人教版高中数学必修第一册第1章 集合与常用逻辑用语综合检测基础卷（含解析）

人教版高中数学必修第一册
第1章 集合与常用逻辑用语综合检测基础卷(原卷版)
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各组集合表示同一集合的是
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，则M的非空子集的个数是
A．7 B．8
C．15 D．16
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设集合，集合，则等于
A． B．
C． D．
5．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是
A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件
C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件
6．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是
A．三角形的内角和均为180° B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和一定是无理数 D．存在一个负数，使
7．已知命题p：，使成立，则p的否定是
A．，使不成立 B．，使不成立
C．，使不成立 D．，使不成立
8．已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则下面命题不正确的是
A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件
10．下列表述中正确的是
A．若，则 B．若，则
C． D．
11．下列各组中的两个集合相等的是
A．
B．
C．
D．
12．已知关于x的方程，下列结论正确的是
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有两正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两实数根之和为0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．下列对象能组成集合的是___________．
①桃浦中学一部分学生
②倒数等于自身的实数
③超过100页的书
④世界知名艺术家
⑤方程的全体解
14．已知集合，，若，则实数m的取值范围为___________．
15．若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是___________．
16．集合，则“或”是“”的___________条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
集合，，若中仅有一个元素，求实数的值．
18．（12分）
已知集合，，证明：的充要条件为．
19．（12分）
已知集合，．若的充分非必要条件为，求实数的取值范围．
20．（12分）
已知集合
（1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围．
21．（12分）
已知集合．
（1）若，，求；
（2）若，求出a，b的值．
22．（12分）
已知命题，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
人教版高中数学必修第一册
第1章 集合与常用逻辑用语综合检测基础卷(解析版)
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各组集合表示同一集合的是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据集合相等的定义判断．
【解析】A中两个集合中元素都是4和5，A是同一集合；
B中集合是点集，是数集，不是同一集合；
C中，由于，因此不是同一个集合；
D中，是数集，是点集，不是同一集合．故选A．
2．已知集合，则M的非空子集的个数是
A．7 B．8
C．15 D．16
【答案】C
【分析】解分式不等式求集合M，并确定元素个数，根据元素个数与集合子集的数量关系求M的非空子集的个数．
【解析】由题设，，即，可得，
所以共有4个元素，故M的非空子集的个数．故选C
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】进行正向和逆向推理即可得到答案．
【解析】由显然可以推出，
若，显然满足，但不满足．
即“”是“”的充分不必要条件．故选A．
4．设集合，集合，则等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据并集的定义即可求出．
【解析】，，．故选C．
5．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是
A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件
C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行判断即可．
【解析】依题意是的充分不必要条件，是的充分条件， 是的必要条件，是的必要条件，，
所以是的充要条件，A、C错误；是的充分不必要条件， D错误； 是的充要条件，B正确．故选B
6．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是
A．三角形的内角和均为180° B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和一定是无理数 D．存在一个负数，使
【答案】B
【分析】依次检验各个选项是否为存在量词命题和真命题即可
【解析】选项A，是全称量词命题且是真命题，故A错误；
选项B，是存在量词命题且是真命题，当时，有，故B正确；
选项C，是全称量词命题且是假命题，比如都是无理数，但为有理数，故C错误；
选项D，是存在量词命题且是假命题，因为若，必有，故D错误，故选B
7．已知命题p：，使成立，则p的否定是
A．，使不成立 B．，使不成立
C．，使不成立 D．，使不成立
【答案】C
【分析】由特称命题的否定形式，判断即得解
【解析】由特称命题的否定形式可得
“，使成立”的否定为“，使不成立”故选C
8．已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由命题“，”是真命题，求得，结合选项，即可得到命题是真命题的一个必要不充分条件，得到答案．
【解析】由命题“，”是真命题，可转换为不等式在恒成立，
因为，所以，
结合选项，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是．故选 B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则下面命题不正确的是
A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件
【答案】ABC
【分析】利用来判断AB；利用来判断CD．
【解析】对于A，，故“”是“”的充分条件为假命题；
对于B ，，故“”是“”的必要条件为假命题；
对于C ，当时，，故“”是“”的充分条件为假命题；
对于D ，，故“”是“”的必要条件为真命题．故选ABC
10．下列表述中正确的是
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据集合运算的性质，依次判断即可
【解析】选项A： ，正确．
选项B：，则集合中的元素都在集合中，故，正确．
选项C：若，则，错误．
选项D：集合运算的德摩根律，即两个集合交集的补集等于它们补集的并集，正确．故选ABD
11．下列各组中的两个集合相等的是
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据集合相等的概念对选项逐个分析判断即可．
【解析】对于A，因为P中含有1，而Q中没有，故错误；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，
，
显然，故C错误；
对于D，因为
故，故D正确．故选BD．
12．已知关于x的方程，下列结论正确的是
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有两正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两实数根之和为0
【答案】BC
【分析】对A：由即可判断；对B：由即可判断；对C：由即可判断；对D：当时，即可判断．
【解析】对A：若有实数根，则，解得或，故A错误；
对B：由题意，，解得，故B正确；
对C：若方程无实数根，则，解得，
该条件的一个必要条件是，故C正确；
对D：当时，方程无实数根，故D错误；故选BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．下列对象能组成集合的是___________．
①桃浦中学一部分学生
②倒数等于自身的实数
③超过100页的书
④世界知名艺术家
⑤方程的全体解
【答案】②③⑤．
【分析】根据集合元素的三要素，确定性、互异性和无序性可判断．
【解析】①桃浦中学一部分学生不符合确定性，不能构成集合；
②倒数等于自身的实数有和1，可构成集合；
③超过100页的书符合集合元素的特征，可以构成集合；
④世界知名艺术家，“知名”没有确定性，不能构成集合；
⑤方程无解，可构成空集．因此，能构成集合的为②③⑤．故答案为②③⑤．
14．已知集合，，若，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由可得，再由集合间的包含关系求解即可．
【解析】，，即，故．
故答案为．
15．若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由题意，“，”是真命题，转化为，分析即得解
【解析】由题意，“，”的否定是假命题，即“，”是真命题
故，对恒成立，又，，
则实数的取值范围是，故答案为
16．集合，则“或”是“”的___________条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．
【答案】必要不充分
【分析】结合集合的关系与充分条件与必要条件的定义进行判断即可．
【解析】由题得，
当或时，即，即当 时，不一定成立；
当时，一定成立．所以“或”是“”的必要不充分条件．
故答案为必要不充分
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
集合，，若中仅有一个元素，求实数的值．
【答案】实数的取值集合为．
【分析】联立可得，故方程只有唯一解，分、讨论即得解
【解析】联立方程组
得．
因为中仅有一个元素，故方程只有唯一解
所以可以分两种情况考虑：
（1）当时，方程有两个相等的实数根，即，
从而可得，解得；
（2）当时，方程只有一个根，符合题意．
综上所述，实数的取值集合为．
18．（12分）
已知集合，，证明：的充要条件为．
【答案】证明见解析
【分析】根据集合的交集，分析可得，且或，且，解出m根据集合中元素的互异性检验可得 ，反之可求出．
【解析】证明：若，，，
所以，且，解得或；
或，且（无解，舍去）
经检验，时，，不满足集合中元素的互异性，不合题意舍去，
则，所以是的必要条件；
若，，，所以，
所以是的充分条件，
综上得的充要条件为．
19．（12分）
已知集合，．若的充分非必要条件为，求实数的取值范围．
【答案】或．
【分析】解绝对值不等式确定集合，然后由充分非必要条件的定义得集合包含关系，然后可求解．
【解析】由已知，
的充分非必要条件为，则是的真子集．
当即时，满足题意，
当时，由题意，等号不同时取得，解得，
综上的取值范围是或．
20．（12分）
已知集合
（1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围．
【答案】（1）且（2）或
【分析】（1）中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根；
（2）集合A最多有两个子集即中至多有一个元素，等价于方程无解或只有一解．
【解析】（1）由于中有两个元素，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
所以，且，即，且．
故实数的取值范围是且．
（2）集合A最多有两个子集即中至多有一个元素，
即方程无解或只有一解，
当时，方程为，，集合；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时．
综上可知，实数的取值范围是或．
21．（12分）
已知集合．
（1）若，，求；
（2）若，求出a，b的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题设得，利用集合的补、交运算求即可．
（2）根据集合相等得，求解即可．
【解析】（1）由题设，，而或，
所以．
（2）由题设，可得，解得．
22．（12分）
已知命题，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得；
（2）由列出不等关系，求解即可．
【解析】（1）命题为真命题，则，
得
所以．
（2）因为是的必要不充分条件，所以．
所以
得