5.4.2反函数的图像同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案）

【学生版】 5.4.2反函数的图像
学习目标
1、理解互为反函数的两个函数间的关系与性质；
2、了解互为反函数的函数图象间的关系；
知识梳理
1、反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域；
2、原函数和反函数图像关于直线对称；
3、原函数和反函数均为单调函数，具有相同的单调性。
每日作业
一、选择题
1、奇函数有反函数，则必有在的图像上点是（ ）
A． B． C． D ．
2、定义域为R的函数的反函数为，且对于任意实数有，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
二、填空题
1、设函数：则＝___________．
2、设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则 。
3、设函数的图像关于点对称，且存在反函数，则___________。
4、若点既在的图像上，又在它的反函数的图像上，则 ， .
5、已知函数有反函数，则=
6、若为函数的反函数，则的值域为______。
7、设是函数的反函数，则成立时的取值范围是
8、设的反函数为，若，则的值为
三、解答题
1、已知函数；
（1）若，求的取值范围；（6分）
（2）若满足且是偶函数，且当时，有，求函数的反函数；
2、已知，是上的奇函数．（1）求的值，（2）求的反函数，（3）对任意的解不等式。
四、思考题
设，是奇函数，且；
（1）、试求的反函数的解析式及的定义域；
（2）、设，若时，恒成立，求实数的取值范围。
【教师版】 5.4.2反函数的图像
学习目标
1、理解互为反函数的两个函数间的关系与性质；
2、了解互为反函数的函数图象间的关系；
知识梳理
1、反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域；
2、原函数和反函数图像关于直线对称；
3、原函数和反函数均为单调函数，具有相同的单调性。
每日作业
一、选择题
1、奇函数有反函数，则必有在的图像上点是（ ）
A． B． C． D ．
解析：因为函数是奇函数，所以，函数图像上过点，也过点，又因为函数与图像关于直线对称，则函数的图像过点；
答案：B；
2、定义域为R的函数的反函数为，且对于任意实数有，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
解析：由已知关于点对称，所以，其反函数必关于点对称，
注意到，∴0；
答案：A；
二、填空题
1、设函数：则＝___________．
解析：利用反函数与原函数的关系，由已知，可得：f(x)＝16，
即：，所以，
又因为x≥16，所以(舍去)，则，也就是：；
答案：
2、设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则 。
解析：由的反函数的图像经过点，则原函数经过定点，
将代入，得，解得；
答案：7；
3、设函数的图像关于点对称，且存在反函数，则___________。
解析：由，可知函数的图像过点。而点关于点的对称点为。由题意知点也在函数的图象上，即有，所以。
答案：2；
4、若点既在的图像上，又在它的反函数的图像上，则 ， .
解析：，.
答案：
5、已知函数有反函数，则=
解析：由互为反函数的性质得，
答案：m。
6、若为函数的反函数，则的值域为______。
解析：通法是先求出的反函数，可求得的值域为，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得的值域为；
答案：；
7、设是函数的反函数，则成立时的取值范围是
解析：由，知函数在R上为增函数，所以在R上也为增函数。
故由，有，而，可得；
答案：；
评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则更为简便。
8、设的反函数为，若，则的值为
解析：设，则,即
，即，同理
所以，即所以
答案：2；
三、解答题
1、已知函数；
（1）若，求的取值范围；（6分）
（2）若满足且是偶函数，且当时，有，求函数的反函数；
解析：（1）由，得。
由得。
因为，所以，解得。
由得，。
（2）当时，，
所以。
由单调性可得。
因为，所以所求反函数是，。
2、已知，是上的奇函数．（1）求的值，（2）求的反函数，（3）对任意的解不等式。
解析：（1）由题知，得，此时
，
即为奇函数．
（2）因为，得，
所以．
（3）因为，∴，∴，
①当时，原不等式的解集，
②当时，原不等式的解集。
四、思考题
设，是奇函数，且；
（1）、试求的反函数的解析式及的定义域；
（2）、设，若时，恒成立，求实数的取值范围。
解析：（1）因为是奇函数，且，所以
得，所以，可求得
令，反解出
从而
（2）因为，所以，由得
，所以
即对恒成立，令，其在上为单调递减函数
则，所以，又，故实数的取值范围是
评注：本题综合了反函数与函数的奇偶性，换元法求函数的解析式，对数不等式的解法以及含参不等式在定区间上恒成立等知识，是一道综合性较强的好题。