC、OB的值，进而可得点B的坐标；
（2）易得OD=4，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=6，由中点的概念可得MD，表示出点M的坐标，代入y=-x+b中求出b的值，进而可得点E、F的坐标，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，则△DOC∽△NKC，根据相似三角形的性质可得NK-2CK，易得EC=CK=1，NK=2，EK=2，由三角函数的概念可得EN、CH、然后求出NH，再利用三角函数的概念计算即可；
（3）由（2）可知N（3，-2），设P（0，m），Q（t，-t+1），根据两点间距离公式可得PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2，令PN=5、QN=5，求出t的值，然后画出相应的图形，据此不难得到点Q的坐标.
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