5.3.2用函数来解方程与不等式（2）同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案）

【学生版】 5.3 函数的应用
5.3.2 用函数来解方程与不等式（2）
学习目标
1、会用函数零点存在定理判断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会根据函数零点的情况求参数；2、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值；
知识梳理
1、函数零点存在定理；2、二分法；
每日作业
一、选择题
1、方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　)
A．(0,2)　　B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
2、已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是(　　)
A.函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点
B.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点
C.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点
D.函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点
二、填空题
1、函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
2、函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是________．
3、函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是________．
4、设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
5、某方程有一个无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1。
6、用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．(填序号)
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
7、已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　.
8、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有　　　　个零点，这几个零点的和等于　　　　.
三、解答题
1、判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
2、已知函数f(x)＝2x3－1(x∈R).
(1)证明：函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点；
(2)求出f(x)在区间(0.5，1)内零点的近似解.(精确度为0.1)
四、思考题
设函数(x∈R，k∈Z)．
(1) 若y=fk(x)是偶函数，求k的值；
(2) 设函数g(x)＝λf0(x)－f2(2x)－2，若g(x)在x∈[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．
【教师版】 5.3 函数的应用
5.3.2 用函数来解方程与不等式（2）
学习目标
1、会用函数零点存在定理判断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会根据函数零点的情况求参数；2、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值；
知识梳理
1、函数零点存在定理；2、二分法；
每日作业
一、选择题
1、方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　)
A．(0,2)　　B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)；
答案：C；
2、已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是(　　)
A.函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点
B.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点
C.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点
D.函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点
解析：由表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个，虽然f(1)·f(2)＞0，但函数y＝f(x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点；
答案：C；
二、填空题
1、函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，所以(－3a＋1)·(1－a)<0，
解得答案　。
2、函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，
解得0＜a＜3；
答案：(0，3)；
3、函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，
由二次函数图像的性质，知即解得－3答案：(－3，0)
4、设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
解析：令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，因为f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以，y=f(x)在(2，3)内有解，所以，k＝2；
答案：2；
5、某方程有一个无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1。
解析：因为≤0.1，得2n≥20，n＞4，所以至少等分5次；
答案：5；
6、用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．(填序号)
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
解析：由二分法适用条件直接可得；
答案：①②；
7、已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　.
解析：函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点.
分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像，如图所示.
由图易知，当a>1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)；
答案：(1，＋∞).
8、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有　　　　个零点，这几个零点的和等于　　　　.
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3；0；
三、解答题
1、判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
解析：方法一(图像法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图像交点个数，
在同一坐标系下，作出两函数的图像(如图)．
由图像知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是严格递增的，所以零点只有一个．
2、已知函数f(x)＝2x3－1(x∈R).
(1)证明：函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点；
(2)求出f(x)在区间(0.5，1)内零点的近似解.(精确度为0.1)
解析：(1)证明：函数f(x)＝2x3－1在区间[0.5，1]上连续.
且f(1)＝2－1＝1＞0，f(0.5)＝－1＜0，
所以函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点；
(2)由(1)知f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3－1＝0在(0.5，1)内有实数根.
如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 f(a) f(b) f
(0.5，1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＜0
(0.75，1) 0.875 f(0.75)＜0 f(1)＞0 f(0.875)＞0
因为|0.75－0.875|＝0.125＜0.2，所以方程2x3－1＝0的一个近似解可取为＝0.812 5.
四、思考题
设函数(x∈R，k∈Z)．
(1) 若y=fk(x)是偶函数，求k的值；
(2) 设函数g(x)＝λf0(x)－f2(2x)－2，若g(x)在x∈[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．
解析：(1) 因为fk(x)是偶函数，所以fk(－x)＝fk(x)恒成立，
即2－x＋(k－1)·2x＝2x＋(k－1)·2－x，即(k－2)(22x－1)＝0恒成立，所以k＝2.
(2) 函数g(x)＝λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2在x∈[1, ＋∞)上有零点，即λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2＝0在x∈[1，＋∞)有解，
因为x∈[1，＋∞)，所以2x－2－x>0，
所以问题等价于λ＝在x∈[1，＋∞)有解．
令p＝2x，则p≥2，令u＝p－，则u在p∈[2，＋∞)上单调递增，
因此，u≥，λ＝.
设r(u)＝＝u＋，任取u1>u2≥，则u1－u2>0，
r(u1)－r(u2)＝(u1＋)－(u2＋)＝.
若u1>u2≥2，则u1u2>4，所以r(u1)>r(u2)，即r(u)在[2，＋∞)上单调递增；
若2≥u1>u2≥，则u1u2<4，所以r(u1)所以函数r(u)在u＝2时取得最小值，且最小值r(2)＝4,
所以r(u)∈[4，＋∞)，
从而，满足条件的实数λ的取值范围是[4，＋∞).