重庆市七校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（含解析）

重庆市七校2022-2023学年高二下学期期末联考
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卷交回.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题或，则（ ）
A. 或 B. 且
C. 且 D. 或
3. ，则（ ）
A. 41 B. 40 C. D.
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的部分图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
6. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量X服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 回归直线必过样本中心点
B. 期望反映了随机变量取值平均水平，方差反映了随机变量取值与其均值偏离程度
C. 残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越差
D. 在独立性检验中，统计变量越大，说明两个变量的关系就越弱
11. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为3 B. 的最大值为1
C. 的最小值为2 D. 的最小值为2
12. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于直线对称，当时，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. 的周期为4
C. 值域为[-1，1] D. 是偶函数
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数满足，则__________.
14. 在的展开式中，常数项为__________．
15. 已知，，，则__________.
16. 已知函数，，若过点存在直线与和的图象均相切，则的值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 设函数定义域为，集合 .
（1）求集合；
（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18. 今年的5月20日是全国第34个“中学生营养日”，今年的主题是“科学食养助力儿童健康成长”.围绕这个主题，在今年的5月19日，中国校园健康行动领导小组、中国国际公司促进会、中国关心下一代健康体育基金会、中国关心下一代工作委员会健康体育发展中心、中国国际跨国公司促进会中国青少年儿童健康安全食品联合工作委员会、中国青少年儿童健康安全食品管理委员会等单位在京共同启动了“中国青少年儿童营养健康标准推广实施行动”.我校也希望大力改善学生的膳食结构，让更多的学生到食堂正常就餐，而不是简单地用面包，方便面或者零食来填饱肚子.于是学校从晚餐在食堂就餐的学生中随机抽取了100名学生，针对他们晚餐时更喜欢吃面食还是更喜欢吃米饭做了调查，得到如下列联表：
更喜欢吃面食 更喜欢吃米饭 总计
男生 30 25 55
女生 20 25 45
总计 50 50 100
（1）依据小概率的独立性检验，判断晚餐是否更喜欢吃面食与性别是否有关联？
（2）在样本中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中按性别分层抽样抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为X，请写出X的分布列；
（3）现用频率估计概率，在全校学生中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中任选3人，其中男生人数为Y，请写出Y的期望和方差.
附：，其中．
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7879
19. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.
20. 袋中装有黑球、白球共7个，从中任取2个球都是白球概率为.
（1）现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.求取球次数的分布列;
（2）现从袋中将黑球和白球各取出一个，再让丙从袋中取球，每次取一个，记下颜色后放回再取，直到将同一种颜色的球取出3次为止，记丙取球的次数为Y，求Y的期望.
21. 快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈．某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量（单位：千件）之间的关系，对该网点近天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位：元）（）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值．
表中，．
（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出关于的经验回归方程；
（2）已知该网点每天的揽件量（单位：千件）与单件快递的平均价格（单位：元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽件量为千件时可获得的总利润；
②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？
附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
22. 已知函数
（1）若（为的导函数），求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个极值点，求证：.
重庆市七校2022-2023学年高二下学期期末联考
数学试题 答案解析
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卷交回.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，根据集合交运算即可.
【详解】,
，
，
故选：
2. 已知命题或，则（ ）
A. 或 B. 且
C. 且 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定求解即可.
【详解】因为命题或，
所以且.
故选：B
3. ，则（ ）
A. 41 B. 40 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值法可求出结果.
【详解】令，得，
令，得，
所以，即.
故选：A
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域计算规则计算可得.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
令，解得，所以函数定义域为.
故选：D
5. 函数的部分图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除AC，根据函数在上的符号排除D，可得答案.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，
故函数为偶函数，其图象关于轴对称，故AC不正确；
当时，，，故，故D不正确.
故选：B.
6. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题得，即求.
【详解】∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
7. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分与讨论，即可得到结果.
【详解】已知函数，则其定义域为，
且，若在上不单调，
则在上有解，不妨设，定义域为，
因为函数为开口向上的二次函数，对称轴为，
要使函数在上有解，需要满足，
即，解得，
综上，满足条件的的取值范围为.
则在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选：C
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，，，从而构造函数，利用导数判断函数的单调性，判断函数值的大小，即可判断选项.
【详解】，，，
设 ，且，，得，
当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因为，且，
所以，即.
故选：D
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量X服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正态分布的密度函数，可得的值，根据数学期望以及方差的性质，结合正态分布的概率公式，可得答案.
【详解】由题意可知，由密度函数，则，，故，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由，则服从的正太分布曲线的对称轴为直线，由，则，故C正确；
对于D，正太分布为连续性随机变量，故D错误.
故选：ABC.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 回归直线必过样本中心点
B. 期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值与其均值偏离程度
C. 残差平方和越小，说明模型的拟合效果越差
D. 在独立性检验中，统计变量越大，说明两个变量的关系就越弱
【答案】CD
【解析】
【分析】根据回归直线的性质可判断A；由期望就是均值，方差反应波动程度可判断B；根据残差的定义可判断C；由独立性检验的基本思想可判断D.
【详解】A，回归直线必过样本中心点，正确；
B，期望就是均值，方差反应波动程度，即反映了随机变量取值与其均值偏离程度，正确；
C，残差平方和越小，偏离程度越小，即模型的拟合效果好，错误；
D, 在独立性检验中，统计变量越大，两个变量的关系越强，错误.
故选：CD
11. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为3 B. 的最大值为1
C. 的最小值为2 D. 的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选：ABD
12. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于直线对称，当时，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. 的周期为4
C. 的值域为[-1，1] D. 是偶函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数为奇函数及函数图象关于直线对称，可列出数学条件，进行变化得到函数的周期，根据函数的周期结合条件可求出的值，故可判断选项
利用奇函数关于原点对称的性质，结合题中条件可求得的值域，错误；
根据函数的平移关系，可得函数的对称轴是轴，即可判断.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
又图像关于直线对称，所以，
则即，，
则，则，所以的周期为4，正确；
则正确；
当时，，则
由奇函数的性质，当时，
则值域为错误；
的图象向左平移个单位得到的图象，
又的图像关于直线对称，则的图象关于轴对称，
则是偶函数，正确.
故选：
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】令代入，求出，即是
【详解】令则
所以，
故，
故答案为：
14. 在的展开式中，常数项为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.
【详解】的展开式的通项
令，解得，
故常数项为．
故答案为：.
15. 已知，，，则__________.
【答案】0.3##
【解析】
【分析】根据全概率公式列式可求出结果.
【详解】因为，所以，
由全概率公式得，
所以，得.
故答案为:.
16. 已知函数，，若过点存在直线与和的图象均相切，则的值为______.
【答案】-1或3
【解析】
【分析】分别设出直线与和的切点，利用导数的几何意义分别求出直线的方程，进而找出关系式，再结合直线过点即可求解.
【详解】不妨设直线与切于，由题意可知，，
对求导可得，，故，
故直线的直线方程：，
化简得， ①，
设直线与切于，且，
对求导可得，，故，
故直线的直线方程：，
化简得， ②，
由①②可得， ③，
故①式为：，
又因为直线过点，
所以，解得，，
当时，结合③式可得，，
当时，结合③式可得，，
所以的值为-1或3.
故答案为：-1或3.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 设函数的定义域为，集合 .
（1）求集合；
（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1) 由定义域的定义即可求解;
(2) 由是的必 要不充分条件可判断集合是集合的真子集, 分类讨论的情况即可求解.
【小问1详解】
要使得函数有意义，只需要
解得，所以集合
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，所以，
当时，，解得(舍去)
当时，解得，
综上可知，实数的取值范围是
18. 今年的5月20日是全国第34个“中学生营养日”，今年的主题是“科学食养助力儿童健康成长”.围绕这个主题，在今年的5月19日，中国校园健康行动领导小组、中国国际公司促进会、中国关心下一代健康体育基金会、中国关心下一代工作委员会健康体育发展中心、中国国际跨国公司促进会中国青少年儿童健康安全食品联合工作委员会、中国青少年儿童健康安全食品管理委员会等单位在京共同启动了“中国青少年儿童营养健康标准推广实施行动”.我校也希望大力改善学生的膳食结构，让更多的学生到食堂正常就餐，而不是简单地用面包，方便面或者零食来填饱肚子.于是学校从晚餐在食堂就餐的学生中随机抽取了100名学生，针对他们晚餐时更喜欢吃面食还是更喜欢吃米饭做了调查，得到如下列联表：
更喜欢吃面食 更喜欢吃米饭 总计
男生 30 25 55
女生 20 25 45
总计 50 50 100
（1）依据小概率的独立性检验，判断晚餐是否更喜欢吃面食与性别是否有关联？
（2）在样本中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中按性别分层抽样抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为X，请写出X的分布列；
（3）现用频率估计概率，在全校学生中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中任选3人，其中男生人数为Y，请写出Y的期望和方差.
附：，其中．
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
【答案】（1）没有关联
（2）分布列见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意计算，从而根据独立性检验思想即可求解；
（2）由题意，在抽取出来的5人中，男生有3人，女生有2人，再根据分布列的求解步骤即可求解；
（3）由题意可得 ， 再根据二项分布的期望公式及方差公式即可求解.
【小问1详解】
零假设：晚餐是否更喜欢吃面食与性别没有关联.
由列联表，计算，得
根据小概率0.05的独立性检验，我们没有充分的理由推断不成立.
所以我们认为晚餐更喜欢吃面食与性别没有关联.
【小问2详解】
由题意，在抽取出来的5人中，男生有3人，女生有2人，从中任取2人，女生人数为X，
则X所有可能的值为0，1，2 ，
其中
所以，X的分布列为
X 0 1 2
P
【小问3详解】在样本中晚餐喜欢吃面食学生共50人，其中男生有30人，其频率为，
所以 ，
所以 .
19. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数某点处的切线方程求解步骤，通过导数求斜率，明确切点坐标，可得答案；
（2）整理新函数的解析式，通过导数明确其单调性并求其极值，根据图象以及零点存在性定理，可得答案.
【小问1详解】
，令，，，，
则切点坐标为，则斜率，则切线方程为.
【小问2详解】
，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
当时，取得极小值，，
所以在上恰有两个不同的零点，
由，则；由，则.
结合下图：
通过画图分析得，.
20. 袋中装有黑球、白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.
（1）现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.求取球次数的分布列;
（2）现从袋中将黑球和白球各取出一个，再让丙从袋中取球，每次取一个，记下颜色后放回再取，直到将同一种颜色的球取出3次为止，记丙取球的次数为Y，求Y的期望.
【答案】（1）分布列见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设袋中有白球n个，根据题意得到，求得，得到随机变量所有可能的取值，求得相应的概率，列出分布列；
（2）根据题意，得出随机变量所有可能的取值，结合相互独立事件的概率乘法和互斥事件的概率加法，求得相应的概率，利用期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设袋中有白球n个，因为从袋中的7个小球中任取2个球都是白球的概率为，
所以，解得，即袋中白球个数为3个，
由题意，随机变量所有可能的取值为，
且 ，，
，，
所以随机变量的分布列为
1 2 3 4 5
【小问2详解】解：由题意，随机变量所有可能的取值为，
且 ，
，
，
所以随机变量的数学期望为.
21. 快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈．某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量（单位：千件）之间的关系，对该网点近天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位：元）（）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值．
表中，．
（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出关于的经验回归方程；
（2）已知该网点每天的揽件量（单位：千件）与单件快递的平均价格（单位：元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽件量为千件时可获得的总利润；
②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？
附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】（1）更适宜作为关于的经验回归方程类型，
（2）①元；②单件快递的平均价格元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.
【解析】
【分析】（1）根据散点图可确定回归模型，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；
（2）设收发千件快递获利千元，可得；①将代入解析式即可求得；②利用导数可求得的单调性，进而确定最大值点，由此可得.
【小问1详解】
由散点图可知：更适宜作为关于的经验回归方程类型；
令，则，，
关于的经验回归方程为：.
【小问2详解】
设收发千件快递获利千元，则；
①当时，，即该网点某天揽收件快递可获得的总利润约为元．
②，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
当时，，此时；
单件快递的平均价格元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.
22. 已知函数
（1）若（为的导函数），求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个极值点，求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求得，取得，分类讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）由（1）中的结论，分类讨论，求得在上单调性，进而求得函数的最小值.
（3）根据题意转化为在上有两个不等的实根，进而转化为和的图象有两个交点，结合的单调性与极值，得到且，要证，转化证明，令，即证，令函数数，结合的单调性和最值，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，则其定义域为，且，
可得，则，
若时，，单调递增；
若时，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上可得，当时，单调递增区间为；
当时，单调递减区间为，递增区间为.
【小问2详解】
解：由（1）知，当时，在上为递增函数，最大值为；
当时，即时，在上为递减函数，最大值为；
当时，即时，在上为递增函数，在上为递减函数，
所以最大值为；
当时，即时，在上为递增函数，最大值为，
综上可得，当时，最大值为；
当时，最大值为；
当时，最大值为.
【小问3详解】
解：由，因为函数有两个极值点，
可得方程在上有两个不等的实根，不妨设，
即在上有两个不等的实根，即和的图象有两个交点，
又由，可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
又由，且时，，所以且，
要证，可变形为，
因为，所以，即，
因为，可得，
即证，可变形为，即，
令，即证，
令，可得，所以在上单调递减，
所以，即，所以.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.