5.4.1反函数的概念同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 5.4.1反函数的概念同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 383.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-01 19:07:21 | ||
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文档简介
【学生版】 5.4.1反函数的概念
学习目标
1、理解反函数的概念；
2、初步掌握求反函数的方法；
知识梳理
1、反函数的概念；
2、互为反函数的两个函数间联系；
3、求一个函数的反函数的步骤；
每日作业
一、选择题
1、函数= ()的反函数为（ ）
A. B. C. D.
2、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（难度以高考第1—8题为准）
1、函数的反函数为___________
2、定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 ．
3、已知点在函数的图象上，则的反函数 ．
4、若函数的反函数为，则
5、已知函数，则= ；= ；
6、已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足
7、设，则关于的不等式的解集为
8、函数的定义域为A,若A，且
时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
三、解答题
1、已知，是上的奇函数．
（1）求的值，
（2）求的反函数，
（3）对任意的解不等式．
2、已知函数的反函数，；
（１）若，求的取值范围；
（２）设函数，当时，求的值域。
四、思考题
已知函数y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x＋a)与y＝f－1(x＋a)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a和性质”；若函数y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a积性质”．
（1）判断函数g(x)＝x2＋1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式．
【教师版】 5.4.1反函数的概念
学习目标
1、理解反函数的概念；
2、初步掌握求反函数的方法；
知识梳理
1、反函数的概念；
2、互为反函数的两个函数间联系；
3、求一个函数的反函数的步骤；
每日作业
一、选择题
1、函数= ()的反函数为（ ）
A. B. C. D.
解析：由已知，得，再将=两边平方，得，即。将、对换，得，又函数=的值域为，所以的定义域为；
答案：A。
2、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数。而已知函数在区间上存在反函数
所以或者，即或；
答案：C；
二、填空题（难度以高考第1—8题为准）
1、函数的反函数为___________
答案：
2、定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 ．
【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
解析：若为奇函数，可得当时，，即有，
由为奇函数，可得，则，，
由定义在上的函数的反函数为，且，
可由（2），可得的解为．
答案为：；
3、已知点在函数的图象上，则的反函数 ．
解析：因为点在函数的图象上，所以，解得．
所以，由，解得，．
把与互换可得：的反函数．
故答案为：，．
4、若函数的反函数为，则
解析：方法一：故；
方法二：，故
答案：
5、已知函数，则= ；= ；
解析：由函数，解得其反函数为：，
则，同法解得；
答案：； ；
评述：由上题解答或从互为反函数两者间的联系，则可归纳得；
。
6、已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足
答案：．
7、设，则关于的不等式的解集为
解析：方法1：令，由于，故，
解出，所以，则，即，则，
所以，又，所以，的解集为；
方法2：易求的值域是，故的定义域是．
显然是增函数，因此对两端用作用，不等号不变，
即，所以，又考虑到必须在的定义域内，
所以，的解集为。
答案：
8、函数的定义域为A,若A，且
时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
解析：选项①：方法1：由可得不合定义
方法2：在上为减函数， 在上为增函数，故在定义域内不是单调函数，假命题；
选项②：“且，则”是“若且时总有”的逆否命题互为逆否命题的两个命题等价.原命题为真，故逆否命题为真，真命题；
选项③：符合唯一的函数值对应唯一的自变量，真命题；
选项④：符合单函数的定义，时总有，真命题。
答案：②③④。
三、解答题
1、已知，是上的奇函数．
（1）求的值，
（2）求的反函数，
（3）对任意的解不等式．
解析：（1）由题知，得，此时
，即为奇函数．
（2）因为，得，
所以．
（3）因为，所以，∴，
①当时，原不等式的解集，
②当时，原不等式的解集．
2、已知函数的反函数，；
（１）若，求的取值范围；
（２）设函数，当时，求的值域。
解析：因为 ，所以．
（１）因为 即．
所以，
所以 解之得，
所以．
（２）因为
．
令 ，显然在[0，1]严格递增，则有．
所以，即的值域为．
四、思考题
已知函数y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x＋a)与y＝f－1(x＋a)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a和性质”；若函数y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a积性质”．
（1）判断函数g(x)＝x2＋1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式．
解析：(1)函数g(x)＝x2＋1(x>0)的反函数是g－1(x)＝(x>1)，∴g－1(x＋1)＝(x>0)，
而g(x＋1)＝(x＋1)2＋1(x>－1)，其反函数为y＝－1(x>1)，
故函数g(x)＝x2＋1(x>0)不满足“1和性质”．
(2)设函数f(x)＝kx＋b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.
所以，f－1(x)＝(x∈R)，所以f－1(x＋2)＝，
而f(x＋2)＝k(x＋2)＋b(x∈R)，得反函数为y＝，由“2和性质”定义可知＝对x∈R恒成立，∴k＝－1，b∈R，即所求一次函数为f(x)＝－x＋b(b∈R)．
(3)设a>0，x0>0，且点(x0，y0)在y＝f(ax)图象上，则(y0，x0)在函数y＝f－1(ax)图象上，
故可得ay0＝f(x0)＝af(ax0)．令ax0＝x，则a＝，
所以，f(x0)＝f(x)，即f(x)＝.
综上所述，f(x)＝(k≠0)，此时f(ax)＝，其反函数就是y＝，而f－1(ax)＝，
故y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数。
学习目标
1、理解反函数的概念；
2、初步掌握求反函数的方法；
知识梳理
1、反函数的概念；
2、互为反函数的两个函数间联系；
3、求一个函数的反函数的步骤；
每日作业
一、选择题
1、函数= ()的反函数为（ ）
A. B. C. D.
2、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（难度以高考第1—8题为准）
1、函数的反函数为___________
2、定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 ．
3、已知点在函数的图象上，则的反函数 ．
4、若函数的反函数为，则
5、已知函数，则= ；= ；
6、已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足
7、设，则关于的不等式的解集为
8、函数的定义域为A,若A，且
时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
三、解答题
1、已知，是上的奇函数．
（1）求的值，
（2）求的反函数，
（3）对任意的解不等式．
2、已知函数的反函数，；
（１）若，求的取值范围；
（２）设函数，当时，求的值域。
四、思考题
已知函数y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x＋a)与y＝f－1(x＋a)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a和性质”；若函数y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a积性质”．
（1）判断函数g(x)＝x2＋1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式．
【教师版】 5.4.1反函数的概念
学习目标
1、理解反函数的概念；
2、初步掌握求反函数的方法；
知识梳理
1、反函数的概念；
2、互为反函数的两个函数间联系；
3、求一个函数的反函数的步骤；
每日作业
一、选择题
1、函数= ()的反函数为（ ）
A. B. C. D.
解析：由已知，得，再将=两边平方，得，即。将、对换，得，又函数=的值域为，所以的定义域为；
答案：A。
2、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数。而已知函数在区间上存在反函数
所以或者，即或；
答案：C；
二、填空题（难度以高考第1—8题为准）
1、函数的反函数为___________
答案：
2、定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 ．
【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
解析：若为奇函数，可得当时，，即有，
由为奇函数，可得，则，，
由定义在上的函数的反函数为，且，
可由（2），可得的解为．
答案为：；
3、已知点在函数的图象上，则的反函数 ．
解析：因为点在函数的图象上，所以，解得．
所以，由，解得，．
把与互换可得：的反函数．
故答案为：，．
4、若函数的反函数为，则
解析：方法一：故；
方法二：，故
答案：
5、已知函数，则= ；= ；
解析：由函数，解得其反函数为：，
则，同法解得；
答案：； ；
评述：由上题解答或从互为反函数两者间的联系，则可归纳得；
。
6、已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足
答案：．
7、设，则关于的不等式的解集为
解析：方法1：令，由于，故，
解出，所以，则，即，则，
所以，又，所以，的解集为；
方法2：易求的值域是，故的定义域是．
显然是增函数，因此对两端用作用，不等号不变，
即，所以，又考虑到必须在的定义域内，
所以，的解集为。
答案：
8、函数的定义域为A,若A，且
时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
解析：选项①：方法1：由可得不合定义
方法2：在上为减函数， 在上为增函数，故在定义域内不是单调函数，假命题；
选项②：“且，则”是“若且时总有”的逆否命题互为逆否命题的两个命题等价.原命题为真，故逆否命题为真，真命题；
选项③：符合唯一的函数值对应唯一的自变量，真命题；
选项④：符合单函数的定义，时总有，真命题。
答案：②③④。
三、解答题
1、已知，是上的奇函数．
（1）求的值，
（2）求的反函数，
（3）对任意的解不等式．
解析：（1）由题知，得，此时
，即为奇函数．
（2）因为，得，
所以．
（3）因为，所以，∴，
①当时，原不等式的解集，
②当时，原不等式的解集．
2、已知函数的反函数，；
（１）若，求的取值范围；
（２）设函数，当时，求的值域。
解析：因为 ，所以．
（１）因为 即．
所以，
所以 解之得，
所以．
（２）因为
．
令 ，显然在[0，1]严格递增，则有．
所以，即的值域为．
四、思考题
已知函数y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x＋a)与y＝f－1(x＋a)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a和性质”；若函数y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a积性质”．
（1）判断函数g(x)＝x2＋1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式．
解析：(1)函数g(x)＝x2＋1(x>0)的反函数是g－1(x)＝(x>1)，∴g－1(x＋1)＝(x>0)，
而g(x＋1)＝(x＋1)2＋1(x>－1)，其反函数为y＝－1(x>1)，
故函数g(x)＝x2＋1(x>0)不满足“1和性质”．
(2)设函数f(x)＝kx＋b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.
所以，f－1(x)＝(x∈R)，所以f－1(x＋2)＝，
而f(x＋2)＝k(x＋2)＋b(x∈R)，得反函数为y＝，由“2和性质”定义可知＝对x∈R恒成立，∴k＝－1，b∈R，即所求一次函数为f(x)＝－x＋b(b∈R)．
(3)设a>0，x0>0，且点(x0，y0)在y＝f(ax)图象上，则(y0，x0)在函数y＝f－1(ax)图象上，
故可得ay0＝f(x0)＝af(ax0)．令ax0＝x，则a＝，
所以，f(x0)＝f(x)，即f(x)＝.
综上所述，f(x)＝(k≠0)，此时f(ax)＝，其反函数就是y＝，而f－1(ax)＝，
故y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数。