5.3.2用函数来解方程与不等式（1）同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案）

【学生版】 5.3 函数的应用
5.3.2 用函数来解方程与不等式（1）
学习目标
1、理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系；2、结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法；
知识梳理
1、函数零点的概念；2、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系；
每日作业
一、选择题
1、下列各图像表示的函数中没有零点的是(　　)
2、下列说法中正确的个数是(　　)
①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
A.1　 B.2 C.3 D.4
二、填空题
1、函数f(x)＝x2－3x的零点是______．
2、若函数f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
3、若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是 ．
4、已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为
5、若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为
6、已知函数，则不等式的解集是
7、已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是
8、已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
三、解答题
1、设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，且g(1)＝－.
（1）求证：函数y＝g(x)有两个零点；
（2）证明：函数y＝g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
2、指出方程2x－＝0存在的实数根，并给出一个实数根的存在区间．
四、思考题
已知0A．1 B．2 C．3 D．4
（变式1）把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数；
（变式2）若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围；
【教师版】 5.3 函数的应用
5.3.2 用函数来解方程与不等式（1）
学习目标
1、理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系；2、结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法；
知识梳理
1、函数零点的概念；2、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系；
每日作业
一、选择题
1、下列各图像表示的函数中没有零点的是(　　)
答案：D
2、下列说法中正确的个数是(　　)
①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
A.1　 B.2 C.3 D.4
解析：根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此，只有说法②④正确，故选B；
答案： B；
二、填空题
1、函数f(x)＝x2－3x的零点是______．
解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，即x＝0和x＝3；
答案：0和3；
2、若函数f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，所以，
所以，所以－1答案： ；
3、若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是 ．
解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－84、已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为
解析：在同一直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图像和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图像有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点；
答案：或。
5、若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为
解析：由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0.所以解得所以a＋b＝－14；
答案：－14；
6、已知函数，则不等式的解集是
解析：因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：
两函数图像的交点坐标为，不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
答案：；
7、已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是
解析：画出函数y＝f(x)的图像，如图所示：
再画出直线y＝－x－a，
当直线过点A(0,1)时，直线与函数图像恰有两个交点，
并且向下移动时，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1，
答案： [－1，＋∞)；
8、已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
解析：由题意得或所以2≤x<4或1当λ>4时，f(x)＝x－4>0，此时由f(x)＝x2－4x＋3＝0得，x＝1或3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，由f(x)＝x－4＝0得，x＝4，由f(x)＝x2－4x＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4，＋∞)；
答案：(1,4)；(1,3]∪(4，＋∞)；
三、解答题
1、设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，且g(1)＝－.
（1）求证：函数y＝g(x)有两个零点；
（2）证明：函数y＝g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
证明：（1）因为g(1)＝a＋b＋c＝－，所以3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－a－b，
所以g(x)＝ax2＋bx－a－b，∴Δ＝(2a＋b)2＋2a2，
因为a＞0，∴Δ＞0恒成立，故函数g(x)有两个零点；
（2）根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c，
①当c＞0时，有g(0)＞0，又因为a＞0，所以g(1)＝－＜0，
故函数y＝g(x)在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点．
②当c≤0时，g(1)＜0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c＞0，
所以，函数y＝f(x)在区间(1,2)内有一零点，
综合①②，可知函数y＝g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点。
2、指出方程2x－＝0存在的实数根，并给出一个实数根的存在区间．
解析：令f(x)＝2x－.在同一坐标系中，分别作出函数y＝2x及y＝的图像，如图所示，由图可知方程2x＝仅有一个实数解，即f(x)仅有一个零点．
又f＝－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，即f·f(1)<0，
所以，方程2x－＝0在内仅有一个实数根．
四、思考题
已知0A．1 B．2 C．3 D．4
解析：函数y＝a|x|－|logax|(0即方程a|x|＝|logax|(0也就是函数f(x)＝a|x|(0图像的交点的个数，
画出函数f(x)＝a|x|(0观察可得函数f(x)＝a|x|(0从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2；
答案：B；
（变式1）把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数；
解析：由2x|logax|－1＝0得|logax|＝，
作出y＝及y＝|logax|(0由图可知，两函数的图像有两个交点；
（变式2）若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围；
解析：
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图像，
如图所示
则当0从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点。