北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》5.相似三角形判定定理的证明

北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》5.相似三角形判定定理的证明
一、选择题
1．（2023·永善模拟）如图，中，交于点，，，，，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠E，∠ADC=∠EDB，
∴△BDE△CDA，
∵，，，
∴，BD=6，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定方法求出△BDE△CDA，再求出，BD=6，最后计算求解即可。
2．如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∵，
∴与的周长之比为，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解。
3．（2023·合肥模拟）如图，等腰三角形中，，，平分，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AM//BC，交BD延长线于点M，
，
∴∠M = ∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
∴∠M = ∠ABD，
∴AM = AB=8，
∵△AMD△CBD，
∴AD：DC=AM：BC，
∵BC =4，
∴AD：DC=2：1，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质先求出∠M = ∠DBC，再根据角平分线求出∠ABD = ∠DBC，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
4．（2023·合肥模拟）如图，正方形的边长为，延长至点，，连接交于点，连接，并取的中点，连接并延长交于点．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：延长DA，HF相交于点M，过F作FN⊥BE于点N，
，
∵F是中点，
∴AF = EF，
∵∠MAF = ∠HEF，∠AFM = ∠HFE，
∴△AFM≌△EFH，
∴AM = EH，
∵AD//EC，
∴△AGD△BGE，△DMG△EHG，
∴，，
∴，
∴DM=2EH，
∵DM =AM+AD=EH+AD=2EH，AD=2，
∴EH= 2，
∵F是中点，
∴，，
∴，
∴由勾股定理可得：，
故答案为：B.
【分析】利用全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
5．（2023·温州模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，将沿着轴正方向平移，使点平移至原点，得到交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴OA=OB=2，OC=1，BC=3
∴AB=
∵将△ABC沿x轴正方形平移，使点B平移至原点O，得到△DOE
∴AB//OD
∴△ABC∽△FOC
∴，即
∴OF=.
故答案为：A
【分析】由的点的坐标可以得到OA=OB=2，OC=1，BC=3，再由勾股定理求出AB=；由平移可以得到AB//OD，从而得到△ABC∽△FOC，由即可求出OF的长.
6．（2023八下·南宁期中）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上点处，若，，则边的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=8，∠B=90°.
∵CE=3，
∴BE=EF=BC-CE=8-3=5.
∵△ABE和△AFE关于直线AE对称，
∴∠AFE=∠B=90°，EF=BE=5，
∴CF==4.
∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠EFC=90°，
∴∠DAF=∠CFE，
∴△ADF∽△FCE，
∴，
∴，
∴DF=6，
∴AB=CD=DC+CF=6+4=10.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=8，∠B=90°，由轴对称的性质可得∠AFE=∠B=90°，EF=BE=5，利用勾股定理可得CF的值，根据同角的余角相等可得∠DAF=∠CFE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ADF∽△FCE，利用相似三角形的性质可求出DF的值，然后根据AB=CD=DC+CF进行计算.
7．（2023·增城模拟）如图，点，都是边上的点，，交于点，若，则：的值是（　　）
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DEF∽△CAF.
∵，
∴.
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△ACB，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△DEF∽△CAF，△DEB∽△ACB，然后根据相似三角形的性质进行计算.
8．（2023·南海模拟）如图，在中，点，分别是，的中点，若，则（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE//BC，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】先判断DE是△ABC的中位线，从而得到△ADE∽△ABC，且；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面积.
9．（2023·绵阳模拟）如图，在中，将绕着点A逆时针方向旋转到的位置，点E恰好落在边BC上，EF与CD交于点M，AB＝6，AD＝8，BE＝2，则CM的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作CN∥AE交EF于点N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=8，
∴∠BCD=180°-∠B.
∵△AEF是由△ABC旋转得到的，
∴AB=AE=6，∠ABE=∠AEF，
∴∠ABE=∠AEB.
∵BE=2，
∴CE=BC-BE=6，
∴AE=CE.
∵∠AEC=∠ABE+∠BAE，∠AEC=∠AEF+∠CEN，
∴∠BAE=∠CEN.
∵CN∥AE，
∴∠AEF=∠CNE=∠ABE，
∴∠ECN=∠AEB=∠ABE=∠ENC，
∴EN=EC=6，
∴△ABE≌△ECN（AAS），
∴CN=BE=2.
∵∠BCD=∠CNM，∠CMN=∠EMC，
∴△CNM∽△ECM，
∴.
设MN=x，则MC=3x，ME=9x，
∵EN=ME-MN=6，
∴x=34，
∴MC=3x=94.
故答案为：D.
【分析】过点C作CN∥AE交EF于点N，由平行四边形的性质可得AB∥CD，BC=AD=8，根据旋转的性质可得AB=AE=6，∠ABE=∠AEF，结合外角、平行线的性质可推出∠ECN=∠AEB=∠ABE=∠ENC，则EN=EC=6，利用AAS证明△ABE≌△ECN，得到CN=BE=2，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△CNM∽△ECM，然后根据相似三角形的性质进行计算.
二、填空题
10．（2023·营口）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AD，过D作DG⊥AC于点G，
∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AG=CG=AC.
设AB=AC=2a，则AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，
∴DG==a.
∵∠BAE=∠DGE=90°，∠AEB=∠GED，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴，
∴AE=GE.
∵AE+GE=AG=a，
∴GE+GE=a，
∴GE=(-3)a，
∴AE=(4-)a.
∵DE2=DG2+EG2，
∴DE=，
∴==.
故答案为：.
【分析】连接AD，过D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC=CD，∠ACD=60°，推出△ACD为等边三角形，得到AG=CG=AC，设AB=AC=2a，则AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，DG=a，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△GDE，根据相似三角形的性质可得AE=GE，结合AE+GE=AG=a可得GE=(-3)a，然后表示出AE，由勾股定理可得DE，据此求解.
11．（2023·东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，
∴△BFC∽△BGA，
∴，
∵，，，
∴CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，
∴，
故答案为：-1
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，进而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据点的坐标得到CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，进而代入即可求解。
12．（2023八下·肇源月考）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于F，若，则　 　．
【答案】180
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AEF∽△CDF.
∵E为AB的中点，
∴AE=AB，
∴AE=CD，
∴相似比为1：2，
∴，
∴，
∴FC=120，
∴AC=AF+FC=60+120=180.
故答案为：180.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AEF∽△CDF，由中点的概念可得AE=AB=CD，则相似比为1：2，据此可求出FC，然后根据AC=AF+FC进行计算.
13．（2023·河南模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，E是边AD上的一动点，将正方形沿CE翻折，点的对应点为，过点作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M，N（点M在点上方），若，则DE的长为　 　.
【答案】2或
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当点M在AD上时，连接DD′，
设AM=x，则CN=2x.
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，即ME∥NC，
∵MN∥EC，
∴四边形CEMN是平行四边形，
∴ME=CN=2x，∠EMD′=∠DEC，∠MD′E=∠D′EC.
由折叠的性质，可知CE⊥DD′，∠DEC=∠D′EC，DE=D′E.
∴MN⊥DD′，∠EMD′=∠MD′E，
∴ME=D′E=DE=2x.
∵AD=5，
∴AM+ME+DE=x+2x+2x=5，
解得x=1，
∴DE=2.
②当点M在AB上时，分别延长NM、DA交于点F，连接DD′，
同理，可得FE=D′E=DE.
设AM=x，则BM=5-x，CN=EF=DE=2x，
∴AF=4x-5，BN=5-2x.
∵AD∥BC，
∴△FAM∽△NBM，
∴，
∴，
解得x=或（不合题意，舍去）.
经检验，x=是原分式方程的解，
∴DE=.
综上所述，当2AM=CN时，DE的长为2或.
故答案为：2或.
【分析】①当点M在AD上时，连接DD′，设AM=x，则CN=2x，易得四边形CEMN是平行四边形，则ME=CN=2x，∠EMD′=∠DEC，∠MD′E=∠D′EC，由折叠的性质，可知CE⊥DD′，∠DEC=∠D′EC，DE=D′E，进而推出ME=D′E=DE=2x，然后根据AD=AM+ME+DE=5可得x的值，进而可得DE；②当点M在AB上时，分别延长NM、DA交于点F，连接DD′，同理可得FE=D′E=DE，设AM=x，则BM=5-x，CN=EF=DE=2x，由平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△FAM∽△NBM，然后根据相似三角形的性质进行计算.
14．（2023·潍坊模拟）如图，在中，，延长至，使得，点为动点，且，连接，则的最小值为 　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接AP交BC于点E，
∵AB=AC=10，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
∴BE =BC = 3，BC⊥AP，
∴当DP⊥AP时，DP最短，
∴∠APD = ∠AEB = 90°，
∵BD =AB，
∴AD =AB=15，
∵∠EAB = ∠PAD，
∴△AEB△APD，
∴，
∴，
∴，
即PD的最小值为，
故答案为：.
【分析】先作图，再求出AP垂直平分BC，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
15．（2023·红桥模拟）在四边形中，，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图所示，作AE┴BC于E，交BD于G， 作DF┴AE于F，
∵在四边形中，，若，，
∴ ， DF∥BE ，
∴，
∴，
又 ∵，
∴
∴
∴
故结果为：
【分析】此题考察等腰三角形判定及性质、三角形全等判定及性质、勾股定理的应用等基础知识，属于“双基”题型，难度不大。
三、解答题
16．（2023·北京市模拟）下面是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，点是边的中点． 求证：．
方法一： 证明：延长至，使， 连接，． 方法二： 证明：过点作于点．
【答案】证明：方法一：∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
方法二：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】方法一：先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是矩形，则由矩形的性质可得；
方法二：证明△OCD∽△ACB，得到CD=BD，则OD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质可得．
17．（2023·泉州模拟）如图，在矩形中，点在边上，，垂足为F，，，，求的长.
【答案】解：四边形是矩形，
，，
.
，
，
，
，
.
又，，，
，
.
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠DCE=90°，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADF=∠DEC，由垂直的概念可得∠AFD=90°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFD∽△DCE，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
18．（2023·立山模拟）如图，在矩形中，于点E，点P是边上一点，且．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据，可证，，根据矩形性质可得，。
19．（2023九上·平桂期末）如图，在中，平分，.若，，，求的长.
【答案】解：∵为的平分线，
∴.
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠DAE=∠EAC，由平行线的性质可得∠DEA=∠EAC，则∠DAE=∠DEA，推出ED=AD，易证△BED∽△BCA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
20．（2023八下·肇源月考）如图，的直角顶点B在x轴正半轴上，斜边在y轴上．线段、的长是方程的两个根．（）
（1）求证：
（2）求点C坐标
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合题意的点N坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵线段、的长是方程的两个根．（）
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，当在轴上时，设，由矩形可得：，
∴，
∴，
解得：，即，
由平移可得：，即；
当重合时，此时矩形为，
∴，
当在轴上时，设，
同理可得：，
解得：，即，
由平移可得：，即；
综上：或或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠OAB=∠CBO，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）利用因式分解法可得方程的解，结合OA（3）当M在x轴上时，设M（x，0），由矩形的性质可得∠MAB=90°，在Rt△ABM中，由勾股定理可得x的值，据此可得点M的坐标，结合平移的性质可得点N的坐标；当M、O重合时，此时矩形为AMBN，结合图形可得点N的坐标；当M在y轴上时，设M（0，y），同理进行解答.
21．（2023·宜春模拟）如图，点为的边延长线上一点，与交于点，与交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴（两角对应相等，两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∴
∴.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AD//BC，AB//CD，再利用相似三角形的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出 ，再求出， ，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》5.相似三角形判定定理的证明
一、选择题
1．（2023·永善模拟）如图，中，交于点，，，，，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
2．如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·合肥模拟）如图，等腰三角形中，，，平分，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·合肥模拟）如图，正方形的边长为，延长至点，，连接交于点，连接，并取的中点，连接并延长交于点．则（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·温州模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，将沿着轴正方向平移，使点平移至原点，得到交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
6．（2023八下·南宁期中）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上点处，若，，则边的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·增城模拟）如图，点，都是边上的点，，交于点，若，则：的值是（　　）
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
8．（2023·南海模拟）如图，在中，点，分别是，的中点，若，则（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．（2023·绵阳模拟）如图，在中，将绕着点A逆时针方向旋转到的位置，点E恰好落在边BC上，EF与CD交于点M，AB＝6，AD＝8，BE＝2，则CM的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
10．（2023·营口）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则　 　．
11．（2023·东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
12．（2023八下·肇源月考）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于F，若，则　 　．
13．（2023·河南模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，E是边AD上的一动点，将正方形沿CE翻折，点的对应点为，过点作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M，N（点M在点上方），若，则DE的长为　 　.
14．（2023·潍坊模拟）如图，在中，，延长至，使得，点为动点，且，连接，则的最小值为 　 　．
15．（2023·红桥模拟）在四边形中，，若，，则的长为　 　．
三、解答题
16．（2023·北京市模拟）下面是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，点是边的中点． 求证：．
方法一： 证明：延长至，使， 连接，． 方法二： 证明：过点作于点．
17．（2023·泉州模拟）如图，在矩形中，点在边上，，垂足为F，，，，求的长.
18．（2023·立山模拟）如图，在矩形中，于点E，点P是边上一点，且．求证：．
19．（2023九上·平桂期末）如图，在中，平分，.若，，，求的长.
20．（2023八下·肇源月考）如图，的直角顶点B在x轴正半轴上，斜边在y轴上．线段、的长是方程的两个根．（）
（1）求证：
（2）求点C坐标
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合题意的点N坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023·宜春模拟）如图，点为的边延长线上一点，与交于点，与交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠E，∠ADC=∠EDB，
∴△BDE△CDA，
∵，，，
∴，BD=6，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定方法求出△BDE△CDA，再求出，BD=6，最后计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∵，
∴与的周长之比为，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解。
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AM//BC，交BD延长线于点M，
，
∴∠M = ∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
∴∠M = ∠ABD，
∴AM = AB=8，
∵△AMD△CBD，
∴AD：DC=AM：BC，
∵BC =4，
∴AD：DC=2：1，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质先求出∠M = ∠DBC，再根据角平分线求出∠ABD = ∠DBC，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：延长DA，HF相交于点M，过F作FN⊥BE于点N，
，
∵F是中点，
∴AF = EF，
∵∠MAF = ∠HEF，∠AFM = ∠HFE，
∴△AFM≌△EFH，
∴AM = EH，
∵AD//EC，
∴△AGD△BGE，△DMG△EHG，
∴，，
∴，
∴DM=2EH，
∵DM =AM+AD=EH+AD=2EH，AD=2，
∴EH= 2，
∵F是中点，
∴，，
∴，
∴由勾股定理可得：，
故答案为：B.
【分析】利用全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴OA=OB=2，OC=1，BC=3
∴AB=
∵将△ABC沿x轴正方形平移，使点B平移至原点O，得到△DOE
∴AB//OD
∴△ABC∽△FOC
∴，即
∴OF=.
故答案为：A
【分析】由的点的坐标可以得到OA=OB=2，OC=1，BC=3，再由勾股定理求出AB=；由平移可以得到AB//OD，从而得到△ABC∽△FOC，由即可求出OF的长.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=8，∠B=90°.
∵CE=3，
∴BE=EF=BC-CE=8-3=5.
∵△ABE和△AFE关于直线AE对称，
∴∠AFE=∠B=90°，EF=BE=5，
∴CF==4.
∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠EFC=90°，
∴∠DAF=∠CFE，
∴△ADF∽△FCE，
∴，
∴，
∴DF=6，
∴AB=CD=DC+CF=6+4=10.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=8，∠B=90°，由轴对称的性质可得∠AFE=∠B=90°，EF=BE=5，利用勾股定理可得CF的值，根据同角的余角相等可得∠DAF=∠CFE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ADF∽△FCE，利用相似三角形的性质可求出DF的值，然后根据AB=CD=DC+CF进行计算.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DEF∽△CAF.
∵，
∴.
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△ACB，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△DEF∽△CAF，△DEB∽△ACB，然后根据相似三角形的性质进行计算.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE//BC，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】先判断DE是△ABC的中位线，从而得到△ADE∽△ABC，且；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面积.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作CN∥AE交EF于点N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=8，
∴∠BCD=180°-∠B.
∵△AEF是由△ABC旋转得到的，
∴AB=AE=6，∠ABE=∠AEF，
∴∠ABE=∠AEB.
∵BE=2，
∴CE=BC-BE=6，
∴AE=CE.
∵∠AEC=∠ABE+∠BAE，∠AEC=∠AEF+∠CEN，
∴∠BAE=∠CEN.
∵CN∥AE，
∴∠AEF=∠CNE=∠ABE，
∴∠ECN=∠AEB=∠ABE=∠ENC，
∴EN=EC=6，
∴△ABE≌△ECN（AAS），
∴CN=BE=2.
∵∠BCD=∠CNM，∠CMN=∠EMC，
∴△CNM∽△ECM，
∴.
设MN=x，则MC=3x，ME=9x，
∵EN=ME-MN=6，
∴x=34，
∴MC=3x=94.
故答案为：D.
【分析】过点C作CN∥AE交EF于点N，由平行四边形的性质可得AB∥CD，BC=AD=8，根据旋转的性质可得AB=AE=6，∠ABE=∠AEF，结合外角、平行线的性质可推出∠ECN=∠AEB=∠ABE=∠ENC，则EN=EC=6，利用AAS证明△ABE≌△ECN，得到CN=BE=2，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△CNM∽△ECM，然后根据相似三角形的性质进行计算.
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AD，过D作DG⊥AC于点G，
∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AG=CG=AC.
设AB=AC=2a，则AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，
∴DG==a.
∵∠BAE=∠DGE=90°，∠AEB=∠GED，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴，
∴AE=GE.
∵AE+GE=AG=a，
∴GE+GE=a，
∴GE=(-3)a，
∴AE=(4-)a.
∵DE2=DG2+EG2，
∴DE=，
∴==.
故答案为：.
【分析】连接AD，过D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC=CD，∠ACD=60°，推出△ACD为等边三角形，得到AG=CG=AC，设AB=AC=2a，则AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，DG=a，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△GDE，根据相似三角形的性质可得AE=GE，结合AE+GE=AG=a可得GE=(-3)a，然后表示出AE，由勾股定理可得DE，据此求解.
11．【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，
∴△BFC∽△BGA，
∴，
∵，，，
∴CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，
∴，
故答案为：-1
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，进而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据点的坐标得到CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，进而代入即可求解。
12．【答案】180
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AEF∽△CDF.
∵E为AB的中点，
∴AE=AB，
∴AE=CD，
∴相似比为1：2，
∴，
∴，
∴FC=120，
∴AC=AF+FC=60+120=180.
故答案为：180.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AEF∽△CDF，由中点的概念可得AE=AB=CD，则相似比为1：2，据此可求出FC，然后根据AC=AF+FC进行计算.
13．【答案】2或
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当点M在AD上时，连接DD′，
设AM=x，则CN=2x.
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，即ME∥NC，
∵MN∥EC，
∴四边形CEMN是平行四边形，
∴ME=CN=2x，∠EMD′=∠DEC，∠MD′E=∠D′EC.
由折叠的性质，可知CE⊥DD′，∠DEC=∠D′EC，DE=D′E.
∴MN⊥DD′，∠EMD′=∠MD′E，
∴ME=D′E=DE=2x.
∵AD=5，
∴AM+ME+DE=x+2x+2x=5，
解得x=1，
∴DE=2.
②当点M在AB上时，分别延长NM、DA交于点F，连接DD′，
同理，可得FE=D′E=DE.
设AM=x，则BM=5-x，CN=EF=DE=2x，
∴AF=4x-5，BN=5-2x.
∵AD∥BC，
∴△FAM∽△NBM，
∴，
∴，
解得x=或（不合题意，舍去）.
经检验，x=是原分式方程的解，
∴DE=.
综上所述，当2AM=CN时，DE的长为2或.
故答案为：2或.
【分析】①当点M在AD上时，连接DD′，设AM=x，则CN=2x，易得四边形CEMN是平行四边形，则ME=CN=2x，∠EMD′=∠DEC，∠MD′E=∠D′EC，由折叠的性质，可知CE⊥DD′，∠DEC=∠D′EC，DE=D′E，进而推出ME=D′E=DE=2x，然后根据AD=AM+ME+DE=5可得x的值，进而可得DE；②当点M在AB上时，分别延长NM、DA交于点F，连接DD′，同理可得FE=D′E=DE，设AM=x，则BM=5-x，CN=EF=DE=2x，由平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△FAM∽△NBM，然后根据相似三角形的性质进行计算.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接AP交BC于点E，
∵AB=AC=10，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
∴BE =BC = 3，BC⊥AP，
∴当DP⊥AP时，DP最短，
∴∠APD = ∠AEB = 90°，
∵BD =AB，
∴AD =AB=15，
∵∠EAB = ∠PAD，
∴△AEB△APD，
∴，
∴，
∴，
即PD的最小值为，
故答案为：.
【分析】先作图，再求出AP垂直平分BC，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图所示，作AE┴BC于E，交BD于G， 作DF┴AE于F，
∵在四边形中，，若，，
∴ ， DF∥BE ，
∴，
∴，
又 ∵，
∴
∴
∴
故结果为：
【分析】此题考察等腰三角形判定及性质、三角形全等判定及性质、勾股定理的应用等基础知识，属于“双基”题型，难度不大。
16．【答案】证明：方法一：∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
方法二：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】方法一：先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是矩形，则由矩形的性质可得；
方法二：证明△OCD∽△ACB，得到CD=BD，则OD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质可得．
17．【答案】解：四边形是矩形，
，，
.
，
，
，
，
.
又，，，
，
.
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠DCE=90°，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADF=∠DEC，由垂直的概念可得∠AFD=90°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFD∽△DCE，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
18．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据，可证，，根据矩形性质可得，。
19．【答案】解：∵为的平分线，
∴.
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠DAE=∠EAC，由平行线的性质可得∠DEA=∠EAC，则∠DAE=∠DEA，推出ED=AD，易证△BED∽△BCA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵线段、的长是方程的两个根．（）
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，当在轴上时，设，由矩形可得：，
∴，
∴，
解得：，即，
由平移可得：，即；
当重合时，此时矩形为，
∴，
当在轴上时，设，
同理可得：，
解得：，即，
由平移可得：，即；
综上：或或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠OAB=∠CBO，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）利用因式分解法可得方程的解，结合OA（3）当M在x轴上时，设M（x，0），由矩形的性质可得∠MAB=90°，在Rt△ABM中，由勾股定理可得x的值，据此可得点M的坐标，结合平移的性质可得点N的坐标；当M、O重合时，此时矩形为AMBN，结合图形可得点N的坐标；当M在y轴上时，设M（0，y），同理进行解答.
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴（两角对应相等，两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∴
∴.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AD//BC，AB//CD，再利用相似三角形的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出 ，再求出， ，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
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